Сети, потоки в сетях. Теорема Форда – Фалкерсона

Сетью называется связный граф (обычно, не орграф и не мультиграф), в котором заданы “пропускные способности” ребер, т. е. числа q_ij. Это числа большие или равные нулю, причем q_ij = 0 тогда и только тогда, когда нет ребра, соединяющего вершины i и j. Таким образом, можно считать, что пропускные способности ребер заданы для любой пары вершин. В дискретной математике пропускные способности ребер, как и все возникающие константы, считаются целыми числами (или рациональными, что одно и то же, так как рациональные числа отличаются от целых только единицами измерения). Заметим, что сети имеют огромные приложения, в частности, “ сети планирования” (имеется в виду планирование производства некоторых новых, достаточно сложных изделий), где “пропускные способности” ребер – это время, за которое нужно из нескольких узлов изделия (вершин графа) получить другой (более сложный) узел. Сетевое планирование здесь не исследуется,так как гораздо больший интерес представляет сеть связи,где пропускные способности ребер – это обычно “количество одновременных разговоров”, которые могут происходить между телефонными узлами (вершинами графа).

Потоком в сети между вершиной t (источником) и s (стоком) называется набор чисел с_{ij ,}(т. е. количество условного “груза”, перевозимого из вершины с номером i в вершину с номером j), удовлетворяющих четырем условиям:

1) числа с_ij £ 0, причем если с_ij > 0, то с_ji = 0(нет встречных перевозок);

2) числа c_ij £ q_ij (соответствующих пропускных способностей ребер);

3) если вершина с номером i – промежуточная (не совпадает с источником и стоком), то

,

т. е. количество “груза”, вывозимого из вершины i, равно количеству “груза”, ввозимого в эту вершину;

4) количество “груза”, вывозимого из источника t, должно быть равно количеству груза, ввозимого в сток s:

.

Число А называется величиной данного потока или просто потоком между t и s.

Для дальнейшего нам нужно следующее определение:

Пусть имеется некоторое сечение между вершинами t и s. Тогда величиной сечения называется сумма пропускных способностей ребер, входящих в это сечение. Сечение называется минимальным (максимальным), если его величина минимальна (максимальна).

Теорема Форда – Фалкерсона (1955). Максимальный поток между вершинами t и s равен величине минимального сечения между этими вершинами.

Доказательство этой теоремы является конструктивным (т. е. показывает, как найти нужный максимальный поток), поэтому приводится ниже.

1. Докажем сначала, что любой поток между вершинами t и s меньше или равен величине любого сечения. Пусть дан некоторый поток и некоторое сечение. Величина данного потока складывается из величин “грузов”, перевозимых по всем возможным путям из вершины t в s. Каждый такой путь обязан иметь общее ребро с данным сечением. Так как по каждому ребру сечения суммарно нельзя перевести “груза” больше, чем его пропускная способность, поэтому сумма всех грузов меньше или равна, сумме всех пропускных способностей ребер данного сечения. Утверждение доказано.

Отсюда следует, что любой поток меньше или равен величине минимального сечения, а значит и максимальный поток меньше или равен величине минимального сечения.

2. Докажем теперь обратное неравенство. Пусть имеется некоторый поток c_ij (какой-то поток всегда существует, например, нулевой,когдавсе c_ij = 0). Будем помечать вершины графа, причем считаем, что все помеченные вершины образуют множество Y. Пометки вершин производятся от источника. Каждая пометка вершины (если эта вершина может быть помечена) состоит из двух чисел: первое – это “+” или “–” номер вершины (из Y), c которой связана новая помечаемая вершина, и второе – (обязательно должно быть положительным) – это фактически та добавка к потоку, которая может быть дополнительно “довезена” в эту вершину из источника по сравнению с исходным потоком.

Более точно, множество помеченных вершин Y образуется следующим образом:

источник t принадлежит Y и его пометка (0,¥); второе число, условно говоря, равно бесконечности – что для дискретной математики означает, что это настолько большое число, как нам понадобится;

если вершина i принадлежит Y и c_ij < q_ij (дуга (i, j) – прямая и ненасыщенная), то вершина j также принадлежит Y и пометка вершины j равна (+i,d _j), где d _j> 0равно d _j= min{d _i, q_ij – c_ij }.Заметим, что здесь число d _i – это второе число уже помеченной вершины i,азнак + перед номером i означает, что дуга, связывающая вершины (i, j) является прямой (и ненасыщенной);

если вершина к принадлежит Y и с_jk > 0(обратная дуга),то вершина с номером j также должна принадлежать Y и ее пометка равна (– к, d _j), где знак минус означает, что вершина j связана с уже помеченной вершиной к обратной дугой,d _j= min{d _k, q_jk+c_jk },причем очевидно, что d _j также строго больше нуля. Таким образом, построение множества Y является индуктивным,т. е. новая вершина добавляется в Y, если она связана с некоторой вершиной уже входящей в Y либопрямой ненасыщенной дугой, либо обратной дугой.

После того как построение множества Y закончено (к нему нельзя добавить новых вершин),возможны 2 случая.

1. Сток (т. е. вершина с номером s) не входит в множество вершин Y. Тогда обозначим множество вершин, не входящих в Y через Z. Наш граф по условию является связным, поэтому из Y,в Z идут некоторые ребра. По правилам построения Y все эти ребра являются прямыми насыщенными дугами (рис. 7).

Ребра, идущие из множества Y в Z, образуют сечение между вершинами t и s. Видно также, что сумма пропускных способностей ребер этого сечения (а все эти ребра являются прямыми, насыщенными) равна потоку из t в s. Значит, данный поток является максимальным (так как он равен величине некоторого сечения), а данное сечение является минимальным.

2. Вершина s также входит в Y,и пусть второе число ее пометки d _s > 0.Тогда, очевидно, что между вершинами t и s существует цепь (состоящая из направленных ребер – прямых и обратных дуг), соединяющая эти вершины

Схематично это представлено на рис. 8.

t ® ·®· ··® ·®· ··®·®s

Рис. 8

Заметим, что дуга, выходящая из источника, и дуга, входящая в сток, должны быть обязательно прямыми. Прибавим d _s к c_ij для прямых дуг этой цепи (по построению видно, что полученное число будет меньше или равно q_ij) и вычтем это d _s из c_ij для обратных дуг (может получиться отрицательное число, но оно обязательно будет по абсолютной величине меньше q_{ij ,} так как по построению d _s £ c_ij + q_ij,а это означает, что обратная дуга меняет направление, становится прямой дугой и его “нагрузка” будет равна модулю числа Тогда новые числа для дуг, входящих в нашу цепь, а также “старые” c_ij для всех дуг, не входящих в нашу цепь, образуют новый поток из вершины t в вершину s (легко проверить простым рассуждением, что для новых чисел выполняются условия (1)–(4)). Кроме того, величина нового потока по сравнению со старым увеличилась на d_s > 0. Для нового потока снова проведем ту же процедуру и т. д.

Так как каждый раз величина потока увеличивается, по крайней мере, на 1 (пропускные способности ребер являются целыми числами), а величина максимального потока ограничена (величиной минимального сечения), то эта процедура не может продолжаться бесконечно и, значит, на каком-то шаге получим поток, для которого вершина s не входит в Y,т. е. поток является максимальным и величина его равна величине минимального сечения. Теорема доказана.

Рассуждение теоремы Форда – Фалкерсона фактически является алгоритмом нахождения максимального потока между двумя вершинами (или доказательством того, что этот поток является максимальным). Подробный пример на эту тему приведен в разд. 15 “Решение типовых задач”.

Примечание. Еслив данномграфе с пропускными способностями ребер (т. е. сети) имеется несколько источников и несколько стоков, то описанный выше алгоритм можно применить следующим образом. Вводим новый источник и новый сток, причем новый источник соединяем ребрами со всеми источниками, а новый сток – со всеми стоками, при этом пропускные способности новых ребер считаем сколь угодно большими числами, так что эти дуги в любом возможном потоке были бы ненасыщенными (напомним, что ребра, идущие из источника и ребра, идущие в сток всегда являются прямыми дугами). После этого для нового графа решаем задачу о максимальном потоке (из одного нового источника в один новый сток). Решив ее, стираем все введенные ребра и вершины.

Рассмотрим еще некоторые вопросы (достаточно общего характера) из теории графов. Заметим, что в следующих разделах мы приводим только самые простые доказательства, а основные доказательства приведены в книге Р. Уилсона [6].

Раскраска графа

Раскрашивать можно как ребра графа, так и вершины. Коснемся сначала задачи о раскраске вершин,. при этом считаем, что граф не ориентирован и не является мультиграфом.

Задача. Раскрасить вершины графа так, чтобы любые две смежные вершины были раскрашены в разные цветы, при этом число использованных цветов должно быть наименьшим. Это число называется хроматическим (цветным) числом графа, будем его обозначать a = a (G) (если G – данный граф). Если число k ³ a, то граф называется k-раскрашиваемым.

Функцией Гранди называется функция на вершинах графа, отображающая вершины в множество {1,2,…, a}, причем если вершина x_i окрашена в цвет с номером k, то функция Гранди h (x_i) = k.

Ясно, что для данного графа хроматическое число является единственным, но функций Гранди может быть очень много. Естественно, что найти хотя бы одну функцию Гранди – это значит, найти одну из возможных “наилучших” раскрасок (таких раскрасок может быть много).

Заметим, что если данный граф является полным,т. е. любые две вершины являются смежными,то хроматическое число такого графа равно п, где п – число вершин.

Для дальнейшего понадобится следующее определение.

Набор вершин графа называется максимальной независимой системой (МНС), если любые две вершины из этого набора не являются смежными и нельзя включить в этот набор другую вершину, чтобы это условие сохранилось. Заметим, что нахождение МНС в графе достаточно просто: берем произвольную вершину, затем находим любую вершину, не смежную с ней, затем находим вершину, не смежную с отобранными вершинами и т. д. Естественно, что МНС в данном графе может быть много и они могут содержать разное число вершин.

Перейдем к описанию алгоритма нахождения наилучшей раскраски вершин графа. Пусть имеем граф G, найдем в нем какую-либо МНС, которую обозначим S ₁, и все вершины, входящие в эту МНС, окрасим в цвет № 1. Далее, удалим из данного графа все вершины, входящие в эту МНС (вместе с ребрами), и для нового графа снова найдем МНС, которую обозначим S ₂.Эти новые вершины окрасим в цвет № 2, затем удалим эти вершины из графа вместе с соответствующими ребрами и снова находим МНС, которую окрасим в цвет № 3, и т. д. Можно доказать, что при любом способе осуществления этой процедуры придем к наилучшей раскраске и найдем некоторую функцию Гранди и хроматическое число данного графа.

Пример. У графа (рис. 9) имеется 3 максимально независимых систем вершин: {5}, {1,3} и {2,4}. Ясно, что при любой процедуре нахождения хроматического числа в этом графе, получим число 3.

Теорема. Если максимальная степень вершин в графе равна r, то хроматическое число этого графа не превосходит r + 1. При этом хроматическое число графа равно r + 1 только в двух случаях: во-первых, если граф является полным и, во-вторых, если r = 2 и при этом данный граф содержит контур нечетной длины (такой граф изображен на рис. 10, максимальная степень его вершин – 2, а хроматическое число – 3). Во всех остальных случаях хроматическое число графа не превосходит максимальной степени вершин.

Примечание. Оценка хроматического числа, даваемого этой теоремой, является достаточно грубой. Особенно наглядно это выглядит на примере дерева (разд. 14), для которого степень вершин может быть как угодно велика, а хроматическое число равно 2.

Рассматриваемые вопросы связаны с известной проблемой четырех красок. Для того чтобы ее сформулировать, нам понадобятся еще несколько определений.

Граф называется плоским,если он нарисован на плоскости, причем любые 2 ребра могут пересекаться только в вершине.

Графы называются изоморфными, если существует такая нумерация вершин в этих графах, что они имеют одну и ту же матрицу смежности (фактически изоморфные графы – это одинаковые графы, которые отличаются только другим изображением).

Граф называется планарным, если он изоморфен плоскому графу. Таким образом, планарный граф можно изобразить на плоскости как плоский. На рис. 11 изображены 2 изоморфных (одинаковых) графа, причем первый из них планарный, а второй является плоским.

Можно доказать (это не совсем простая теорема), что хроматическое число планарных графов меньше или равно 5. Однако Августом де Морганом (1850) была выдвинута гипотеза о том, что хроматическое число планарных графов меньше или равно 4. Этой проблеме было посвящено огромное число математических работ. В конце концов, удалось свести эту проблему к исследованию верности этой гипотезы для достаточно большого числа типов графов (» 30 тыс.), что и было сделано с помощью компьютеров (1976). Гипотеза о четырех красках оказалась справедливой, а сама проблема перешла в задачу об упрощении доказательства гипотезы о четырех красках.

Отметим самую известную интерпретацию проблемы о четырех красках. Пусть имеется географическая карта. Можно ли, используя только 4 краски, изобразить эту карту так, чтобы соседние страны (имеющие общую границу) были окрашены в разный цвет? Понятно, что в соответствующем графе вершинами являются страны, а смежными вершинами являются соседние страны. Ясно, что полученный граф является планарным, и после 1976 г. ответ на этот вопрос является положительным.

Заметим, что в теории графов ставится часто вопрос о реберной раскраске графов. Какое минимальное число цветов (это число иногда называют реберно-хроматическим) нужно, чтобы раскрасить ребра графа так, что любые 2 смежных ребра (т. е. 2 ребра, имеющих общую вершину) были бы окрашены в разный цвет? Для реберно-хроматического числа графа справедлива гораздо более точная оценка, чем для просто хроматического числа, а именно, верна следующая, в какой-то степени удивительная, теорема.

Теорема Визинга. Если в графе максимальная степень вершин равна r, то реберно-хроматическое число равно либо r, либо r +1.

Заметим, что до сих пор нет “хороших” критериев для графов, когда же именно реберно-хроматическое число равно r, а когда r + 1.

Очевидно, что простейший алгоритм нахождения реберно-хроматического числа (и соответствующей раскраски ребер) состоит в следующем: по данному графу строим так называемый двойственный граф: ребра графа соответствуют вершинам нового (двойственного) графа, причем, если 2 ребра имеют общую вершину, то они являются смежными и в двойственном графе соединены ребром. После этого раскрашиваем наилучшим образом вершины двойственного графа и, переходя к “старому” графу, получаем (одну из возможных) наилучших реберных раскрасок графов.

В заключение отметим, что реберная раскраска часто применяется при конструировании различных устройств, где провода, соединяющиеся в одной вершине, должны (для удобства) иметь разные цвета.