Дифференциальные уравнения первого порядка

ВВЕДЕНИЕ

 

Методические указания предназначены для студентов 2-го курса заочной формы обучения всех специальностей и содержат варианты заданий контрольной работы № 5 по теме: «Дифференциальные уравнения». Приведены краткие теоретические сведения и примеры выполнения заданий.

Перед началом выполнения контрольной работы необходимо изучить теоретический материал, используя методические указания, конспекты установочных занятий и рекомендуемую литературу.

Контрольная работа оформляется в отдельной тетради, регистрируется в деканате и передается на проверку преподавателю в установленные сроки.

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 5

 

Номер варианта	Задание 1.1. Найти общее решение ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными	Задание 1.2. Найти общее решение однородного ДУ 1-го порядка

 

 

Номер варианта	Задание 1.3. Найти общее решение линейного ДУ 1-го порядка	Задание 1.4. Найти общее решение уравнения Бернулли

 

Номер варианта	Задание 1.5. Определить тип ДУ 1-го порядка и решить задачу Коши	Задание 2.1. Решить задачу Коши для ДУ второго порядка

 

 

Номер варианта	Задание 2.2. Найти общее решение линейных однородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

 

Номер варианта	Задание 2.3. Найти общее решение линейного неоднородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

 

2. КРАТКИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ И ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ:
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Однородные уравнения

 

Однородные ДУ 1-го порядка имеют вид:

(4)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены где Действительно, подставляя в уравнение (4) получаем: — уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим

 

После вычисления интеграла вместо z нужно подставить и, если можно, упростить полученное выражение.

Пример 1.2. Найти общее решение ДУ

Решение. Разделим уравнение на (х = 0 не принадлежит ООУ) и получим: — однородное уравнение вида (4) в котором

Делаем замену Тогда исходное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными:

Найдем интегралы в левой и правой частях полученного равенства:

Итак, получим:

— общий интеграл исходного ДУ.

 

Линейные уравнения

 

Линейные ДУ 1-го порядка имеют вид:

(5)

где p (x) и q (x) — известные функции, непрерывные на некотором интервале.

Такие уравнения обычно решают методом Бернулли, который состоит в следующем. Решение ищется в виде произведения двух функций Тогда Подставляя y и y ¢ в (5), получим:

 

Объединим второе и третье слагаемые в левой части последнего уравнения, вынося U за скобки, и получим:

(6)

Поскольку одну неизвестную функцию у заменили двумя функциями U и V, то одну из этих функций можем взять произвольно. Выберем функцию V (x) так, чтобы она была решением уравнения

(7)

тогда вторая функция U (x) должна удовлетворять уравнению

(8)

Решив уравнение с разделяющимися переменными (7), найдем V и подставим его в (8), откуда найдем U. Общее решение получим как произведение найденных функций U и V:

Пример 1.3. Найти общее решение ДУ:

Решение. Уравнение имеет вид (5), поэтому является линейным. Решим его методом Бернулли. Сделаем замену

Приравняем коэффициент при U к нулю и получим:

Решим первое из полученных уравнений:

(при интегрировании использовали формулы 4 и 2 таблицы интегралов). При нахождении V постоянную С полагаем равной нулю, так как в данном случае достаточно найти некоторое решение.

Полученную функцию подставим во второе уравнение:

(использовали формулы 2 и 7 таблицы интегралов).

Таким образом, или — общее решение исходного ДУ.

 

Уравнения Бернулли

 

Уравнения Бернулли имеют вид:

(9)

где

Метод решения таких уравнений тот же, что и для линейных уравнений.

Пример 1.4. Найти общее решение ДУ:

Решение. Разделим уравнение на (х = 0 не является решением данного ДУ):

Полученное уравнение имеет вид (9), следовательно, это уравнение Бернулли. Сделаем замену Получим:

Приравняем коэффициент при U нулю и получим:

Решим первое уравнение:

(использовали формулу 4 таблицы интегралов).

Подставим полученную функцию V во второе уравнение:

(использовали формулы 3 а и 9 таблицы интегралов).

Таким образом, общее решение ДУ:

Случай V = 0 и y = 0 является решением ДУ, и так как оно не может быть получено из общего решения, то является особым решением.

Все рассмотренные типы ДУ 1-го порядка и методы их решения включены в таблицу ДУ 1-го порядка (см. прил. 2).

 

Решение.

а) Составим характеристическое уравнение:

Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:

(20)

Получим корни:

Поскольку и то общее решение запишем в виде (17):

б)

Характеристическое уравнение:

его корни найдем по формулам (20):

Поскольку то общее решение запишем в виде (18):

в)

Характеристическое уравнение:

его корни найдем по формуле (20):

Получили комплексно сопряженные корни вида где а = 1, b = 4.

Решение запишем в виде (19):

г)

Характеристическое уравнение:

Решим его:

— комплексно сопряженные корни вида где а = 0, b = 1,3. Решение запишем в виде (19), при этом учтем, что

 

 

2.2.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка имеют вид:

(21)

Здесь — известная функция, непрерывная на некотором промежутке.

Согласно теореме о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ общее решение ДУ (21) есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (15) и любого частного решения неоднородного уравнения (21), т. е.

(22)

Рассмотрим, в каком виде можно искать частное решение ДУ (21), когда правая часть уравнения имеет специальный вид.

Пусть и корни характеристического уравнения (16), а правая часть уравнения имеет вид:

(23)

где — многочлены от х степеней n и m соответственно с известными коэффициентами.

Тогда частное решение следует искать в виде:

(24)

где k — кратность корня характеристического уравнения:

При этом многочлены от х степени с
некоторыми, пока неизвестными, коэффициентами. Неизвестные коэффициенты многочленов и находят методом неопределенных коэффициентов.

Пример 2.3. Найти общее решение линейных неоднородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

а) б)

Решение.

а)

Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ:

Характеристическое уравнение:

Поскольку и то общее решение запишем в виде (17), при этом учтем, что

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения

Сравнивая ее с видом (23) заключаем, что Определим параметры частного решения (24). Учитывая, что а получим, что не является корнем характеристического уравнения, поскольку корни Следовательно, k = 0. Найдем Следовательно, порядок многочленов R и S равен 0, т. е. R ₀ = A, а S ₀ = B, где А и В — некоторые неизвестные пока коэффициенты. Подставив полученные параметры в имеем:

Коэффициенты А и В определим из условия, что функция у _чн — решение уравнения и поэтому должна ему удовлетворять. Найдем и

и подставим в исходное уравнение:

Приравняем коэффициенты при и в правой и левой частях полученного равенства:

Итак,

Тогда согласно (22) общее решение неоднородного ДУ имеет вид:

б)

Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ:

Характеристическое уравнение:

Найдем его корни по формуле (20):

Поскольку и то общее решение запишем в виде (17):

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения Сравнивая ее с видом (23) заключаем Определим параметры частного решения (24). Учитывая, что а получим, что однократный корень характеристического уравнения, поскольку корни Следовательно, k = 1. Найдем Следовательно, порядок многочленов R и S равен 1, т. е. а где А, В, С, D — неизвестные коэффициенты. Подставляя полученные параметры в имеем:

Для определения коэффициентов А и В найдем и

и подставим в исходное уравнение:

Разделим обе части уравнения на и приведем подобные члены:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях уравнения:

Итак,

Тогда согласно (22) общее решение неоднородного ДУ имеет вид:

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Таблица основных интегралов

 

1.	2.
3.	3а.
4.	5.
6.	7.
8.	9.
10.	11.
12.	13.
14.	15.
16.	17.
18.

 

 

Приложение 2

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, 1998. — 656 с.

2. Баврин И.И. Высшая математика. — М.: ACADEMIA, 2002. — 616 с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 т. Т. 2. — М.: Высш. шк., 1998. — 304 с.

4. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2000. — 471 с.

5. Практикум по высшей математике для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003. — 423 с.

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Методические указания предназначены для студентов 2-го курса заочной формы обучения всех специальностей и содержат варианты заданий контрольной работы № 5 по теме: «Дифференциальные уравнения». Приведены краткие теоретические сведения и примеры выполнения заданий.

Перед началом выполнения контрольной работы необходимо изучить теоретический материал, используя методические указания, конспекты установочных занятий и рекомендуемую литературу.

Контрольная работа оформляется в отдельной тетради, регистрируется в деканате и передается на проверку преподавателю в установленные сроки.

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 5

 

Номер варианта	Задание 1.1. Найти общее решение ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными	Задание 1.2. Найти общее решение однородного ДУ 1-го порядка