Методические указания к выполнению контрольной работы № 6

Случайные величины и их законы распределения

Если каждому элементарному событию из некоторого множества событий можно наставить в соответствие определенную величину , то говорят, что задана случайная величина. Случайную величину можно рассматривать как функцию события с областью .

Случайная величина может принять то или иное значение из некоторого числового множества, однако, заранее неизвестное, какое именно.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Ряд распределения

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется рядом распределения:

				…
				…

где .

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Функция распределения

Функцией распределения случайной величины называется функция ,выражающая вероятность того, что принимает значения меньше, чем : .

Свойства :

1) Функция есть неубывающая функция;

2) ;

3) ;

4) Для дискретных случайных величин есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

5) Для непрерывной случайной величины функция распределения находится по формуле .

Плотность распределение

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция .

Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна, и обладает свойством:

.

График называется кривой распределения. Элементом вероятности для случайной величины называется величина , приближенно выражающая вероятность попадания случайной величины в элементарный отрезок , примыкающей к точке .

.

Вероятность попадания случайной величины на участок от до выражается формулой , .

Пример 1.

Может ли прикаком-либо значении аргумента быть:

1. Функция распределения больше 1?

2. Плотность распределения больше 1?

3. Функция распределения отрицательной?
4. Плотность распределения отрицательной?

Ответ: 1) нет; 2) да; 3) нет; 4) нет.

Пример 2.

Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,3. Построить рад распределения числа попаданий.

Решение.

Строим ряд распределения используя формулу:

.

 

Пример 3.

Случайная величина задана рядом распределения

	0,14	0,20	0,49	0,17

.

Найти функцию распределения случайной величины и построить ее график.

Решение.

Если , то .

Если , то .

Если , то

.

Если , то

Если , то

.

Строим график.

Пример 4.

Случайная величина распределена по закону прямоугольного треугольника в интервале .

а) Написать выражение для плотности распределения.

б) Найти функцию распределения .

в) найти вероятность попадания случайной величины на участке от до .

Решение.

Известно, что . .

Запишем уравнение прямой
. Отсюда
.

, .

Числовые характеристики случайных величин

Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам:

– для дискретной случайной величины;

– для непрерывной случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Обозначим , тогда формулы для вычисления дисперсии:

; .

 

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

, .

Пример 1.

Случайная величина – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить .

Решение.

 

Имеем ;

 

.

.

Пример 2.

Дана функция . Показать, что может служить плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины . Найти .

Решение.

Имеем .

Следовательно, может служить плотностью распределения некоторой случайной величины.

 

.

Некоторые законы распределения случайных величин

Равномерное распределение

Равномерным называется распределение таких случайных величин, все значения которых лежат на и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке.

 

.

 

Функция распределения этого закона распределения имеет вид:

;

.

Пример 1.

Случайная величина – отклонение емкости конденсатора от номинала распределено на отрезке . Найти , , , , . Построить график .

Решение.

В задаче , поэтому

 

Построим график f (x).

 

Функция распределения вероятности случайной величины:

Ее график имеет вид:

 

, ;

.