Лабораторная работа № 7 расчет частотных и переходных характеристик систем автоматического регулирования

Цель

Изучить способы анализа систем автоматического регулирования (САР) путем расчета и построения частотных и переходных характеристик.

Задание

Требуется выполнить указанные ниже этапы работы. Вариант работы назначается или выбирается по номеру зачетной книжки как в лабораторной работе №5.

7.1. Для каждого из звеньев, указанных на рис. 7.1 и выполненных на базе операционного усилителя, найти передаточную функцию. Указать к какому типу типовых звеньев относится данное звено.

7.2. Составить структурную схему с указанием передаточных функций каждого звена и определить общую передаточную функцию всей системы W ₀.

7.3. Построить амплитудно-фазовую (годограф), амплитудно-час-тотную, фазочастотную и логарифмическую частотную характеристики.

7.4. По виду передаточной функции W ₀ построить логарифмическую асимптотическую частотную характеристику (ЛАЧХ).

7.5. Построить график переходного процесса (переходную характеристику) при единичном входном ступенчатом воздействии и определить время переходного процесса – время регулирования Т_р – с погрешностью δ = 5 %.

7.6. Проверить полученные результаты моделированием в среде Workbench.

В отчете привести расчеты, табличные и графические результаты.

Методические указания и пример расчета

В общем виде типовые элементы электронной автоматики, выполненные на базе операционного усилителя, имеют структуру, показанную на рис. 7.3. На этом рисунке опе­рационный усилитель (ОУ) имеет внешние цепи с комплексным сопротивлением z ₀ и z ₁, причем z ₁ – сопротивление на входе элемента, а z ₀ – сопротивление цепи обратной связи.

Сопротивления z ₀ и z ₁ комплексные, т.к. в общем случае содержат, кроме резисторов с активным сопротивлением, емкостные и индуктивные элементы цепей с соответствующими реактивными сопротивлениями. Именно поэтому расчет схем на базе операционных усилителей удобно выполнять в комплексной форме с использованием преобразования Лапласа.

Комплексные сопротивления отдельных элементов электронных цепей приведены в табл. 7.1 (позиции 1–3). Там же приведены выражения для полных комплексных сопротивлений при параллельном (позиция 4) и последовательном (позиция 5) соединении элементов с комплексными сопротивлениями z ₁ и z _2.

 

Таблица 7.1

 

№	Элемент цепи	Комплексное сопротивление
		Z (p) = R
		Z (p) = pl
		Z (p) = Z1 + Z2

 

Пользуясь приведенными в табл. 7.1 соотношениями, можно определить полное комплексное сопротивление любой электронной цепи и рассчитать, в частности, сопротивления Z₀ и Z₁ схемы, показанной на рис. 7.3. Для этого вместо каждого электронного элемента цепи записывается его комплексное сопротивление в соответствии с позициями 1–3, табл. 7.1, а полное сопротивление рассчитывается в соответствии с позициями 4–5.

Рассчитав сопротивления Z ₀ и Z ₁, определяют передаточную функцию W (p) звена по следующей формуле:

 

. (7.1)

 

Рис. 7.1. Схемы звеньев САР на базе операционного усилителя

 

Варианты схем САР приведены на рис. 7.2:

Знак «–» в формуле (7.1) ставится тогда, когда операционный усилитель является ин­вертирующим, т.е. его выходное напряжение имеет противоположный знак по отношению ко входному. Это условие выполняется практически наиболее часто. Когда же выходное сопротивление неинвертировано – знак «–» опускается.

Дальнейший путь расчета и исследования электронных схем автоматики – приве­дение выражения (7.1) к виду

 

,

 

где .

 

 

 

 

Рис. 7.2. Варианты схем систем автоматического регулирования

 

Окончание рис. 7.2

 

Затем определяют известными из теории автоматического управления методами характеристики САР, влияющие на эффективность и качество ее функционирования.

на практике часто встречаются типовые динамические звенья (табл. 7.2), описываемые дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.

Для улучшения характеристик в электронные системы автоматического управления (САУ) вводят обратные связи, которые обеспечивают воздействие выходного сигнала на входной. Для этого может быть использован сумматор (звено 1 на рис. 7.1), на вход которого поступают входной сигнал и сигнал обратной связи. Если сигнал обратной связи является неинвертированным, или синфазным, по отношению к входному сигналу, то образуется положительная обратная, связь, так как указанные сигналы суммируются с одинаковыми знаками, а если инвертированным – то отрицательная.

Например, в варианте 0 на рис. 7.2 к сумматору подводится сигнал обратной связи, сформированный при прохождении через нечетное количество инвертирующих усилителей. Обратная связь в таком случае является отрицательной. Отрицательная (ООС) и положительная (ПОС) обратная связь на структурных схемах изображается следующими знаками соответственно:

 

– для ООС – для ПОС.

После определения вида обратной связи расчеты проводят по выражениям (7.4) или (7.5), но уже без учета инвертирования входящими ОУ, т.е. по модулю.

Приведем пример начального расчета задания для звена на базе ОУ, показанного на рис. 7.3.

 

 

Рис. 7.3. Пример звена для расчета

 

Определим передаточную функцию:

 

.

 

Комплексное сопротивление определим в соответствие с табл. 7.1. (позиции 1, 2, 5):

 

 

где , .

Полученная передаточная функция является суммой передаточных функций типового безынерционного звена (табл. 7.2, позиция 1) и идеального интегратора (табл. 7.2, позиция 5).

После определения передаточных функций, всех звеньев в варианте задания и вида обратных связей составляют структурную схему. На рис. 7.4 показана составленная для примера структурная схема.

 

Рис. 7.4. Пример представления структурной схемы

 

Таблица 7.2

 

Типовые динамические значения

 

№ п/п	Тип звена	Вид передаточной функции	Вид дифференциального уравнения
	Безынерционное
	Апериодическое 1 порядка
	Апериодическое 2 порядка
	Колебательное
	Идеальное интегри­рующее
	Инерционное интегрирующее
	Идеальное дифференцирущее
	Инерционное дифференцирущее

 

Передаточная функция всей системы определяется с учетом соединений ее звеньев по следующим правилам:

при последовательном соединении звеньев

 

; (7.2)

при параллельном соединении звеньев

 

; (7.3)

 

при отрицательной обратной связи

 

; (7.4)

 

при положительной обратной связи

 

. (7.5)

 

Определим, например, передаточную функцию системы, показанной на рис. 7.4. Пользуясь выражением для соединения с отрицательной обратной связью (7.4), получим

 

 

где .

Для определения частотных характеристик системы переходят от передаточной функ­ции W(p) к комплексной частотной передаточной функции W () путем формальной замены переменной на
(i · ω), где = .

Далее выделяют в функции W (i ω), вещественную часть и мнимую, содержащую :

 

,

 

где и – вещественная и мнимая частотная характеристики, соответственно.

Например, для рассматриваемого примера находим частотную передаточную функцию и ее вещественную и мнимую части:

 

;

 

 

где . (7.6)

 

При преобразованиях знаменатель и числитель домножались на комплексное выражение (комплексное число), сопряженное знаменателю, и учитывалось, что

 

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) строится на комплексной плоскости в координатах P () и i для различных значений циклической частоты .

Например, АФХ (годограф) показана на рис. 7.5.

Зависимость от частоты отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Для ее построения необходимо найти модуль комплексной частотной характеристики W (i ω):

 

. (7.7)

 

Зависимость от частоты фазового сдвига, получаемого сигналом после прохождения на выход, называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Для ее построения находят аргумент комплексной частотной функции:

 

arctg . (7.8)

 

Рис. 7.5. Построение ЛАЧХ

 

Продолжим расчет рассматриваемой схемы. По выражениям (7.7), (7.8), используя (7.6), определим АЧХ и ФЧХ:

 

 

.

 

По результатам расчета строят графики.

Примечание. При расчетах нужно учитывать выражения для постоянной времени:

. (7.9)

 

Логарифмические характеристики строятся в координатах и , причем циклическая частота откладывается в логарифмическом масштабе, но с указанием по оси абсцисс численных значений для частоты .

Следует отметить общую особенность построения графиков логарифмических частотных характеристик: значение на оси абсцисс находится в (–¥) из-за логарифмического масштаба.

Частоты сопряжения являются характерными точками изменения наклона асимптотической ЛАХ. В каждой из частот сопряжения , определяемых исходя из сомножителей комплексной частотной передаточной функции , происходит изменение текущего угла наклона асимптотической ЛАХ на ±20 дБ/дек. Указанной закономерностью пользуются для построения асимптотической ЛАХ, непосредственно по виду передаточной функции . Это позволяет строить асимптотические ЛАХ без проведения достаточно сложных математических преобразований, ориентируясь лишь на вид передаточной функции.

Построение переходной характеристики для единичного ступенчатого входного воздействия основано на переходе во временную область от выражения

 

. (7.10)

 

Выражение (7.10) описывает выходную величину H(p), когда на вход САР с передаточной функцией W(p) подано единичное ступенчатое воздействие, изображением которого есть 1/ p.

Переходя от выражения (7.10) во временную область, получают выражение для переходной характеристики – реакцию системы на единичное ступенчатое входное воздействие:

 

.

 

Знак L в выражении обозначает обратное преобразование Лапласа.

Для не очень сложных передаточных функций обратное преобразование осуществляют либо по таблицам обратных преобразований
[2; 22], либо используя формулы обратных преобразований, в частности, разложение Хевисайда [22; c. 234]. Используют также аналитическая разрешение соответствующего дифферинциального уравнения [2].

Построив графически переходную характеристику, определяют время переходного процесса как время входа в зону с указанной погрешностью отклонения δ.

Используем для обратного преобразования Лапласа разложение Хевисайда для рациональных алгебраических функций в случае простых корней [22, c. 234] в виде

 

,

 

где – знаменатель отношения многочленов, в котором опускаются сомножители вида , для значений корней .

Пример расчета

Поясним расчет на примере САР, содержащей звенья на ОУ
(см. рис. 7.1), со следующей схемой:

 

 

7.1. Определяем передаточные функции для звеньев (из рис. 7.1).

Звено № 1 - сумматор.

Передаточная функция:

 

 

Звено № 2

Передаточная функция:

 

;

 

где

По виду передаточной функции определяем, что звено безынерционное.

Звено № 3

Передаточная функция:

 

;

 

 

где

По табл. 7.2 определяем, что звено идеальное интегрирующее.

Для остальных звеньев приводим окончательные результаты.

Звено № 4:

 

 

где k ₄ = –0,5 – идеальное дифференцирующее звено.

Звено № 5

 

 

где k ₅ = –0,1, T ₅ = 0,01 – инерционное дифференцирующее.

Звено № 6

 

 

где k ₆ = –1, – инерционное.

7.2. Для составления структурной схемы определяем вид обратной связи (отрицательная или положительная). Так как в цепи обратной связи 1-1-2-5-2 и 1-2-4 нечетное количество блоков с инвертирующими операционными усилителями (пять блоков и три блока соответственно), то это определяет отрицательные обратные связи (если бы было четное количество операционных усилителей, обратные связи были бы положительными). Тогда схему с учетом определения обратных связей, как отрицательных обратных связей, можно представить в виде

 

 

В дальнейшем расчете теперь можно использовать значения для передаточных функций всех звеньев входящих в схему по модулю (т.е. не учитывать знак минус для передаточных функций каждого звена).

Рассчитываем передаточную функцию W ₂₄(p) для звеньев 1_2_4, соединенных с отрицательной обратной связью, по выражению (7.4):

где

Получаем следующую расчетную структурную схему:

 

 

Рассчитываем передаточную функцию W ₂₄₅(p) для последовательно соединенных звеньев W ₂₄(p) и 5 по выражению (7.2).

 

где

Получаем следующую расчетную структурную схему:

 

 

Рассчитываем общую передаточную функцию W ₀(p) для соединения с отрицательной обратной связью по выражению (7.4):

 

.

 

Для получения окончательного вида находим корни квадратного уравнения в знаменателе:

 

 

Окончательный вид общей передаточной функции будет таким:

 

где

Полученное выражение для передаточной функции W ₀(p) характеризует собой инерционное дифференцирующее звено.

Рассчитываем комплексную передаточную функцию и находим действительную и мнимую части выражения

К комплексной передаточной функции переходим формальной заменой

 

Для устранения комплексного значения i в знаменателе умножаем числитель и знаменатель на сопряженные комплексные выражения и делим действительную и мнимые части полученного выражения:

 

 

После преобразований получим

 

 

Используя полученные выражения для , рассчитываем остальные частотные характеристики.

АФХ (годограф) строится на комплексной плоскости в координатах и для различных значений циклической частоты .

Логарифмическая частотная характеристика (ЛЧХ) рассчитывается по выражению и строится в логарифмических координатах по оси частот по декадам, т.е. при десятикратном изменении частоты

, дБ.

 

Логарифмическая частотная характеристика (ЛАЧХ) строится на одном графике (совместно) с логарифмической частотной характеристикой . Для ее построения понадобятся частоты сопряжения , которые определяются из скобок выражения для общей передаточной функции W (p):

и .

 

Переходная характеристика реакция системы на единичное ступенчатое воздействие и ее изображение по Лапласу рассчитываются следующим образом:

 

 

Корни характеристического выражения знаменателя:

 

.

Используем для перехода от изображения к оригиналу для расчета обратное преобразование Лапласа – разложение Хевисайда:

 

Из графика h (t) определяем на уровне 5% от максимального
значения h = 0,00075 время регулирования Tр, которое примерно равно 17 с.

Построение логарифмической асимптотической частотной характеристики (ЛАЧХ) делается по виду передаточной функции и изменению текущего угла наклона ЛАЧХ в точках сопряжения. Передаточную функцию нужно перед этим привести к одному из трех возможных видов:

 

; (7.11)

 

; (7.12)

 

. (7.13)

 

Количество скобок вида может быть любым (от 0).

При этом начальный угловой коэффициент наклона определяется так:

– для передаточной функции W (p) вида (7.11) угловой коэффициент наклона равен 0 дБ/дек (децибел на декаду), т.е. ЛАЧХ проходит горизонтально при очень низких частотах Начальное положение ЛАЧХ равно , K – из выражения (7.11);

– для вида (7.12) угловой коэффициент наклона равен 20 дБ/дек, т.е. ЛАЧХ вначале при очень низких частотах возрастает. Начальное положение ЛАЧХ неизвестно, т.е. будет построен общий характер изменения ЛАЧХ. В реальном случае кривая будет смещена по вертикали вниз или вверх. Для определения точного начального положения нужен или расчет, или ЛАЧХ проводят, приближая к раcсчитанной ЛАХ;

– для вида (7.13) угловой коэффициент наклона равен – 20 дБ/дек, т.е. ЛАЧХ вначале при очень низких частотах уменьшается. Начальное положение ЛАЧХ как и в случае (7.12) неизвестно, т.е. будет построен лишь общий характер изменения ЛАЧХ. В реальном случае кривая будет смещена по вертикали вниз или вверх. Для определения точного начального положения нужен или расчет, или ЛАЧХ проводят, приближая к рассчитанной ЛАХ.

Во всех случаях дальнейшее изменение угла наклона происходит в точках сопряжениях. Они определяются для каждой из скобок вида :

 

. (7.14)

В каждой из таких частот сопряжения происходит изменение текущего угла наклона на дБ/дек, причем если скобка из которой определена частота сопряжения находится в числителе передаточной функции W(p) (7.11)–(7.13), то изменение текущего угла наклона ЛАЧХ происходит на +20 дб/дек, а если в знаменателе – на –20 дБ/дек.

В нашем примере находим все частоты сопряжения и расставляем их на оси частот (рис. 7.5):

 

– из знаменателя,

 

– из знаменателя.

 

Так как передаточная функция относится к виду (7.12), то ее начальный угловой коэффициент наклона равен +20 дБ/дек. При частоте он изменится на –20 дб/дек, так как найден для скобки из знаменателя (показано стрелкой вниз справа от ), и станет равным +20 – 20 = 0 (дБ/дек). В точке он также изменится на
–20 дб/дек и станет равным 020 = –20 (дБ/дек). Для построение углов наклона строим вспомогательный прямоугольник со сторонами 1 декада и 20 дБ и проводим диагонали с угловыми коэффициентами наклона +20 и –20 дБ/дек. Параллельно этим диагоналям и проводим прямые на ЛАЧХ. Вначале с угловым коэффициентом наклона +20 дБ/дек до пересечения со значением частоты , далее горизонтально с угловым коэффициентом 0 дБ/дек до пересечения с частотой , после чего с наклоном –20 дБ/дек. Строим ЛАЧХ на графике совместно с ЛАХ (рис. 7.5).

При построении приближаем, перемещая по вертикали, ЛАЧХ
к ЛАХ (на полученном рисунке кривая Lа (ЛАЧХ) незначительно смещена вверх от кривой L (ЛАХ) для удобства иллюстрации построения).

k   h(t

Проверяем аналитические расчеты, моделируя САР в Workbench. Для этого составляем общую электрическую принципиальную схему САР и набираем ее в Workbench. Подключаем body plotter для частотного анализа и генератор прямоугольных колебания для получения реакции на прямоугольное ступенчатое воздействие, т.е. для получения формы переходной характеристики. Для примера участок схемы одного из вариантов выглядит так (рис. 7.6).

 

 

Рис. 7.6. Исследование САР в Workbench

 

Контрольные вопросы и задания

 

7.1. Что такое преобразования Лапласа? Приведите выражение для прямого и обратного преобразования Лапласа.

7.2. Поясните графически правила построения логарифмической асимптотической частотной характеристики (ЛАЧХ) для своего задания.

7.3. Приведите графики результатов анализа САР в Workbench и копии экранов выполнения своего задания.

 

Вопросы для самопроверки

7.1. Какие условия применимости обратного преобразования Лапласа в форме разложения Хевисайда?

7.2. Какие еще программные средства для исследования САР Вам известны?

7.3. Какая из выполненных лабораторных работ является наиболее интересной?

 

 

П р и л о ж е н и е

ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ELECTRONICS WORKBENCH

 

На рис. П1 представлена панель инструментов «Indicators», которая включает в себя элементы индикации, которые можно разместить на схеме. В табл. П1 рассмотрены некоторые из них.

 

 

Рис. П1. Панель инструментов «Indicators»

 

Таблица П1

 

Описание элементов панели инструментов «Indicators»

 

Наименование элемента	Обозначение элемента на схеме	Краткое описание
Вольтметр		Вольтметр используется для измерения переменного или постоянного напряжения. Выделенная толстой линией сторона прямоугольника соответствует отрицательной клемме. Двойным нажатием левой кнопки мыши на значке вольтметра открывается окно изменения параметров вольтметра: на вкладке «Value» можно задать значение внутреннего сопротивления вольтметра и вид измеряемого напряжения (DC – постоянное, AC – переменное)
Амперметр		Амперметр служит для измерения переменного или постоянного тока. Выделенная толстой линией сторона соответствует отрицательной клемме. Двойным нажатием левой кнопки мыши по значку амперметра на вкладке «Value» можно задать аналогичные вольтметру параметры

Окончание табл. П1