Алгоритм нахождения обратной матрицы.

1)Сначала проверим является ли А квадратной, т.е. совпадают ли n и k.

2)Затем проверим равен ли определитель мартицы А нулю. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует.

3)С помощью матрицы алгебраических дополнений

— транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A ⁻¹ и будет обратной.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Определение системы m уравнений с n неизвестными.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных.

 

Исследование решений системы линейных уравнений.

1) Δ ≠0 система имеет единственное решение

2) Δ=0, а хотя бы один из вспомогательных ≠0, то решений нет

3) Δ= Δ1= Δ2= Δ3=0 бесчисленное множество решений

Определение основной матрицы системы.

Если имеем систему линейных уравнений, то таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы.

Определение расширенной матрицы системы.

Если к основной матрице добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы.

Определение однородной системы линейных уравнений.

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

       a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n xn = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n xn = 0 … … … … … … … … … … … am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn = 0

 

19.!Исследование решений системы линейных однородных уравнений.

20. Δ ≠0 система имеет единственное решение

21. Δ=0, а хотя бы один из вспомогательных ≠0, то решений нет

22. Δ= Δ1= Δ2= Δ3=0 бесчисленное множество решений

Матричная форма записи системы линейных уравнений.

, где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Запись решения системы линейных уравнений в матричном виде.

Первоначально надо проверить, имеет ли система уравнений решение по теореме Кронекера-Копелли. Затем для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A^-1, получим A^-1AX= A^-1B, откуда EX=X=A^-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A^-1 и B.

Определение ранга матрицы.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы.