Практическое занятие № 35-36

Цель занятия: Показать возможность применения интегрального исчисления к решению задач различных областей естествознания.

Организационная форма занятия: семинар-консультация (занятие 35), практикум с применением интерактивной доски (занятие 36).

Компетенции, формируемые на занятии:

- способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических, и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1);

- способностью и готовностью к анализу медицинской информации при помощи системного подхода, к восприятию инноваций в целях совершенствования своей профессиональной деятельности, к использованию полученных теоретических, методических знаний и умений по фундаментальным естественнонаучным, медико-биологическим, клиническим и специальным (в том числе биохимическим) дисциплинам, в научно-исследовательской, лечебно-диагностической, педагогической и других видах работ (ПК-2, частично: формируется способность использовать методы математического анализа в научно-исследовательской деятельности).

Формирование у будущих специалистов этих компетенций на занятии предполагает обучение студентов

- сформулировать гипотезу и проверить ее в дальнейшем;

- анализировать ситуации и делать выводы;

- ставить новые вопросы и видеть проблемы в традиционных ситуациях;

- абстрагировать содержание и выделять существенное;

- применение численных методов решения базовых математических задач в практической деятельности.

Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Применение определенного интеграла для вычисления площадей.

2. Вычисление длины дуги.

3. Вычисление объемов.

4. Вычисление площади поверхности вращения.

5. Приложения определенного интеграла к решению задач естествознания.

Методические рекомендации

Для подготовки к занятию дома

1. Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения.

2. Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.

3. Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.

4. Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.

5. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1. Вычислите площадь, ограниченную параболами и

Решение. Определим точки пересечения парабол и построим эти параболы: отсюда, - абсциссы точек пересечения.

Ординаты точек пересечения находим, подставляя найденные абсциссы в уравнение одной из парабол: и - точки пересечения парабол.

Из рисунка видим, что площадь искомой фигуры

Площадь ОВD расположена под осью , поэтому перед знаком интеграла берем знак «минус».

Отсюда

2. Найдите площадь одного лепестка кривой

Решение. Один лепесток кривой получаем при изменении от 0 до . По формуле вычисления площади в полярных координатах имеем

Применяя формулы тригонометрии, имеем:

Отсюда

3. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды , прямой вокруг оси

Решение. Объем тела вращения, образованного вращением кривой вокруг оси , определяется формулой:

4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси плоский фигуры, ограниченной аркой циклоиды

Решение. Объем тела вращения, образованного вращением кривой вокруг осии :

Пользуясь данными параметрическими уравнениями циклоиды, преобразуем интеграл к переменной тогда при при

Тогда

5. Найдите длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки

Решение. Для вычисления длины дуги в прямоугольной декартовой системе координат воспользуемся формулой:

Разрешим данное уравнение кривой относительно и находим

(Знаки в выражении указывают,что кривая симметрична относительно оси ).

Тогда

6. Найдите длину астроиды

Решение. Длина дуги кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

где .

Найдем и

Учитывая симметричность астроиды, найдем длину ее дуги при изменении от 0 до (длина дуги, расположенной в 1 четверти). Тогда длина всей дуги

7. Скорость роста некоторой популяции микроорганизмов подчинена закону где время в секундах. Найдите численность этой популяции в момент времени , если численность этой популяции в момент времени 30с была 100000 единиц.

Решение. Так как скорость роста популяции является производной от численности популяции , следовательно, численность популяции является первообразной для . Поэтому

или

Тогда

Теоретические задания