Класичне означення ймовірності подій.

Нехай наслідки деякого випробування утворюють повну групу подій і рівно можливі (тобто єдино можливі, несумісні і рівно можливі). Такі наслідки називаються елементарними наслідками (випадками або шансами). При цьому кажуть, що випробування зводиться до схеми випадків або «схеми урн». Підкреслимо, що приймати за наслідок випробування залежить від умови задачі. Елементарні випадки неможливо розділити на більш прості. Наслідок називається складеним, якщо його можна розкласти на елементарні наслідки.
Ймовірність події – це чисельна міра об’єктивної можливості її появи. Класичною ймовірність події А називається відношення числа випадків, які сприяють її появі до загального числа елементарних випадків. Подія позначається символом Р(А).

Отже, Р(А)=m/n.

Властивості ймовірності події: 1)ймовірність будь-якої події А міститься між нулем та одиницею включно, тобто 0≤Р(А)≤1.

Доведення: За означенням m і n – цілі невід’ємні числа (це число подій), причому (0≤m≤n)/n; 0/n≤m/n≤n/n; 0≤m/n≤1; 0≤P(A)≤1. 2)ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці Р(υ)=1, так як m=n. 3)ймовірність неможливої події дорівнює нулю Р(ѵ)=0, так як m=0.

 

Теорема множення ймовірностей.

Теорема1. Ймовірність добутку двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей однієї з них на умовну ймовірність другої обчислимо за умови, що перша подія настала: Р (АВ)=Р(А)Р_А(В)=Р(В)Р_В(А).

Доведення: використаємо класичне означення ймовірностей. Нехай в n єдино можливих несумісних рівно можливих подій: m сприяє події А; l сприяє події В; k сприяє сумісній їх появі. За означенням: Р(АВ)=k/n; P(A)=m/n; P(B)=l/n; PA(B)=k/m; PB(A)=k/l; P(AB)=k/n=km/nm=k/n*m/m=m/n*k/m=P(A)*PA(B); P(AB)=k/n=k/n*l/l=k/l*l/n=PB(A)*P(B).

Теорема 2. Якщо подія А не залежить від події В, то подія В не залежить від події А. За умовою подія А не залежить від події В, тобто (умовна ймовірність) PB(A)= P(A). Теорема стверджує, що тоді PA(B)= P(B).

Теорема 3. Якщо події А і В незалежні, то незалежні і кожні дві події: А і Ḃ, Ā і В, Ā і Ḃ.

Теорема 4. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їхніх ймовірностей. Р(АВ)=Р(А)Р(В). Доведення: ствердження випливає з рівності Р(АВ)=Р(А)Р_А(В) і з рівностей PA(B)= P(B), P_B(A)= P(A).

 

Теорема додавання ймовірностей.

Теорема1. Сформулюємо загальну теорему додавання ймовірностей: ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без їхнього добутку: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Доведення: використаємо класичне означення ймовірностей. Нехай n – загальне число елементарних випадків рівно можливих подій, m сприяє події А, l сприяє події В, k сприяє сумісній їх появі. Події А+В сприяє m+l-k. Тоді Р(А+В)=(m+l-k)/n=m/n+l/n-k/n=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теорема 2. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Доведення: ствердження випливає з рівності Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), що для несумісних подій Р(АВ)=0 (k=0).

Теорема 3. Ймовірність суми скінченного числа несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn). Дамо доведення твердження для трьох подій. Нехай події А,В,С – несумісні. Позначимо подію А+В через D, тобто А+В=D. Тоді подія (А+В)/D+C=D+C. За формулою Р(А+В)=Р(А)+Р(В), тобто Р(D+C)=P(D)+P(C)=P(A+B)+P(C)=P(A)+P(B)+P(C). Для довільного скінченного числа подій доведення здійснюється методом математичної індукції.

Наслідок. Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу подій дорівнює 1. Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1. Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1. Р(А)+Р(Ā)=1.

Доведення: твердження випливає з того, що протилежні події А і Ā утворюють повну групу. Ймовірність появи хоча б однієї з подій А1, А2,…, Аn незалежних в сукупності знаходиться за формулою: Р(А1+А2+…+Аn)=1-Р(Ā1)*Р(Ā2)*…*Р(Ān).

 

 

Нормальный закон распределения.

І.Дифференциальная ф-ция распределения.

Пример. Предположим, что измеряется значение какой-то величины и ее истенное значение, очевидно что: 1)Наиболее часто измерения будут равны приблизительно а; 2)Значение измерений а-ε и а+ε (ε>0); 3)Большее отклонение ε менее возможно, чем малые.

Все СВ удовлетворяющие свойствам 1-3 подчиняются закону распределения к близкому так называемому закону распределения НЗР.

СВ Х подчиняется НЗР если дифференц. Ф-ция распределения этой СВ имеет вид: φ(х)=(1/δ√2П)×e^{(x-a)²/2δ²} a=const,δ=const>0

Можно показать, что параметр а равен матем. ожиданию, δ среднему квадратическому отклонению СВ.

Свойства диффр ф-ции распределения НЗР:

1)Область определения: Д(у)=R; φ(x)>0 для любого х; 2)Ф-ция непрерывна на всей действительной оси; 3)Ф-ция непериодическая. График ф-ции симметричен относительно прямой х=а; 4)φ'(х)=(1/δ√2П)×е ^{–(х-а)²/2δ²} 1/2δ²× (-2)×(х-а)= (-(х-а)/δ³√2П)×е ^{–(х-а)²/2δ²} ; φ'(х)=0:х=а – стационарная точка. (самостоятельно показать, что х=а является точкой максимума).

φmax= φ(a)=1/δ√2П; 5) φ''(х) = Можно показать, что х=а-δ и х=а+δ являются точками перегиба; 6) Ось Ох является горизонтальной асимптотой так как lim _x→∞ φ(x)= lim _x→∞ (1/δ√2П)×е ^{–(х-а)²/2δ²} = 0.

График диффер ф-ции НЗР имеет вид:

НЗР зависит от 2 параметров а и δ: при изменении параметра а график не меняет своей формы. При увеличении а, график будет перемещаться вправо, при уменьшении- влево.

При изменении параметра δ график изменяет свою форму. При увеличении - график будет больше пологим, при уменьшении – больше крутым.

ІІ.Интегральная ф-ция распределения

Так как F(x) = _-∞∫^x φ(t)dt, то для НЗР F(x)=(1/δ√2П)×_-∞∫^х е ^{–(t-a)²/2δ²} dt можна показать, что F(x)=1/2(1+Ф(t)), где Ф(t)-ф-ция Лапласа, t=(x-a)/δ.

ІІІ. Вероятность попадания НСВ подчиненной НЗР, на заданный промежуток вычисляется по формуле: Р(х1≤Х≤х2)= 1/2 [Ф(t2) – Ф(t1)]

Доказательство. Р(х1≤Х≤х2) = F(x2)-F(x1)= 1/2

 

[1+ Ф(t2)] – 1/2[1+ Ф(t1)]=1/2[Ф(t2) – Ф(t1)].

 

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от ее математич ожидания не превышает положительного числа έ, равна Р(│Х-а│≤έ) = Ф(έ/δ), а если έ= t×δ, то (подставить самому).

Правило 3-х сигм: Р(│Х-а│≤3δ) = Р(а-3δ≤Х≤3δ)=Ф(3δ/δ)=Ф(3)=0,9973=1

Вывод: с вероятностью близкой к единице(тоесть практически достоверно) все значения СВ подчиняющиеся НЗР попадают в промежуток [a-3δ,a+3δ].

 

Интегральная ф-ция распределения вер-тей и ёё свойства

Закон распределения непрерывной СВ(НСВ) не может быть задан такой же табл.как для ДСВ. Введем понятие ф-ции распред.СВ, с помощью которой можно задать закон распределения как для ДСВ, так и для НСВ. Пусть Х-СВ, а х-произвольное действительное число.Интегральной ф-цией распределения F(x) СВ Х называется ф-ция, значение которой в точке «х» равны вероятностям того, что СВ примет значение меньше,чем «х», то есть F(x)=P(X-x).

Свойства интегральной ф-ции распределения вероятностей

1. 0≤F(x)≤1 Доказательство: так как её значениями являются соответственные вероятности.

2. F(-∞)=0; F(+∞)=1.

Доказательство:

F(-∞)=limF(x)=limP(X<x)=0 так как Х<-∞,-невозможноке событие. F(+∞)=limF(x)=limp(X<x)=1, так как X<+∞,-достоверное событие.

3. F(x)- монотонно неубывающая ф-ция.

Следствие:Вероятность попадания в заданный промежуток [x₁,x₂) вычисляется по формуле: P(x₁≤X≤x₂)=F(x₂)-F(x₁)

4. Вероятность того, что НСВ примет какое-нибудь отдельное значение=0.

Следствие: P(x₁<X<x₂)=P(x₁≤X<x₂)= P(x₁<X≤x₂)= P(x₁≤X≤x₂).

Из свойств интегральной ф-ции распределения НСВ следует,что график представляет собой одну из линий:

 

Дифференциальная ф-ция распределения вер-тей и её свойства

Пусть интегральная ф-ция распределения F(x) СВ Х дифференцируема на всей действительной оси.Тогда её производная F׳(x) называется дифференциальной ф-цией распределения вероятностей СВ Х и обозначается ȹ(x).

ȹ(x)=F׳(x)

Свойства диф.ф-ции распределения вероятностей

1. ȹ(x)≥0 для любого х є R.

Доказательство:Утверждение следует из того, чтоF(x)-монотонно неубывающая ф-ция, а следовательно ȹ(x)=F(x)≥0 для любого х є R.

2. Теорема:вероятность того, что СВ Х принимает значение в промежутке (а, b)вычисляется по формуле:

P(a<X<b)=ʃ_a^b ȹ(x)dx

Доказательство: так как ȹ(x)=F׳(x), то F(x)-первообразная для ф-ции ȹ(x).Тогда из следствия свойства №3 и свойсива №4 F(x),а также формулы Ньютона-Лейбница следует, что:

P(a<X<b)= F(x) │_a^b= F(b) – F(a)=ʃ_a^b ȹ(x)dx

Следствие1: ʃ_-^+∞_∞ ȹ(x)dx=1

Доказательство: ʃ_-^+∞_∞ ȹ(x)dx=P(-∞<X<+∞)=1

Из следствия №1 вытекает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y= ȹ(x)≥0 и осью абсцисс =1.

Следствие№2: P(a<X<b)= ȹ(c)*(b-a),где с принадлежит [a,b]. Равенство следует из теоремы о среднем значении для определенного интеграла.

3. Пусть дана ф-ция ȹ(x).Требуется найти ф-цию F(x).Воспользуемся следствием свойства №3 ф-ции F(x) и свойством №2 ф-ции ȹ(x) на промежутке P(-∞,x):

P(-∞<X<x)=F(x)-F(-∞)=F(x)

P(-∞<X<x)= ʃ_-^x_∞ ȹ(x)dx.Откуда: F(x)= ʃ_-^x_∞ ȹ(x)dx.