Циклическая частота w связана с частотой соотношением

 

w = 2pn. (3)

 

Для момента времени t = 0 формула (1) примет вид:

 

x_max = Acosj₀,

откуда начальная фаза

j₀ = arccos(x_max/A) = arccos1,

или j₀ = 0.

С учетом равенств (2) - (4) уравнение колебаний примет вид

х = Acos2pnt,

где А =1 мм =10^-3м,

n =10 Гц.

График соответствующего гармонического колебания приведен на рисунке 1.

 

Рисунок 1

 

Координата частицы в момент времени t=0,05 с равна

 

х = 10^-3 cos (2p ^. 10 ^. 0,05) = 10^-3.cosp = -10^-3 (м)

 

Зависимость скорости частицы от времени выражается формулой

 

(5)

 

Подставив в формулу (5) числовые значения n и А, для момента времени t = 0,05 с получаем

 

v _x= -2 ^. 3,14 ^. 10 ^. 10^-3 sinp = 0

Ускорение частицы равно

 

или для t=0,05 с

Кинетическая энергия частицы

 

 

В момент времени t = 0,05 v _x = 0, следовательно Т =0. Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно,

 

F = -kx,

 

где k - коэффициент квазиупругой силы.

 

Потенциальная энергия частицы, движущейся под действием квазиупругой силы, равна

Коэффициент k можно выразить через частоту колебаний:

 

k = m (2pn)².

 

Таким образом. для потенциальной энергии частицы получаем выражение:

 

.

 

В момент времени t = 0,05 смещение частицы от положения равновесия равно x = -10^{-3 м и, следовательно, потенциальная энергия}

 

.

Пример 2. К пружине подвешен груз массой m = 10кг. Зная, что пружина под влиянием силы F = 10Н растягивается на Dx = 1,5 см, найти период собственных незатухающих колебаний груза.

Решение. Период собственных колебаний пружинного маятника равен

 

,

где m - масса груза,

k - жесткость пружины.

Для определения k используем закон Гука:

 

F = k D x

 

Таким образом, период колебаний может быть найден по формуле

 

.

Произведя вычисления, получим

 

.

Пример 3. Определить период и частоту колебаний стерня длиной l = 1 м вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня (рисунок 2).

Решение. Любое твердое тело, которое может совершать колебания около горизонтальной оси, не проходящей через центр масс, называется физическим маятником.

Период собственных колебаний физического маятника равен

,

где I_z - момент инерции тела относительно оси вращения О_z, а - расстояние от оси вращения до центра масс тела С, m - масса тела, g - ускорение свободного падения.

В рассматриваемой задаче a = l/2, а момент инерции стержня, относительно оси, проходящей через его конец, может быть найден по теореме Штейнера

I_Z = I_C + ma²,

где - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс стержня С.

Таким образом, получаем

.

Период колебаний стерня равен

 

.

Произведем вычисления

Частота колебаний стержня равна

.

 

Пример 4. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 8^.10^-9Ф и катушки с индуктивностью L = 2^.10^-3 Гм. На какую длину волны настроен контур?

Решение. Для того чтобы амплитуда колебаний, возникающих в электрическом колебательном контуре под действием электромагнитной волны, была максимальной, частота колебаний в волне должна быть близка к собственной частоте колебаний контура

 

(1)

 

Длина электромагнитной волны связана с частотой колебаний соотношений

l = с/n, (2)

где с = 3^.10⁸ м/с - скорость распространения электромагнитных волн.

Подставив (1) и (2), получаем

 

 

Произведем вычисления: .

 

Пример5. Методом векторных диаграмм найти сумму двух гармонических колебаний одинакового направления:

 

x₁=A₁cos(wt+j₁); x₂=A₂cos(wt+j₂),

 

где w=3,14 с^-1, А₁=3 см, А₂=4 см, j₁=0, j₂=p/2.

Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0.

Изобразим векторные диаграммы колебаний х₁ и х₂. Для этого отложим отрезки длиной А₁ = 3 см и А₂ = 4 см под углами j₁ = 0 и j₂ = p/2 к оси Ох (рисунок 3).

 

 

Векторная диаграмма результирующего колебания х=х₁+х₂ представляет собой векторную сумму диаграмм колебаний х₁ и х₂.

Так как колебания х₁ и х₂ имеют одинаковую частоту, то результирующее колебание будет происходить с той же частотой w и амплитудой А, которую можно найти по теореме косинусов

 

 

Так как, по условию задачи,

 

и