Постановка транспортної задачі. Поняття відкритої та закритої моделі.

Класична транспортна задача лінійного програмування формулюється так: деякий однорідний продукт, що знаходиться у m постачальників Аі в обсягах одиниць відповідно необхідно перевезти n споживачам вобсягах одиниць. При цьому виконується умова, що загальний наявний обсяг продукції у постачальників дорівнює загальному попиту всіх споживачів. Відомі вартості перевезень одиниці продукції від кожного Аі -го постачальника до кожного Вj -го споживача, що подані як елементи матриці виду:

Необхідно визначити план перевезень, за якого вся продукція була б вивезена від постачальників, повністю задоволені потреби споживачів і загальна вартість всіх перевезень була б мінімальною. У такій постановці задачі ефективність плану перевезень визначається його вартістю і така задача має назву транспортної задачі за критерієм вартості перевезень.

У скороченій формі запису математична модель транспортної задачі за критерієм вартості перевезень має такий вигляд:

(5.1) за обмежень:

; ; (5.3) . (5.4)

У розглянутій задачі має виконуватися умова: . (5.5)

Транспортну задачу називають збалансованою, або закритою, якщо виконується умова (5.5). Якщо ж така умова не виконується, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою.

39.Побудова опорного плану транспортної задачі: метод мінімальної вартості. Оптимальним планом транспортної задачі називають матрицю , яка задовольняє умови задачі, і для якої цільова функція (5.1) набирає найменшого значення.

Теорема (умова існування розв’язку транспортної задачі): необхідною і достатньою умовою існування розв’язку транспортної задачі (5.1)—(5.4) є її збалансованість: .

Наявність у системі обмежень двох однакових рівнянь свідчить про її лінійну залежність. Якщо одне з цих рівнянь відкинути, то в загальному випадку система обмежень буде містити m + n – 1 лінійно незалежне рівняння, отже, їх можна розв’язати відносно m + n – 1 базиснихзмінних.Назвемо опорним планом транспортної задачі такий допустимий її план, що містить не більш ніж m + n – 1 додатних компонент, а всі інші його компоненти дорівнюють нулю. Такий план є невиродженим. Якщо ж кількість базисних змінних менша ніж m + n – 1, то маємо вироджений опорний план.Ідея методу мінімальної вартості полягає в тому, що на кожному кроці заповнюють клітинку таблиці, яка має найменшу вартість перевезення одиниці продукції. Такі дії повторюють доти, доки не буде розподілено всю продукцію між постачальниками та споживачами.

40. Побудова опорного плану транспортної задачі: метод північно-західного кута. розв’язування транспортної задачі полягає в цілеспрямованому переборі та перевірці на оптимальність опорних планів. Початком такого ітераційного процесу є побудова першого опорного плану.

Ідея методу північно-західного кута полягає в тому, що заповнення таблиці починають, не враховуючи вартостей перевезень, з лівого верхнього (північно-західного) кута. У клітину записують менше з двох чисел а 1 та b 1. Далі переходять до наступної клітини в цьому ж рядку або у стовпчику і заповнюють її, і т. д. Закінчують заповнення таблиці у правій нижній клітинці. У такий спосіб значення поставок будуть розташовані по діагоналі таблиці.

41. Побудова опорного плану транспортної задачі: метод подвійної переваги.

Метод подвійної переваги. Якщо розмірність задачі досить велика, то перебір за методом мінімальної вартості ускладнюється. В такому разі спростити пошук клітин з найменшими вартостями можна, застосовуючи метод подвійної переваги.

Згідно з процедурою цього методу перед початком заповнення таблиці необхідно позначити будь-якими символами клітинки, які містять найменшу вартість у рядках, а потім — у стовпчиках. Таблицю починають заповнювати з клітинок, позначених двічі (які містять вартості, що є мінімальними і в рядку, і в стовпчику). Далі заповнюють клітинки, позначені один раз (що містять мінімальні вартості або в рядку, або в стовпчику), а вже потім — за методом мінімальної вартості

42. Побудова опорного плану транспортної задачі: метод апроксимації Фогеля.

Метод апроксимації Фогеля. За цим методом на кожному кроці визначають різницю між двома найменшими вартостями в кожному рядку і стовпчику транспортної таблиці. Ці різниці записують у спеціально відведених місцях таблиці — знизу та справа у кілька рядків та стовпчиків, що відповідають крокам заповнення таблиці. З-поміж усіх різниць вибирають найбільшу і у відповідному рядку чи стовпчику заповнюють клітинку з найменшою вартістю. Якщо ж однакових найбільших різниць кілька, то вибирають будь-який відповідний рядок або стовпчик. Коли залишається незаповненим лише один рядок або стовпчик, то обчислення різниць припиняють, а таблицю продовжують заповнювати за методом мінімальної вартості.

Даний метод побудови опорного плану враховує не лише маршрути з мінімальними витратами перевезень продукції, але й співвідношення витрат у рядку чи стовпчику, тобто розраховується наскільки, може збільшитися вартість постачання на наступних кроках процедури, якщо не здійснити на поточному кроці постачання в клітину з мінімальною вартістю.

Метод апроксимації Фогеля дає змогу особливо для задач великих розмірностей скласти найкращий опорний план.

43.Побудова оптимального плану транспортної задачі: метод потенціалів

Оцінка У методі потенціалів кожному рядку i і кожному стовпцю j транспортної таблиці ставляться у відповідність числа (потенціали) і . Для кожної базисної змінної потенціали і задовольняють рівнянню:

Щоб знайти значення потенціалів з цієї системи рівнянь, потрібно присвоїти одному з них довільне значення (зазвичай вважають ) і потім послідовно обчислювати значення інших потенціалів. Далі, використовуючи знайдені значення потенціалів, для кожної небазисной змінної обчислюються величини . Якщо всі ці числа є недодатними то опорний план є оптимальним і розв'язування на цьому завершується. В іншому випадку знаходиться найбільше додатнє значення і відповідна йому змінна вводиться в базис. Для визначення змінної, що виводиться з базису будується послідовність:

де — змінна, що вводиться в базис, а всі інші змінні є базисними. Окрім цього в цій послідовності при переході на кожному етапі одна координата залишається незмінною і якщо при певному переході незмінною була перша координата, то на наступному незмінною буде друга. Якщо зображувати перехід між змінними на транспортній таблиці стрілками між відповідними клітинами це оначає, що переходи можуть бути лише вертикальними чи горизонтальними, але не діагональними, і також після горизонтального переходу має йти вертикальний і навпаки.

Після побудови послідовності можна записати значення відповідних змінних і знайти мінімальне значення серед чисел, що стоять на непарних позиціях. Наступним кроком це число слід додати до всіх змінних, що стоять на парних позиціях і віднти від всіх змінних, що стоять на непарних. Змінна якій відповідало найменше число виводиться з базиса.

В такий спосіб одержується новий опорний план і до нього можна знову застосувати ті ж дії.