Кафедра «Информационных технологий и математики»

Кафедра «Информационных технологий и математики»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

 

Методические указания

к контрольным работам для студентов

заочной формы обучения

 

Санкт-Петербург

 

 

Одобрено на заседании кафедры «Информационных технологий и математики» протокол №____ от «___» ________ 2015 г.

 

 

Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник заданий. Методические указания по контрольным работам для студентов заочной формы обучения.

 

 

Сборник содержит задачи контрольных работ по математической статистике для студентов заочной формы обучения всех направлений и специальностей СПбУУЭ, предусмотренные учебной программой в соответствии с ФГОС ВО. Задания и методические указания могут быть использованы в курсах математических дисциплин всех направлений и специальностей СПбУУЭ.

 

Составители:

к.п.н., доцент С.Д. Прозоровская

к.э.н. Т.А. Черняк

 

 

Рецензент:

 

 

© Санкт-Петербургский университет управления и экономики

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

	Требования к оформлению контрольных работ………………………
	Контрольная работа № 2. Элементы математической статистики….
	Краткое содержание (программа) курса………………………………
	Приложение 1. Значения функции Лапласа…………………………..
	Приложение 2. Таблица значений ………………………………….

 

Требования к оформлению

Контрольных работ

1. Контрольные работы следует выполнять в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указать: название института Университета; название кафедры; название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию,имя, отчество и личный шифр студента.

2. На каждой странице следует оставить поля размером 4 см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.

3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номера задач по данному сборнику. В условия задач следует сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, после чего выполняется их решение.

4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.

 

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач

 

Пример

Результаты измерений некоторой физической величины представлены в таблице:

i
		1;3,5	3,5;6	6;8,5	8,5;11	11;13,5	13,5;16	16;18,5

1. Найти функцию распределения выборки и построить ее график.

2. Построить гистограмму относительных частот.

3. Найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию .

4. Используя функцию Лапласа, построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности .

5. С помощью критерия (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .

Решение

Объем выборки , длина интервала . Для нахождения эмпирической функции распределения , построения гистограммы относительных частот и вычисления числовых характеристик выборки дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки каждого интервала, строкой относительных частот , строкой накопленных относительных частот и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот .

Таблица 1

 

i
		1;3,5	3,5;6	6;8,5	8,5;11	11;13,5	13,5;16	16;18,5
		2,25	4,75	7,25	9,75	12,25	14,75	17,25
	0,03	0,08	0,14	0,27	0,2	0,16	0,07	0,05
	0,03	0,11	0,25	0,52	0,72	0,88	0,95
	0,012	0,032	0,056	0,108	0,08	0,064	0,028	0,02

 

1. Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот, которые расположены в шестой строке таблицы 1. Эта функция имеет скачки в точках – серединах интервалов группированного статистического ряда.

Аналитическое выражение эмпирической функции распределения имеет вид:

.

 

 

График эмпирической функции распределения изображен на рис. 1.

0,95 0,88     0,72   0,52     0,25     0,11 0,03

-0,25 2,25 4,75 7,25 9,75 12,25 14,75 17,25 х

 

Рис. 1

 

 

2. Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в седьмой строке таблицы 1. График гистограммы изображен на рис. 2.

 

h_i

0,108

 

 

 

0,08

 

 

0,064

0,056

 

 

0,032 0,028

 

0,02

0,012

 

 

х

-1,5 1 3,5 6 8,5 11 13,5 16 18,5

 

Рис. 2

 

 

3. Найдем числовые характеристики выборки. Выборочное среднее находим по формуле , в нашем случае

Исправленную выборочную дисперсию находим по формуле , в нашем случае

.

 

4. При большом объеме выборки доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

.

Используя таблицу значений функции Лапласа (приложение 1) находим .

Вычислим , тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

или

.

 

5. Выдвигаем простую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. В качестве критерия проверки справедливости гипотезы выбирается случайная величина

,

где находятся по формуле вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе

,

где – функция Лапласа.

Замечание. Если использовать таблицу значений функции Лапласа , то вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе распределения находится по формуле .

Для соблюдения условия полагают , .

Для вычисления критерия составим расчетную таблицу:

 

Таблица 2

 

I
		1;3,5	3,5;6	6;8,5	8,5;11	11;13,5	13,5;16	16;18,5
		2,25	4,75	7,25	9,75	12,25	14,75	17,25
		3,5		8,5		13,5
			3,5		8,5		13,5
					0,5803	1,1849	1,7895
						0,5803	1,1849	1,7895
					0,438	0,764	0,926
						0,438	0,764	0,926
	0,033	0,0755	0,1565	0,2255	0,2285	0,163	0,081	0,037
	3,3	7,55	15,65	22,55	22,85	16,3	8,1	3,7
		10,85	15,65	22,55	22,85	16,3	11,8
		0,15		4,45			0,2
		0,0225	2,7225	19,8025	8,1225	0,09	0,04
		0,0020	0,1739	0,8781	0,3554	0,0055	0,0033

Находим сумму элементов 11-ой и 12-ой строк таблицы 2, получаем .

Критерий равен сумме элементов последней строки таблицы 12:

.

Находим критическую область . Так как уровень значимости по условию, число степеней свободы , то согласно таблице распределения - , критическая область имеет вид .

Так как критерий не попал в критическую область , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

 

Условные средние компонент

, ,

где усреднение ведется в 1-ой формуле лишь по тем , которые появились совместно с данным у, а во 2-ой формуле лишь по тем , которые появились совместно с данным х.

Функция регрессии имеет важное значение при статистическом анализе зависимостей и может быть использована для прогнозирования значений одной из СВ, если известны значения другой СВ. Точность такого прогноза определяется условной дисперсией. Однако возможности практического применения функции регрессии весьма ограничены, так как для ее использования необходимо знать аналитический вид двумерного распределения . Поэтому идут на упрощение и вместо корреляционной зависимости рассматривают статистическую зависимость, которая устанавливает функциональную связь между значениями одной из величин и условным средним другой величины, например

,

эта функция называется эмпирической функцией регрессии, а ее график – эмпирической линией (кривой) регрессии. На практике получают лишь оценку кривой регрессии, так как число значений величины Х в выборке конечно.

Функция регрессии обладает замечательным свойством – она дает наименьшую среднюю погрешность оценки прогноза, т.е. величина

является минимальной именно для функции

.

На этом свойстве построен метод наименьших квадратов для определения неизвестных параметров функции регрессии.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в выборе линии регрессии таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от теоретических была наименьшей.

Для иллюстрации метода рассмотрим частный случай линейной регрессии

.

По данным выборки требуется определить параметры а и b.

Строим функцию :

.

Используя корреляционную таблицу функцию можно записать в виде

.

Составляем необходимые условия экстремума:

.

После упрощения система примет вид:

.

Последнюю систему называют нормальной, решая ее получаем значения неизвестных коэффициентов а и b.

Уравнение регрессии можно также найти путем вычисления коэффициента регрессии. Уравнение регрессии у на х можно записать в виде

.

Число называют коэффициентом регрессии у на х.

Пример

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом измерений задана корреляционной таблицей:

Таблица 5

Y X		4,2	5,4	6,6	7,8
1,2			–	–	–
				–	–
4,8	–			–	–
6,6	–	–			–
8,4	–	–			–
10,2	–	–
	–	–	–

1. Найти выборочные средние и выборочные дисперсии .

2. Построить уравнение линии регрессии у на х в виде .

3. На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки и построить прямую .

 

Решение

1. Запишем законы распределения для случайных величин Х и Y:

	1,2		4,8	6,6	8,4	10,2

 

		4,2	5,4	6,6	7,8

 

Найдем числовые характеристики. Выборочные средние:

,

,

,

;

выборочные дисперсии:

,

,

 

2. Найдем уравнение линии регрессии у на х по методу наименьших квадратов, для этого составим систему уравнений для нахождения коэффициентов а и b:

,

выше при вычислении числовых характеристик было найдено:

, .

Используя корреляционную таблицу каждому варианту признака Х поставим в соответствие среднее арифметическое соответствующих ему (входящих с ним в пару) значений признака Y, т.е.

,

результаты вычислений сведем в таблицу (таблица 6).

 

 

Таблица 6

	1,2		4,8	6,6	8,4	10,2
	3,72	4,10769	4,875	5,9333	6,03157	6,36	7,4

 

Вычислим:

 

Подставим найденные коэффициенты и свободные члены в систему, получим

.

Решим систему по формулам Крамера:

тогда

.

Таким образом, эмпирическая функция регрессии у на х имеет вид:

.

Найдем ту же эмпирическую функцию регрессии у на х путем вычисления коэффициента регрессии

.

Найдем:

, ,

выборочный корреляционный момент найдем по формуле

,

в нашем случае

,

выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле

,

в нашем случае

.

Проверим гипотезу о существования связи между факторами Х и Y, вычислим :

,

следовательно, связь достаточно вероятна.

Подставим найденные значения в уравнение

,

получим

,

после преобразований получаем уравнение эмпирической функции регрессии у на х

.

3. Изобразим корреляционное поле и построим прямую (рис. 3).

 

 

 

Рис. 3

 

 

Краткое содержание (программа) курса

 

Математическая статистика

Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Статистический ряд распределения. Группированный статистический ряд. Полигон частот и относительных частот. Гистограмма частот и относительных частот. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Числовые характеристики выборки. Понятие точечной оценки. Критерии качества точечных оценок. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы. Основные этапы решения задачи о статистической проверке гипотез. Критерий согласия (Пирсона). Выборка из двумерной генеральной совокупности, ее характеристики. Функция регрессии. Метод наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров функции регрессии.

 

Приложение 1

Значения функции Лапласа

 

х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)
0,00	0,0000	0,30	0,2358	0,60	0,4515	0,90	0,6319
0,01	0,0080	0,31	0,2434	0,61	0,4581	0,91	0,6372
0,02	0,0160	0,32	0,2510	0,62	0,4647	0,92	0,6424
0,03	0,0239	0,33	0,2586	0,63	0,4713	0,93	0,6476
0,04	0,0319	0,34	0,2661	0,64	0,4878	0,94	0,6528
0,05	0,0399	0,35	0,2737	0,65	0,4843	0,95	0,6579
0,06	0,0478	0,36	0,2812	0,66	0,4907	0,96	0,6629
0,07	0,0558	0,37	0,2886	0,67	0,4971	0,97	0,6680
0,08	0,0638	0,38	0,2961	0,68	0,5035	0,98	0,6729
0,09	0,0717	0,39	0,3035	0,69	0,5098	0,99	0,6778
0,10	0,0797	0,40	0,3108	0,70	0,5161	1,00	0,6827
0,11	0,0876	0,41	0,3182	0,71	0,5223	1,01	0,6875
0,12	0,0955	0,42	0,3255	0,72	0,5285	1,02	0,6923
0,13	0,1034	0,43	0,3328	0,73	0,5346	1,03	0,6970
0,14	0,1113	0,44	0,3401	0,74	0,5407	1,04	0,7017
0,15	0,1192	0,45	0,3473	0,75	0,5467	1,05	0,7063
0,16	0,1271	0,46	0,3545	0,76	0,5527	1,06	0,7109
0,17	0,1350	0,47	0,3616	0,77	0,5587	1,07	0,7154
0,18	0,1428	0,48	0,3688	0,78	0,5646	1,08	0,7199
0,19	0,1507	0,49	0,3759	0,79	0,5705	1,09	0,7243
0,20	0,1585	0,50	0,3829	0,80	0,5763	1,10	0,7287
0,21	0,1663	0,51	0,3899	0,81	0,5821	1,11	0,7330
0,22	0,1741	0,52	0,3969	0,82	0,5878	1,12	0,7373
0,23	0,1819	0,53	0,4039	0,83	0,5935	1,13	0,7415
0,24	0,1897	0,54	0,4108	0,84	0,5991	1,14	0,7457
0,25	0,1974	0,55	0,4177	0,85	0,6047	1,15	0,7499
0,26	0,2051	0,56	0,4245	0,86	0,6102	1,16	0,7540
0,27	0,2128	0,57	0,4313	0,87	0,6157	1,17	0,7580
0,28	0,2205	0,58	0,4381	0,88	0,6211	1,18	0,7620
0,29	0,2282	0,59	0,4448	0,89	0,6265	1,19	0,7660
х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)
1,20	0,7699	1,50	0,8664	1,80	0,9281	2,50	0,9876
1,21	0,7737	1,51	0,8690	1,81	0,9297	2,55	0,9892
1,22	0,7775	1,52	0,8715	1,82	0,9312	2,60	0,9907
1,23	0,7813	1,53	0,8740	1,83	0,9328	2,65	0,9920
1,24	0,7850	1,54	0,8764	1,84	0,9342	2,70	0,9931
1,25	0,7887	1,55	0,8789	1,85	0,9357	2,75	0,9940
1,26	0,7923	1,56	0,8812	1,86	0,9371	2,80	0,9949
1,27	0,7959	1,57	0,8836	1,87	0,9385	2,85	0,9956
1,28	0,7995	1,58	0,8859	1,88	0,9399	2,90	0,9963
1,29	0,8029	1,59	0,8882	1,89	0,9412	2,95	0,9968
1,30	0,8064	1,60	0,8904	1,90	0,9426	3,00	0,9973
1,31	0,8098	1,61	0,8926	1,91	0,9432	3,10	0,9981
1,32	0,8132	1,62	0,8948	1,92	0,9451	3,20	0,9986
1,33	0,8165	1,63	0,8969	1,93	0,9464	3,30	0,9990
1,34	0,8198	1,64	0,8990	1,94	0,9476	3,40	0,9993
1,35	0,8230	1,65	0,9011	1,95	0,9488	3,50	0,9995
1,36	0,8262	1,66	0,9031	1,96	0,9500	3,60	0,9997
1,37	0,8293	1,67	0,9051	1,97	0,9512	3,70	0,9998
1,38	0,8324	1,68	0,9070	1,98	0,9523	3,80	0,9999
1,39	0,8355	1,69	0,9090	1,99	0,9534	3,90	0,9999
1,40	0,8385	1,70	0,9109	2,00	0,9545	4,00	0,9999
1,41	0,8415	1,71		2,05	0,9596	4,42	1-10^-5
1,42	0,8444	1,72	0,9146	2,10	0,9643	4,89	1-10^-6
1,43	0,8473	1,73	0,9164	2,15	0,9684	5,33	1-10^-7
1,44	0,8501	1,74	0,9181	2,20	0,9722
1,45	0,8529	1,75	0,9199	2,25	0,9756
1,46	0,8557	1,76	0,9216	2,30	0,9786
1,47	0,8584	1,77	0,9233	2,35	0,9812
1,48	0,8611	1,78	0,9249	2,40	0,9836
1,49	0,8638	1,79	0,9265	2,45	0,9857

 

 

Приложение 2

Таблица значений c² в зависимости от r = n -1 и p.

	р
n -1	0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
	0,000	0,001	0,004	0,016	0,064	0,148	0,455	1,074	1,642	2,71	3,84	5,41	6,64	10,83
	0,020	0,040	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386	2,41	3,22	4,60	5,99	7,82	9,21	13,82
	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	1,424	2,37	3,66	4,64	6,25	7,82	9,34	11,84	16,27
	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	11,67	13,28	18,46
	0,554	0,752	1,145	1,610	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07	13,39	15,09	20,5
	0,872	1,134	1,635	2,20	3,07	3,93	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	15,03	16,81	22,5
	1,239	1,564	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02	14,07	16,62	18,48	24,3
	1,646	2,03	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	18,17	20,1	26,1
	2,09	2,53	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	19,68	21,7	27,9
	2,56	3,06	3,94	4,86	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	21,2	23,2	29,6
	3,05	3,61	4,58	5,58	6,99	8,15	10,34	12,90	14,63	17,28	19,68	22,6	24,7	31,3
	3,57	4,18	5,23	6,30	7,81	9,03	11,34	14,01	15,81	18,55	21,0	24,1	26,2	32,9
	4,11	4,76	5,89	7,04	8,63	9,93	12,34	15,12	16,98	19,81	22,4	25,5	27,7	34,6
	4,66	5,37	6,57	7,79	9,47	10,82	13,34	16,22	18,15	21,1	23,7	26,9	29,1	36,1
	5,23	5,98	7,26	8,55	10,31	11,72	14,34	17,32	19,31	22,3	25,0	28,3	30,6	37,7
	5,81	6,61	7,96	9,31	11,15	12,62	15,34	18,42	20,5	23,5	26,3	29,6	32,0	39,3
	6,41	7,26	8,67	10,08	12,00	13,53	16,34	19,51	21,6	24,8	27,6	31,0	33,4	40,8
	7,02	7,91	9,39	10,86	12,86	14,44	17,34	20,6	22,8	26,0	28,9	32,3	34,8	42,3
	7,63	8,57	10,11	11,65	13,72	15,35	18,34	21,7	23,9	27,2	30,1	33,7	36,7	43,8
	8,26	9,24	10,85	12,44	14,58	16,27	19,34	22,8	25,0	28,4	31,4	35,0	37,6	45,3
	8,90	9,92	11,59	13,24	15,44	17,18	20,3	23,9	26,2	29,6	32,7	36,3	38,9	46,8
	9,54	10,60	12,34	14,04	16,31	18,10	21,3	24,9	27,3	30,8	33,9	37,7	40,3	48,3
	10,20	11,29	13,09	14,85	17,19	19,02	22,3	26,0	28,4	32,0	35,2	39,0	41,6	49,7
	10,86	11,99	13,85	15,66	18,06	19,94	23,3	27,1	29,6	33,2	36,4	40,3	43,0	51,2
	11,52	12,70	14,61	16,47	18,94	20,9	24,3	28,2	30,7	34,4	37,7	41,7	44,3	52,6
	12,20	13,41	15,38	17,29	19,82	21,8	25,3	29,2	31,8	35,6	38,9	42,9	45,6	54,1
	12,88	14,12	16,15	18,11	20,7	22,7	26,3	30,3	32,9	36,7	40,1	44,1	47,0	55,5
	13,56	14,85	16,93	18,94	21,6	23,6	27,3	31,4	34,0	37,9	41,3	45,4	48,3	56,9
	14,26	15,57	17,71	19,77	22,5	24,6	28,3	32,5	35,1	39,1	42,6	46,7	49,6	58,3
	14,95	16,31	18,49	20,6	23,4	25,5	29,3	33,5	36,2	40,3	43,8	48,0	50,9	59,7

 

 

Кафедра «Информационных технологий и математики»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

 

Методические указания

к контрольным работам для студентов

заочной формы обучения

 

Санкт-Петербург

 

 

Одобрено на заседании кафедры «Информационных технологий и математики» протокол №____ от «___» ________ 2015 г.

 

 

Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник заданий. Методические указания по контрольным работам для студентов заочной формы обучения.

 

 

Сборник содержит задачи контрольных работ по математической статистике для студентов заочной формы обучения всех направлений и специальностей СПбУУЭ, предусмотренные учебной программой в соответствии с ФГОС ВО. Задания и методические указания могут быть использованы в курсах математических дисциплин всех направлений и специальностей СПбУУЭ.

 

Составители:

к.п.н., доцент С.Д. Прозоровская

к.э.н. Т.А. Черняк

 

 

Рецензент:

 

 

© Санкт-Петербургский университет управления и экономики

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

	Требования к оформлению контрольных работ………………………
	Контрольная работа № 2. Элементы математической статистики….