Проверил: ст. преп. Сикерина Н.В.

Лабораторная работа № 4

Подгруппа 2 В-5

Выполнил: Тимофеев Н.А.

Проверил: ст. преп. Сикерина Н.В.

Керчь 2012г.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Чему равно значение интеграла в аналитическом виде?

2. В чем состоит суть методов численного интегрирования?

3. На что и как влияет количество разбиений при численном интегрировании?

4. Можно ли увеличивая количество разбиений промежутка интегрирования бесконечно повышать точность интегрирования?

5. Как определяется значение частичного интеграла в методах прямоугольников?

6. В чем отличие методов левых, средних и правых прямоугольников?

7. Какой из методов прямоугольников имеет меньшую погрешность? Почему?

8. Показать геометрическую интерпретацию метода трапеций.

9. Какими свойствами должна обладать подынтегральная функция на отрезке интегрирования?

10. Какой из известных Вам методов интегрирования дает наиболее точный результат?

11. Выберите правильный ответ на вопрос: «Чем отличаются методы прямоугольников, трапеций, Симпсона?»

а) числом разбиений промежутка интегрирования;

б) поpядком аппроксимирующего полинома;

в) шагом интерполяции.

12. Учитывая формулы оценки погрешностей для метода средних прямоугольников и метода трапеций объяснить:

а) Почему величина Sc получилась в 2 раза меньше, чем величина Sт2?

б) Почему величина Sт2 получилась в 4 раза меньше, чем величина Sт1?

в) Почему уточнение по Ричардсону метода трапеций для интеграла от полинома второй степени даст результат с нулевой ошибкой?

 

 

Ответы на контрольные вопросы:

 

1) Чему равно значение интеграла в аналитическом виде?

 

,

(6.1)

где f (x) - подынтегральная функция, непрерывная на [ a,b ];

a,b - нижний и верхний пределы интегрирования. Геометрически вычисление определенного интеграла интерпретируется как вычисление площади, ограниченной осью OX и графиком f (x) на промежутке [ a,b ] изменения х (рис.6.1). К численному вычислению интеграла (чис­ленному интегрированию) обращаются в случаях, когда невозможно аналитически записать первообразную интеграла через элементарные функции или если такая запись имеет очень сложный вид.

Рис.6.1, Геометрическая интерпретация определенного интеграла

 

Суть большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f (x) аппроксимирующей функцией , для которой можно легко записать первоообразную в элементарных функциях, т.е.

,

где S - приближенное значение интеграла (6.1);

R - погрешность численного вычисления интеграла J.

При численном интегрировании независимо от выбранного метода необходимо вычислять приближенное значение S интеграла (1) и оценивать погрешность R. В большинстве методов промежуток интегрирования [ a,b ] разбивается на некоторое число N интервалов, на каждом из которых подынтегральная функция f (x) аппроксимируется и вычисляется частичный интеграл, а конечный результат S есть сумма всех частичных интегралов (рис.6.2).

 

Рис.6.2. Геометрическая сущность численного интегрирования

Рис.6.3. Зависимость погрешности от числа разбиений

 

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции.

 

Можно ли увеличивая количество разбиений промежутка интегрирования бесконечно повышать точность интегрирования?

При увеличении числа N, т.е. при уменьшении длины интервала разбиения, погрешность аппроксимации R будет уменьшаться, но при этом будет возрастать погрешность суммирования R_s частичных интегралов. Начиная с некоторого N _o, эта погрешность становится преобладающей, и тогда суммарная погрешность = R+R_s численного интегрирования будет возрастать (рис.6.3.). Поэтому не следует считать, что неограниченное увеличение N будет давать все более точный результат.

 

Показать геометрическую интерпретацию метода трапеций.

Рис.6.6. Геометрическая интерпретация метода трапеций

, т.е. , а численное значение интеграла на всем [ a,b ] . Это вычислительная формула метода трапеций.

(6.12)     (6.13)

Выберите правильный ответ на вопрос: «Чем отличаются методы прямоугольников, трапеций, Симпсона?»

в) шагом интерполяции.

 

 

Лабораторная работа № 4

Подгруппа 2 В-5

Выполнил: Тимофеев Н.А.

Проверил: ст. преп. Сикерина Н.В.

Керчь 2012г.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Чему равно значение интеграла в аналитическом виде?

2. В чем состоит суть методов численного интегрирования?

3. На что и как влияет количество разбиений при численном интегрировании?

4. Можно ли увеличивая количество разбиений промежутка интегрирования бесконечно повышать точность интегрирования?

5. Как определяется значение частичного интеграла в методах прямоугольников?

6. В чем отличие методов левых, средних и правых прямоугольников?

7. Какой из методов прямоугольников имеет меньшую погрешность? Почему?

8. Показать геометрическую интерпретацию метода трапеций.

9. Какими свойствами должна обладать подынтегральная функция на отрезке интегрирования?

10. Какой из известных Вам методов интегрирования дает наиболее точный результат?

11. Выберите правильный ответ на вопрос: «Чем отличаются методы прямоугольников, трапеций, Симпсона?»

а) числом разбиений промежутка интегрирования;

б) поpядком аппроксимирующего полинома;

в) шагом интерполяции.

12. Учитывая формулы оценки погрешностей для метода средних прямоугольников и метода трапеций объяснить:

а) Почему величина Sc получилась в 2 раза меньше, чем величина Sт2?

б) Почему величина Sт2 получилась в 4 раза меньше, чем величина Sт1?

в) Почему уточнение по Ричардсону метода трапеций для интеграла от полинома второй степени даст результат с нулевой ошибкой?

 

 

Ответы на контрольные вопросы:

 

1) Чему равно значение интеграла в аналитическом виде?

 

,

(6.1)

где f (x) - подынтегральная функция, непрерывная на [ a,b ];

a,b - нижний и верхний пределы интегрирования. Геометрически вычисление определенного интеграла интерпретируется как вычисление площади, ограниченной осью OX и графиком f (x) на промежутке [ a,b ] изменения х (рис.6.1). К численному вычислению интеграла (чис­ленному интегрированию) обращаются в случаях, когда невозможно аналитически записать первообразную интеграла через элементарные функции или если такая запись имеет очень сложный вид.

Рис.6.1, Геометрическая интерпретация определенного интеграла

 

Суть большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f (x) аппроксимирующей функцией , для которой можно легко записать первоообразную в элементарных функциях, т.е.

,

где S - приближенное значение интеграла (6.1);

R - погрешность численного вычисления интеграла J.

При численном интегрировании независимо от выбранного метода необходимо вычислять приближенное значение S интеграла (1) и оценивать погрешность R. В большинстве методов промежуток интегрирования [ a,b ] разбивается на некоторое число N интервалов, на каждом из которых подынтегральная функция f (x) аппроксимируется и вычисляется частичный интеграл, а конечный результат S есть сумма всех частичных интегралов (рис.6.2).

 

Рис.6.2. Геометрическая сущность численного интегрирования

Рис.6.3. Зависимость погрешности от числа разбиений

 

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции.