Критерий для разности средних значений

Часто возникает задача сравнения двух выборочных средних с целью проверки гипотезы о том, что эти выборки получены из одной и той же генеральной совокупности, а реальные расхождения в значениях выборочных средних объясняются случайностями выборок.

Испытуемую гипотезу можно сформулировать следующим образом: различие между выборочными средними случайно, т.е. генеральные средние в обоих случаях равны. В качестве статистической характеристики снова используется величина t, представляющая собой разность выборочных средних, деленную на усредненную стандартную ошибку среднего по обеим выборкам.

Фактическое значение статистической характеристики сравнивается с критическим значением, соответствующим выбранному уровню значимости. Если фактическое значение больше, чем критическое, испытуемая гипотеза отклоняется, т.е. различие между средними считается значимым (существенным).

Порядок выполнения работы

Для того чтобы понять как доверительная вероятность и количество измерений влияет на результат, проведем несколько экспериментов:

- необходимо сделать измерений одной и той же величины 5 раз;

- необходимо сделать измерений одной и той же величины 10 раз;

- необходимо сделать измерений одной и той же величины 20 раз.

Для n - измерений величины х

 

 

Таблица 6.1 – Таблица для занесения данных расчётов и измерений

№ п/п	хi	Δi = xi - xср	Δi^2=(х-хср)^2
	х1
	х2
	х3
…	…	…	…
n	xn
	∑xn		∑Δ^2

 

Необходимо определить среднее арифметическое значение результатов n - измерений по формуле: ,

где - сумма результатов n - измерений.

Далее необходимо определить случайные погрешности Δ результатов ряда n – измерений: Δ₁=X₁-X_cp, Δ₂=X₂-X_cp,…Δ_n=X_n-X_cp. Результаты занести в таблицу 6.2.

Находим квадратичные значения случайных погрешностей Δ². После чего суммируем все полученные значения Δ² и получаем ∑Δ².

Среднеквадратичное отклонение результата измерения определяется через случайные погрешности результатов ряда измерений по формуле:

. (6.2)

Таблица 6.2 – значений х, Δ, Δ² (n = 20,10,5)

i	xi	xi - xср.	(xi - xср.)^2	i	xi	xi - xср.	(xi - xср.)^2	i	xi	xi - xср.	(xi - xср.)^2
								Итог
				Итог
∑Итог

Статистическая обработка результатов измерений

2.1. Определение основных статистических характеристик выборки при n = 20.

2.1.1. Размах

2.1.2. Среднее арифметическое значение

2.1.3. Среднее квадратичное отклонение

2.1.4. Дисперсия D = σ²

2.1.5. Коэффициент вариации

> 0,15 – неоднородная выборка

6.3 – Таблица результатов обработки

n	R	xср	σ	D	Kb

 

2.2 Определение абсолютной и относительной погрешностей выборки.

Оценка влияния числа измерений на точность определения статистических характеристик.

Таблица 6.4 – Результаты обработки чисел 20 измерений

Статистическая характеристика	Значения принимаемые за действиительные (20 измерений)	Выборка из 10-ти измерений	Выборка из 5-ти измерений
Статистическая характеристика	Δ	δ %	Статистическая характеристика	Δ	δ %
R
xср
σ
D
Kb

Сделать вывод о том, как с увеличением числа измерений меняется точность измерений.

Построить для 5, 10 и20 измерений графики, изобразив на них (в виде гистограммы) значения х, х_ср и границами доверительного интервала.

Верхняя граница доверительного интервала .

Нижняя граница доверительного интервала .

3 Интервальная оценка параметров распределения.

3.1 Определить границы доверительного интервала для единичного результата измерения по формуле для количества измерений n, для всех уровней доверительной вероятности p.

, . (6.3)

Таблица 6.5 – Таблица для заполнения расчетных значений границ доверительного интервала при n = 20

p	0,689	0,85	0,9	0,95	0,98	0,997
t		1,44	1,65	1,96	2,33
xн
xв

3.2 Построить кривую .

Таблица 6.6 – Таблица для заполнения значений функции

t			1,44	1,65	1,96	2,33
f(x)

 

3.3 Определить границы доверительного интервала для истинного значения.

Необходимо определить доверительный интервал при числе измерений n, используя коэффициенты Стьюдента, которые зависят от принятой доверительной вероятности p и числа измерений n (из таблицы Стьюдента).

Результаты измерений величины х по известному значению σ_n и выбранному коэффициенту Стьюдента t_C для доверительной вероятности p рассчитываем по формуле:

(6.4)

Соответственно рассчитываем значение доверительных интервалов при доверительной вероятности 0,95 и при 0,99, которые приведены в таблице Стьюдента (таблица 6.10).

Рассчитать доверительные интервалы для 5, 10 и 20 измерений значений величины х.

(6.5)

для всех уровней доверительной вероятности p.

Таблица 6.7 – Таблица коэффициентов t

p	0,9	0,95	0,98	n
t

 

Таблица 6.8 – Таблица интервалов

n				p
xср
σ
xн				0,9
xв
xн				0,95
xв
xн				0,98
xв

 

3.4 Графически изобразить интервалы для n = 20; 10; 5 при p = 0,9

Сделать вывод о том, как ведут себя границы доверительного интервала с увеличением количества измеренй.

3.6 Проверить выборки из 5-ти и 10-ти измерений на наличие результатов с погрешностями по методу Романовского для 3-х уровней доверительной вероятности. Определить при каком уровне доверительной вероятности появляется необходимость корректировать выборку.

(6.6)

; . (6.7)

Для n = 10 x_ср, σ, x_max, x_min.

Для n = 5 x_ср, σ, x_max, x_min.

 

 

Таблица 6.9 – Таблица для занесения расчетных данных

p	0,9	0,95	0,98	xmax	xmin	n
tдоп	2,29	2,41	2,54
Δдоп
xв
xн
t	1,87	1,92	1,96
Δдоп
xв
xн

 

Таблица 6.10 – Фрагмент таблицы критических значений коэффициента Стьюдента t_С для различной доверительной вероятности p и числа количества измерений n.

n	p
0.80	0.90	0.95	0.98	0.99	0.995	0.998	0.999
	3.0770	6.3130	12.7060	31.820	63.656	127.656	318.306	636.619
	1.8850	2.9200	4.3020	6.964	9.924	14.089	22.327	31.599
	1.6377	2.35340	3.182	4.540	5.840	7.458	10.214	12.924
	1.5332	2.13180	2.776	3.746	4.604	5.597	7.173	8.610
	1.4759	2.01500	2.570	3.649	4.0321	4.773	5.893	6.863
	1.4390	1.943	2.4460	3.1420	3.7070	4.316	5.2070	5.958
	1.4149	1.8946	2.3646	2.998	3.4995	4.2293	4.785	5.4079
	1.3968	1.8596	2.3060	2.8965	3.3554	3.832	4.5008	5.0413
	1.3830	1.8331	2.2622	2.8214	3.2498	3.6897	4.2968	4.780
	1.3720	1.8125	2.2281	2.7638	3.1693	3.5814	4.1437	4.5869
	1.363	1.795	2.201	2.718	3.105	3.496	4.024	4.437
	1.3562	1.7823	2.1788	2.6810	3.0845	3.4284	3.929	4.178
	1.3502	1.7709	2.1604	2.6503	3.1123	3.3725	3.852	4.220
	1.3450	1.7613	2.1448	2.6245	2.976	3.3257	3.787	4.140
	1.3406	1.7530	2.1314	2.6025	2.9467	3.2860	3.732	4.072
	1.3360	1.7450	2.1190	2.5830	2.9200	3.2520	3.6860	4.0150
	1.3334	1.7396	2.1098	2.5668	2.8982	3.2224	3.6458	3.965
	1.3304	1.7341	2.1009	2.5514	2.8784	3.1966	3.6105	3.9216
	1.3277	1.7291	2.0930	2.5395	2.8609	3.1737	3.5794	3.8834

 

3.7 Сделать вывод от наличии или отсутствии грубых ошибок в выборке.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А – Основополагающие документы по обеспечению единства измерений

 

ГОСТ Р 8.000-2000 ГСИ - Основные положения.

ГОСТ 8.001-80 ГСИ - Организация и порядок проведения государственных испытаний средств измерений.

ГОСТ 8.002-86 ГСИ - Государственный надзор и ведомственный контроль за средствами измерений.

ГОСТ 8.009-84 ГСИ - Нормируемые метрологические характеристики средств измерений.

ГОСТ 8.021–84. ГСИ. Государственный первичный эталон и государственная поверочная схема для средств измерений массы

ГОСТ 8.022–91. ГСИ. Государственный первичный эталон и государственная поверочная схема для средств измерений силы постоянного электрического тока в диапазоне

1∙ 10^-16 – 30 А.

ГОСТ 8.027–2001. ГСИ. Государственная поверочная схема для средств измерений постоянного электрического напряжения и электродвижущей силы.

ГОСТ 8.028–86. ГСИ. Государственный первичный эталон и государственная поверочная схема для средств измерений электрического сопротивления.

ГОСТ 8.029–80. ГСИ. Государственный первичный эталон и общесоюзная поверочная схема для средств измерений индуктивности.

ГОСТ 8.050-73 ГСИ - Нормальные условия выполнения линейных и угловых измерений.

ГОСТ 8.051-81 ГСИ - Погрешности, допускаемые при измерении линейных размеров до 500 мм.

ГОСТ 8.057-80 ГСИ - Эталоны единиц физических величин. Основные положения.

ГОСТ 8.061-80 ГСИ - Поверочные схемы. Содержание и построение.

ГОСТ 8.129–99. ГСИ. Государственная поверочная схема для средств измерений времени и частоты.

ГОСТ 8.132–74. ГСИ. Государственный специальный эталон и общесоюзная поверочная схема для средств измерений силы тока 0,04 – 300 А в диапазоне частот 0,1 – 300 МГц.

ГОСТ 8.157–75. ГСИ. Шкалы температурные практические.

ГОСТ 8.207-76 ГСИ - Прямые построения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.

ГОСТ 8.256-77 ГСИ - Нормирование и определение динамических характеристик аналоговых средств измерений. Основные положения.

ГОСТ 8.310-90 ГСИ - Государственная служба стандартных справочных данных. Основные положения.

ГОСТ 8.315-97 ГСИ - Стандартные образцы состава и свойств веществ и материалов. Основные положения.

ГОСТ 8.371–80. ГСИ. Государственный первичный эталон и общесоюзная поверочная схема для средств измерений электрической емкости.

ГОСТ 8.372-80 ГСИ - Эталоны единиц физических величин. Порядок разработки, утверждения, регистрации, хранения и применения.

ГОСТ 8.381-80 ГСИ - Эталоны. Способы выражения погрешностей

ГОСТ 8.383-80 ГСИ - Государственные испытания средств измерений. Основные положения.

ГОСТ 8.395-80 ГСИ - Нормальные условия измерений при поверке. Общие требования.

ГОСТ 8.401-80 ГСИ - Классы точности средств измерений. Общие требования.

ГОСТ 8.417–2002. ГСИ. Единицы величин.

ГОСТ 8.430-88 ГСИ - Обозначения единиц физических величин для печатающих устройств с ограниченным набором знаков.

ГОСТ 8.508-84 ГСИ - Метрологические характеристики средств измерений и точностные характеристики средств автоматизации ГСП. Общие методы оценки и контроля.

ГОСТ 8.513-84 ГСИ - Поверка средств измерений. Организация и порядок проведения.

ГОСТ 8.525-85 ГСИ - Установка высшей точности для воспроизведения единиц физических величин. Порядок разработки аттестации, регистрации, хранения и применения.

ГОСТ 8.549-86 ГСИ - Погрешности, допускаемые при измерении линейных размеров до 50 мм с неуказанными допусками.

ГОСТ 8.558–93. ГСИ. Государственная поверочная схема для средств измерений температуры.

ГОСТ Р 8.563-96 ГСИ - Методики выполнения измерений.

ГОСТ 8.566-99 ГСИ - Межгосударственная система данных о физических константах и свойствах веществ и материалов. Основные положения.

ГОСТ Р 8.568-97 ГСИ - Аттестация испытательного оборудования. Основные положения.

ГОСТ 1954–82. Меры электродвижущей силы. Элементы нормальные. Общие технические условия.

ГОСТ 22261–94. Средства измерения электрических и магнитных величин. Общие технические условия.

ГОСТ 22315–77. Средства агрегатные информационно-измерительных систем. Общие положения.

ГОСТ 23217–78. Приборы электроизмерительные аналоговые с непосредственным отсчетом. Наносимые условные обозначения.

РМГ 29–99. ГСОЕИ. Метрология. Основные термины и определения. Нормативные документы.

ГОСТ Р 1.4–93. ГСС РФ. Стандарты отраслей, стандарты предприятий, стандарты научно-технических, инженерных обществ и других общественных организаций. Общие положения.

 

Приложение Б – Инструкции по эксплуатации мультиметров MY-61, MY-62, MY-63, MY-64

 

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Горбоконенко, В. Д. Метрология в вопросах и ответах / В. Д. Горбоконенко, В. Е. Шикина. – Ульяновск: УлГТУ, 2005. – 196 с.

2 Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуникационных системах: учебник для вузов / В. И. Нефедов, В. И. Хахин, Е. В. Федорова и др.; под ред. В. И. Нефедова. – М.: Высш. шк., 2001. – 383 с.

3 Сергеев, А. Г. Метрология: учеб. пособие для вузов / А. Г. Сергеев, В. В. Крохин. – М.: Логос, 2001. – 408 с.

4 Сергеев, А. Г. Метрология, стандартизация, сертификация: учеб. пособие/ А. Г. Сергеев, М. В. Латышев, В. В. Терегеря. – М.: Логос, 2004. – 560 с.

5 Каратаев, Р.Н. Метрология: Учебное пособие/ Р.Н. Каратаев, В.А.Гогин. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2004.– 415 с.

6 Лифиц, И.М. Основы стандартизации, метрологии, сертификации: Учебник. – М.: Юрайт, 2000. – 285 с.

7 Метрология и радиоизмерения: О.Ю. Абрамов, С.А. Баруздин, А.А. Данилин, М.В. Дмитрюк, А.С. Кривенко. / под ред. С.А. Баруздина. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2005. 90 с.

8 Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуникационных системах: учебник для вузов / В. И. Нефедов, В. И. Хахин, Е. В. Федорова и др.; под ред. В. И. Нефедова. – М.: Высш. шк., 2001. – 383 с.

 

 

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

 

Елшин Анатолий Иванович