Когда заказать? Сколько заказать? Сколько иметь в резерве?

Системы снабжения: Децентрализованные: однокаскадные, централизованные

Многокаскадные,

Спрос: стационарный, случайный, детерминированный

Затраты: на хранение (от среднего уровня, от времени аренды склада, от остатка в конце периода), на поставки (от объёма, числа номенклатур, скорости поставок), на заказ каждой новой партии), на штрафы

Спрос с постоянной интенсивностью СПИ (μ)

Поставки c постоянной интенсивностью ППИ (λ)

Предельный запас на складе Пр ЗС: (Yпз)

Максимальный дефицит Yд

Расходы на хранение

Затраты за цикл Т ЗТ

Полный цикл - Т

 

 

│Y- - - - - - - - -

│ Yпз

 

 

λ – μ

0--------------------------*--------------*--------------------------------* --t

Y

Yпз

 

 

*

λ – μ

t1 t2 t3 t4

----------------------------*--------------------------------------- -----------------------

T T

 

 

Функция затрат за цикл (L(T)) = фиксированные расходы на запуск партии (g) +

· удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени (s) *

 

 

t 1+ t 2 T

L(T) = (g) + (s) * ∫ y(t) dt – p * ∫ y (t) dt

0 t 1+ t2

 

p - удельный штраф (затраты) за дефицит единицы запаса в течение единицы времени

 

t + t Т

L(T) = g + s * ∫ y(t) dt – p* ∫ y (t) dt (1)

0 t+t

 

y (t) = (λ – μ) * t, 0 ≤ t ≤ t 1,

 

= Yпз – μ (t – t 1), t1 ≤ t ≤ t 1+ t 2+ t 3 (2)

 

= (– Yд) + (λ – μ) * (t – t1 – t2 – t3), при t1 + t2 + t3 ≤ t ≤ T.

 

 

Максимальный дефицит выражается Y д выражается через Yпз как

 

 

T – (t 1 + t2)

Y д = ---------------- * Yпз (3)

t1 + t 2

 

Yпз Y пз

Подставив t 1= ---------, и t 2 = -------, получим

λ – μ μ

 

μ

Yд = ----- * [ (λ – μ) * T – Yпз ] (4)

λ

Выполнив интегрирование функция затрат (1) с учётом линейности изменения уровня запаса:

s* λ * Yпз ² p * λ μ

L T = g + ------------------ + ------------------ * [ -----(λ – μ) * T – Yпз ] ² (5)

2* μ*(λ – μ) 2* μ*(λ – μ) λ

 

Откуда затраты в единицу времени L ср

L ср = L T / Т =

 

1 (p + s) * λ *Yпз ² p * μ

= ----- [ g + ----------------------- ] + -------- (λ – μ) T – p Yпз (6)

Т 2* μ* (λ – μ) 2* λ

 

 

∂ L ср (p + s) * λ * Yпз

--------- = [ ------------------------ – p ] = 0 (7)

∂ Yпз T* μ *(λ – μ)

 

 

μ - интенсивность спроса

λ –интенсивность поставок

p – удельный штраф за дефицит

g – расходы на запуск заказа

s – удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени

 

∂ L ср p * μ 1 (p + s) * λ *Yпз ²

--------- = ---------- (λ – μ) – ------[ g + -------------------------] = 0 (8)

∂ T 2* λ T ² 2* μ* (λ – μ)

 

Решение системы (7) и (8) даёт оптимальные Yпз (опт) и Т (опт)

 

μ

2 μ g (1 – ----)

λ

Yпз (опт) = √ --------------------- (9)

s

s (1 + ----)

p

s

2 * g (1 + --)

λ

Т (опт) = √ --------------------- (10)

μ

μ * s* (1 – ---)

λ

При этом достигается минимум затрат в единицу времени

μ

2 μ* g* s (1 – ----)

λ

L(опт) = √ ------------------------------ (11)

s

1 + -----

p

 

Следующие основные формулы теории запасов:

А) Дефицит – исключается, тогда положив p →∞ и подставив s / p = 0 в (9) – (11), получаем

 

μ 1

Yпз (опт) = = √ 2 μ g (1 – ----) ------ (12)

λ s

 

 

-----------------------

2 * g

Т (опт) = √ ---------------------

μ

μ * s* (1 – ---)

λ

 

μ

L(опт) = √ 2 μ* g* s (1 – ----)

λ

 

 

Б)Если интенсивность восполнения запаса высокая, поставка мгновенная, то положив

λ→∞, μ / λ = 0 в (9) – (11) получим:

 

------------------

2 μ g

Yпз (опт) = √ ----------------

s

s (1 + ----)

p

 

s

2 * g (1 + --)

λ

Т (опт) = √ ---------------------

μ * s*

 

-----------------------

2 μ* g* s

L(опт) = √ -----------------------

s

1 + -----

p

 

В) Если дефицит не допускается, заказы выполняются мгновенно, то подставив

λ→∞, p →∞ получим формулы Уилсона

 

 

2 μ g 2 g

Yпз (опт) = √ -----------; Т (опт) = √ ------; L(опт) = √ 2 μ* g* s

s μ * s

 

 

Yпз (опт) = экономический размер партии

 

Спрос с постоянной интенсивностью СПИ (μ)

Поставки с постоянной интенсивностью ППИ (λ)

Предельный запас на складе Пр ЗС: (Yпз)

Максимальный дефицит Yд

Расходы на хранение

Затраты за цикл Т ЗТ

Полный цикл - Т

удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени (s)

фиксированные расходы на запуск партии (g)

Оптимальный размер закупочной партии - Q*

 

Функция затрат за цикл (L(T)) = фиксированные расходы на запуск партии (g) +

· удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени (s)

 

 

t1 + t 2 T

L(T) = (g) + (s) * ∫ y(t) dt – p * ∫ y (t) dt

0 t 1+ t2

 

p - удельный штраф (затраты) за дефицит единицы запаса в течение единицы времени

 

 

Варианты задач управления запасами:

Детерминированный стационарный спрос

Переменная цена товара

Многономенклатурные запасы

Вероятностный спрос и мгновенные поставки

 

Методы начальных приближений

Модели определения оптимального размера закупочной партии:

1.)Модель экономического заказа

2* Годовой спрос* Затр. заказа

Q* = √ --------------------------------------------

Затр. Хранения

2.)Модель производственного заказа

2* Годовой спрос* Затр. заказа

Q* =√ ------------------------------------------------------------------------------------

Затр. Хранения * (1 – годовой спрос: мощность производителя)

3) Модель заказа с резервным запасом

2* Годовой спрос* Затр. заказа Затр. Хранения + Затр.резервирования

Q* = √ -------------------------------------------- * -------------------------------------------

Затр. Хранения Затр.резервирования

 

Задача

Фирма ежегодно закупает Д = 8000 деталей по цене Ц = 10 руб./ шт. и использует на сборке

Затраты на хранение одной детали в течение года на Хр = 3 руб./шт.

Затраты на оформление заказа З = 30 руб./заказ

Годовой фонд работы за год Ф = 200 рабочих дней

Доставка заказа от поставщика Дост.= 2 рабочих дня

Производственная мощность поставщика - 10 670 деталей в год.

Затраты резервирования Рез. = 7 руб./шт. в год

Рассчитать Q*

Решение

Если все 8000 деталей закупаются одновременно на год, то общие затраты составят:

Q средн.год = (Qmax – Q min)/2 = 4000

 

Размер закупочной Затраты Затраты Затраты