Классическое определение вероятности, свойства вероятности.

Классификация событий.

Событие - опытом или испытанием наз. осуществление определенного комплекта условий или действий, при котором происходит соответствующее явление. Возможным результатом опыта наз. событие.

Событие наз.достоверным если оно обязательно произойдет в данном опыте.

Событие наз.невозможным если оно не может произойти в этом опыте.

Событие наз.случайным если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте.

Два события наз. Совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в данном опыте.

Два события наз. Несовместными если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.(попадание и промах при одном выстреле-несовместные события). Несколько событий наз несовместными если они попарно несовместимы.

Два события наз. Противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению одного из них равносильно непоявлению из них.(как в учебнике: Противоположными наз. Два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать как А с черточкой над буквой (не А).

События наз. Равновозможными если есть основания считать что ни одно из них не является более возможным чем другое.

Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

1)

Классическое определение вероятности, свойства вероятности.

3) Вероятностью события наз. Отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию,числу всех равновозможных исходов опыта в которых может появиться это событие.

P-вероятность А-событие m-число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. n-число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Свойства вероятности.

1)Вероятность достоверного события равна 1.D(U)=1

2)Вероятность невозможного события равна 0. P(V)=0

3)Вероятность случайного события выражается положительным числом меньше 1. 0<P(A)<1

4) Вероятность любого события В удовлетворяет неравенством 0≤P(B)≤1

 

Размещение.Сочетание. Перестановки.

Размещением из n элементов по m наз. Любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящие из n различных элементов.

Размещение отличается порядком входящих в них элементов и составом. Число размещений из n по m обозначается m≤n и вычисляется по формуле

Перестановкой из n элементов наз. Любое упорядоченное множество, в которое входит по одному разу все n размещенных элементов множества, обозначается .Это один из случаев размещения при котором при n=m.

Сочетанием из n элементов по m наз. Любое подмножество из m элементов, которое принадлежит множеству, состоящему из n различных элементов. Обозначается число сочетаний из n разных элементов по m

Размещение и сочетание различаются тем что в размещении учитывается порядок, входящих в него элементов, а в сочетании не учитывается.

 

Определение факториала.

Факториал-Произведение всех натуральных чисел до n включительно.

n!=1∙2∙3∙…∙n

0!=1

 

Относительная частота события.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности, Определение же относительной частоты предполагает, что испытания ыли произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту до опыта.

Относительной частотой события или частотой наз. отношение числа опытов,в котором появилось это событие к числу всех произведенных опытов.

W(A) частота

n-число всех произведенных опытов.

Геометрическая вероятность.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты для которых множество таких исходов бесконечно. Для того, чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящей в том, что оно не применимо к испытаниям с бесконечным числом исходов водят геометрическую вероятность- это вероятность попадания точки в область.

А-попадания брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой:

для плоскости

 

6)

7)

8)

9)

10)

Формула Бернули.

Производятся испытания в каждом из которых может появиться события А или событие не А, если вероятность события А в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события А. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях, и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же.

Обозначим эту вероятность через p, а вероятность не А через q. P+q=1. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний события А появится ровно e раз и не появится

(n-k) раз обозначим через

-Формула Бернули

 

Биномиальное распределение.

Предположим, что в одинаковых условиях производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться событие А с вероятностью р или противоположное событие с вероятностью q (q = 1 - р). В каждой серии из n испытаний событие А может либо не появиться, либо появиться 1 раз, 2 раза,..., n раз. Введем в рассмотрение дискретную случайную величину Х - "число появлений события А при n испытаниях". Найдем закон распределения этой случайной величины. Величина Х может принимать следующие значения: х0 = 0, х1 = 1, х2 = 2,..., хn = n. Вероятность pk того, что случайная величина Х принимает значение xk, вычисляется по формуле Бернулли

где

или

Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биноминальным. Постоянные n и р, входящие в формулу, называются параметрами биноминального распределения (q = 1 - р).

Название биноминальное распределение объясняется тем, что правую

часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона

Поскольку р + q = 1, то

т.е

Первый член в правой части разложения означает вероятность того, что в n испытаниях событие А не появится ни разу, второй член - вероятность того, что событие А появится один раз, третий член - вероятность того, что событие А появится два раза, наконец, последний член - вероятность того, что событие А появится n раз.

Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде следующей таблицы

 

Классификация событий.

Событие - опытом или испытанием наз. осуществление определенного комплекта условий или действий, при котором происходит соответствующее явление. Возможным результатом опыта наз. событие.

Событие наз.достоверным если оно обязательно произойдет в данном опыте.

Событие наз.невозможным если оно не может произойти в этом опыте.

Событие наз.случайным если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте.

Два события наз. Совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в данном опыте.

Два события наз. Несовместными если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.(попадание и промах при одном выстреле-несовместные события). Несколько событий наз несовместными если они попарно несовместимы.

Два события наз. Противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению одного из них равносильно непоявлению из них.(как в учебнике: Противоположными наз. Два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать как А с черточкой над буквой (не А).

События наз. Равновозможными если есть основания считать что ни одно из них не является более возможным чем другое.

Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

1)

Классическое определение вероятности, свойства вероятности.

3) Вероятностью события наз. Отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию,числу всех равновозможных исходов опыта в которых может появиться это событие.

P-вероятность А-событие m-число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. n-число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Свойства вероятности.

1)Вероятность достоверного события равна 1.D(U)=1

2)Вероятность невозможного события равна 0. P(V)=0

3)Вероятность случайного события выражается положительным числом меньше 1. 0<P(A)<1

4) Вероятность любого события В удовлетворяет неравенством 0≤P(B)≤1