Математика: экономико-математические методы

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО КУРСУ

МАТЕМАТИКА: ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ЧАСТЬ 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЛП)

Составить двойственные задачи к следующим задачам ЛП.

1. f(x) = 2x1– 2x2+ 3x3– 6x4 ® max –2x1+ x2 – 2x3 + x4 = –10 x1– 5x2 – x3 + 2x4 = 35 xj ³ 0, j=1,2,3,4	2. f(x) = – x1 – 3x2+ x3 ® min x1+ x2+ x3 ³ 6 x1– x2+ x3 £ 8 xj ³ 0, j=1,2
3. f(x) = 9x1+ 2x2+ 3x3+ 2x4 ® min –x1+ x2+ 2x3 = 2 3x1+ x2 – x3 – 4x4 = –1 xj ³0, j=1,2,3,4	4. f(x) = x1 – 2x2® max x1+ x2 £ 4 3 x1– x2 ³ 8 4x1+ x2 £ 0 x2 ³ 0

Составить двойственные задачи к следующим задачам ЛП и найти решение каждой пары геометрическим методом.

5. f(x) = – 2 x1+ x2 ® max – x1+ x2 £ 2 x1+ 2 x2 £ 7 xj ³ 0, j =1,2	6. f(x) = 7 x1 + 3 x2 ® min 3 x1 – x2 ³ 1 x1 – 3 x2 £ –5 xj ³ 0, j =1,2
7. f(x) = 2 x1+ 3 x2 ® max –3 x1+ x2 £ 3 x1– 2 x2 £ 2 xj ³ 0, j =1,2	8. f(x) = 6 x1 – 4 x2® min 3 x1+ 2 x2 ³3 – 4 x1 ³ 5 x1, x2 ³ 0

 

9. Проверить, является ли точка x^/= (1/2, 0, 0)оптимальным планом задачи ЛП.

f(x) = 2x₁+6x₂+4x₃ max,

0,2x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 1,

x₁ + 2x₂ + x₃ 2,

x₁, x₂, x₃ 0.

 

10. Проверить, есть ли среди точек x ^/ = (5, 0, 0, –2), x ^// = (1, 1/2, 1/2, 0),

x ^/// = (2, 1, 0, 0) оптимальный план задачи

f(x) = 4 x₁+ 3 x₂ – 3 x₃ – 2x₄ max

x₁+ x₂ + 3 x₃+ x₄ = 3

x₁– x₂ + x₃ + 2 x₄ = 1

x_j 0, j =1,2,3,4

Найти решение следующих задач ЛП, используя условия равновесия.

В ответе указать оптимальные планы прямой и двойственной задач и значения целевых функций.

11. , ,	12. , ,
13. , ,	14.

Найти решение следующих задач ЛП, используя условия равновесия, если известно оптимальное решение двойственной задачи (геометрически решать не надо!).

15. f(x) = –x1– 6x2+5 x3 ® max x1+3x2 + x3 ³ 4 x1– x2 + 2x3 £ 2 у* (1; 3) xj ³ 0, j=1,2,3

16. f(x) = 9x1+2x2+3x3+2x4 ® min –x1+ x2+ x3– x4 = 2 3x1+x2 – x3– x4 = –1 у* (–2,5; 0,5) xj ³ 0, j=1,2,3,4

Проверить с помощью условий равновесия, является ли точка x^/ оптимальным планом задачи (геометрически решать не надо!).

17. , ,

18. , ,

19. Фабрика производит три типа изделий А, В, С, используя для этого два вида сырья S₁ и S₂. Расход сырья на одно изделие, его запасы и цена реализации единицы продукции приведены в таблице

 

Вид cырья	Расход сырья на единицу	Запас сырья
А	В	С
S1
S2
цена	5$	10$	12$

Найти план выпуска продукции, максимизирующий суммарный доход.

20. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на витаминную диету и за сезон употребить витамина В₁ и витамина В₂, содержащихся во фруктах, в количествах не менее, чем указано в таблице:

Витамины	Содержание витаминов (ед.) в 1 кг. фруктов.	Норма потребления витаминов (ед.)
Клубника	Яблоки	Смородина
Витамин В1	3	2	1	31
Витамин В2	1	3	4	69
Цена за 1 кг. (руб.)	80	40	64

 

Определить, какое количество фруктов каждого вида необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предписание врача с минимальными расходами.

 

ТЕМА 3. СИМПЛЕКС–МЕТОД

Найти все базисные планы канонической задачи ЛП. Построить множество планов эквивалентной задачи ЛП с двумя переменными и указать на нем угловые точки, соответствующие базисным планам.

1. f(x) = 2 x1+ x2 ® max x1 – x2 – x3 = – 2, x1 +2x2 + x4 = 7, xj ³ 0, j = 1,…,4.	2. f(x) = x1 – x2 ® max x1 + x2 + 3 x3 + x4 = 3, x1 – x2 + x3 + 2 x4 = 1, xj ³ 0, j = 1,…,4.
3. f(x) = 2 x1 + 2 x2 +x3 +5x4 ® max x1 – x2 + x4 = 3, 2 x2 + x3 + 2 x4 = 6, xj ³ 0, j = 1,…,4.	4. f(x) = 4 x1 + 3 x2 – x3 ® max x1 + x2 + x3 = 3, x1 – x2 = 1, xj ³ 0, j = 1,2,3.

Нелинейное программирование (НЛП)

Тема 1. Геометрическое решение задач НЛП

На заданном множестве Х найти экстремумы заданных функций f(x).

1. X: .

a) ,

b) ,

c) .

2. X: , .

a) , b) .

3. X: . a) ,

b) ,

4. X: . .

5. X: , . .

6. X: , , . .

7. X: . .

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО КУРСУ

МАТЕМАТИКА: ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ