Вопрос 1.Случайные события и их классификации.

Вопрос 1.Случайные события и их классификации.

СОБЫТИЕ – любое явление о котором имеет смысл говорить. Изучение любого события связано с осуществлением некоторого комплекса условий которые называются опытом, экспериментом, испытанием. Результаты опыта – СОБЫТИЕ

Опыт	Событие
1бросание монеты 2стрельба по цели 3подбрасывание игральной кости	1выпадение герба / решки 2попадание промах 3А1, А2, А3, А4, А5, А6

 

ОПР1: Событие достоверное, если в условии данного опыта оно произойдет (Ω/ν)

ОПР2: Событие невозможное, если в условиях данного опыта если оно никогда не произойдет (Пустое множество или V)

ОПР3: Событие случайное, если в условиях опыта оно может произойти/не произойти

ОПР4: события которые нельзя разложить на > простые, называются элементарными

ОПР5: Составным называется события которые можно разложить на несколько элементарных

=Пример=

Бросание 2-х игровых костей

n=36 – дискретное вероятное пространство

тогда любое событие трактуется как некоторое множество данного пространства.

Пусть событие А – сумма выпадших очков А=7

(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)

м=6

Событие А1,А2,…Аn называется несовместным. Если появление одного из них исключает возможность появления любого другого. В противном случае событие называется совместным.

Событие А1,А2,…Аn называется единственно возможным, если в условиях опыта обязательно наступит одно из них.

Событие А1,А2,…Аn единственно возможные и несовместимые называется ПОЛНОЙ ГРУППОЙ СОБЫТИЙ.

 

Вопрос 2.Классическое, статистическое и геометрическое ОПР вероятности.

1-КЛАССИЧЕСКИМ будет считаться, если вероятность содержит n-элементарных исходов: w₁w_2…w_n, каждому исходу применить равную вероятность P(Wi)=1/n

В таком пространстве с равновозможными исходами вероятность событий А называется отношение m исходов благоприятствующим числу А к общему числу n исходов единственно возможных, равновозможных и несовместимых

(1) P(A)=m/n – Лаплас

=Пример=

2 игральные кости бросаются найти вероятность того что СУММАА выпадения очков от 7 до 10 (включая границы) n=6²=36

С \ 1 2 3 4 5 6

У 1 2 3 4 5 6 7

М 2 3 4 5 6 7 8

М 3 4 5 6 7 8 9

А

 

О 4 5 6 7 8 9 10

Ч 5 6 7 8 9 10 11

К 6 7 8 9 10 11 12

О

В

p(7≤x+y≤10)=18/36=0.5

Из ф(1) вытекает св-ва вероятностей

1) вер-ть достоверного события = 1 P(Ω)=1 док-во: m=n= P(Ω)=m/n=1

2) вероятность невозможного события = 0 P(П.М)=0 док-во: m=0=> P(ПМ)=0/n=0

3) 0<P(A)<1 вер-ть случайного события заключается м/д 0 и 1

Недостаток классического определения не всегда устанавливается равновозможность исхода.

2-СТАТЕСТИЧЕСКОЕ - пусть некоторый опыт повторен n раз Если событие А наступило m раз то m частота события А(герб выпал 98 раз)

Отношение m/n=W(A) называется ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТОЙ/ЧАСТОСТЬЮ

Если при неограниченном увеличении числа n относительные частоты устойчиво колеблются около числа p то это число называется СТАТИСТИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ события А

 

P= lim(n=∞)m/n (2)

Статистическое определение вероятности. Статистическая вероятность устанавливается только после опыта

3 – ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ вероятное пространство непрерывно

Бросается случайная точка, чему равна вероятность того что точка попадет внутрь круга?

P(A)A= S круга/S квадрата=ПR²/4R²=П/4

 

Вопрос 3.Элементы комбинаторики: размещение, перестановки и сочетания. Св-ва сочетаний.

Комбинаторика- раздел матем, изучающий способы упорядочения и число подмножеств данного конкретного множества

2 основных правила:

1) правило суммы. Если объект А можно выбрать m способами, А другой объект В можно выбрать n способами то выбрать А+В (m+n) способами

2) правило произведения. Если объект А можно выбрать m способами после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пару АВ можно выбрать mn способами

 

а) Размещения:

Пусть имеется n-элементное множество размещениями по к элементам, наз всевозможными упорядочениями R-элементные подмножества данного множества.

Число размещений из n-элементов по к-элементу

А^k_n=n(n-1)(n-2)x…x(n-k+1)=n!/(n-k)!

Размещение используется в тех задачах где важен порядок следования элемента

в) ПЕРЕСТАНОВКИ

Перестановками данного n-элементного множества наз-ся всевозможные упорядоченные n-элементные подмножества данного множества

Число всех перестановок

P_n=Aⁿn=n!

c) СОЧЕТАНИЯ

Сочетаниями из n-элементов по к элементам называются всевозможные неупорядоченные к-элементы подмножества из данного n-элементов множества. Сочетания различаются лишь составом элементов. Порядок следования элементов не важен

Чмсло сочетаний из n-элементов по к-элементу обозначается:

C^k_n=An^k/Pk=n!/k!(n-k)!

Св-ва сочетаний:

1) Cn⁰=Cnⁿ=0 (0!=1 по соглашению)

2) Cn^k=Cn^n-k

3) Cn¹=Cn^n-1=n

 

Вопрос 4.Теорема сложения вероятностей несовместных событий и ее следствия.

Напомним, что события А и В называются несовместимыми, если появление события А исключает появления события В. Др словами эти события не имеют общих исходов.

Теорема Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Док-во: пусть событие А благоприятствует м1 исходов из n исходов. Т.е. А≈m1 исх

B≈m2 исх

Р(А)=m1/n; P(B)=m2/n

Т.к А и В несовместны то А+В соответствует m1+m2 исходам, тогда Р(А+В)=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)

 

Следствие:

1) По индукции теорема справедлива для любого числа событий:

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+…+Р(Аn)

2) Сумма вероятностей событий образующих полную группу равна 1

Д-во

По определению полной группы А1+А2+…+Аn=Ω

Р(Ω)=1

Р(А1+А2+…+Аn)= Р(А1)+…+Р(Аn)

3) Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Р(А)+Р(А^-)=1

р q

p+q=1

q=1-p

 

Асимметрия

Для норм. распред-я и для всех др. симметрич-х относит-но (М(х)) расп-й Аs=0

As>0, если «длинная часть» кривой распределения нах-ся правее мат. ожид-я. В противном случае As<0. Для оценки крутости теоретич. Расп-я по срав-ю с нормальн. кр-ой с теми же М(х) и P(x) примен-ся эксцесс, кот. Опр-ся так , для норм. зн-я =0

Если >0, то крив-я теоретич распред-я будет более высокой и острой, чем норм расп-е с теми же параметрами. Если <0, то теоретич крив-я будет более низкой и плоской

 

 

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число

 

Вопрос 36. Основные понятия стат проверки гипотез. Гипотезы H0 и H1, критерии проверки, ошибки первого и второго рода, критическая область, мощность критерия.

Стат. гипотеза – любое предположение о параметрах и св-вах ген распределения. Подлежащая проверке гипотеза – основная/нулевая гипотеза H0. Гипотеза, противопоставленная Н0, называется конкурирующей/альтернативной Н1. Критерий проверки-правило, по кот решают отклонять или не отклонять проверяемую гипотезу. Он реализуется с помощью случ вел (статистики) Ô, определенной на выбранном пространстве. Всё множество критериев Ô разбивают на 2: 1) критическая область W0 2) допустимая область S. Критическая область-подмножество W0 возможных значений критерия, при кот гипотезу отклоняют. Виды: левосторонняя, правосторонняя, двусторонняя. W0={Ô:P(Ô?W0=α}. Если по результатам выборки оказывается, полученное значение критерия Ôнабл?W0, то гипотезу отклоняют.

 

Вопрос 1.Случайные события и их классификации.

СОБЫТИЕ – любое явление о котором имеет смысл говорить. Изучение любого события связано с осуществлением некоторого комплекса условий которые называются опытом, экспериментом, испытанием. Результаты опыта – СОБЫТИЕ

Опыт	Событие
1бросание монеты 2стрельба по цели 3подбрасывание игральной кости	1выпадение герба / решки 2попадание промах 3А1, А2, А3, А4, А5, А6

 

ОПР1: Событие достоверное, если в условии данного опыта оно произойдет (Ω/ν)

ОПР2: Событие невозможное, если в условиях данного опыта если оно никогда не произойдет (Пустое множество или V)

ОПР3: Событие случайное, если в условиях опыта оно может произойти/не произойти

ОПР4: события которые нельзя разложить на > простые, называются элементарными

ОПР5: Составным называется события которые можно разложить на несколько элементарных

=Пример=

Бросание 2-х игровых костей

n=36 – дискретное вероятное пространство

тогда любое событие трактуется как некоторое множество данного пространства.

Пусть событие А – сумма выпадших очков А=7

(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)

м=6

Событие А1,А2,…Аn называется несовместным. Если появление одного из них исключает возможность появления любого другого. В противном случае событие называется совместным.

Событие А1,А2,…Аn называется единственно возможным, если в условиях опыта обязательно наступит одно из них.

Событие А1,А2,…Аn единственно возможные и несовместимые называется ПОЛНОЙ ГРУППОЙ СОБЫТИЙ.