Визначення моменту інерції тіла на подвійному підвісі

Визначення моменту інерції тіла на подвійному підвісі

Мета роботи

Визначення моменту інерції тіла стосовно осі, що проходить крізь його центр мас.

Теоретична частина

Момент інерції тіла I стосовно деякої осі – це фізична величина, що являє собою міру інертності тіла під час обертального руху і дорівнює сумі добутків мас усіх матеріальних точок тіла і квадратів їх відстаней до цієї осі обертання. Центром мас (або центром інерції) тіла називається точка, стосовно якої не відбувається обертання тіла в полі сили тяжіння.

У роботі визначають момент інерції тіла правильної форми, яке закріплюється на стрижні так, щоб центри мас тіла і стрижня розміщувалися на одній вертикалі (рис. 9.1). Повернувши стрижень у горизонтальній площині на деякий кут (рис. 9.2), знаходимо, що центр мас тіла зі стрижнем підніметься на величину і її потенціальна енергія збільшиться на величину:

(9.1)

де маса тіла; маса стрижня.

Рис. 9.1 Рис. 9.2

Якщо стрижень відпустити, то він буде коливатися за гармонічним законом:

(9.2)

де кут відхилення для моменту часу t; період крутильних коливань системи (стрижня і тіла).

Під час проходження стрижнем стану рівноваги потенціальна енергія системи повністю переходить у кінетичну енергію коливань:

(9.3)

де момент інерції системи; максимальна кутова швидкість в момент проходження стану рівноваги.

Зміну висоти центра мас визначимо, розглядаючи систему у двох граничних станах при крутильних коливаннях. Після перетворень знайдемо (рис. 9.1):

(9.4)

Для знаходження максимальної кутової швидкості візьмемо похідну від кута відхилення (9.2) за часом:

(9.5)

Після підстановки h i у формулу 9.3 одержимо вираз для моменту інерції системи тіла і стрижня:

(9.6)

Аналогічно для моменту інерції стрижня визначаємо:

(9.7)

Оскільки момент інерції є величиною адитивною ( ), то з урахуванням формул 9.6 і 9.7 момент інерції тіла визначається за формулою:

(9.8)

Експериментальні дослідження

Як видно з рис. 9.1, стрижень підвішений на двох нитках однакової довжини так, що має можливість коливатися в горизонтальній площині. На стрижень можна надівати тіла з отворами, центри яких суміщаються із центром мас стрижня. Під час проведення вимірювань сам стрижень або стрижень з розміщеним на ньому тілом відхиляється на невеликий кут в горизонтальній площині і приводиться у коливальний рух стосовно осі ОО′.

Під час виконання роботи потрібно:

1. Виміряти довжину ниток ℓ і відстані а і b між точками кріплення ниток. Маса стрижня кг, маса тіла m вказана на поверхні.

2. Тіло, що досліджують, помістити на стрижень, сумістивши вісь тіла, стосовно якої визначають момент інерції, з віссю приладу.

3. Виміряти секундоміром час 25 – 50 коливань. Повторити виміри три-чотири рази. Вирахувати період коливань системи.

4. Знявши тіло, повторити виміри за п. 2 для ненавантаженого стрижня і вирахувати період його коливань

Обробка результатів вимірювань

1. За формулою (9.8) обчислити момент інерції тіла.

2. Результати вимірювань і обчислень занести в таблицю 9.1.

Таблиця 9.1

Пор. №		a, м	b, м	mc, кг	m, кг	Tc, с	T1, с	I, кгм2
	–	–	–	-- –	–		–	–
Сер.				0,25
	–	–	–	–	–	–		–
Сер.				0,25

Контрольні запитання

1. Що таке момент інерції матеріальної точки?

2. Що таке момент інерції твердого тіла?

3. Які властивості тіла характеризує момент інерції?

4. Який коливальний рух називають гармонічним?

5. За якою формулою можна розрахувати кінетичну енергію тіла,

що обертається?

6. Запишіть закон збереження енергії для крутильних коливань

стрижня.

7. Чому потрібно, щоб центр мас тіла був на одній вертикалі із

центром інерції диска?

8. Які закони збереження виконуються під час крутильних

коливань?

Визначення моменту інерції тіла на трифілярному підвісі

Мета роботи

Визначення моменту інерції тіла, яке розміщене на трифілярному підвісі стосовно осі, що проходить крізь його центр мас, і перевірка теореми Штейнера.

Теоретична частина

Момент інерції тіла I – це фізична величина, що являє собою міру інертності тіла під час обертального руху і дорівнює сумі добутків мас усіх матеріальних точок тіла і квадратів їх відстаней до цієї осі обертання. Центром мас (або центром інерції) тіла називається точка, стосовно якої не відбувається обертання тіла в полі сили тяжіння.

У роботі визначають момент інерції тіла правильної форми, яке розміщене на диску трифілярного підвісу так, щоб центри мас тіла і стрижня лежали на одній вертикалі (рис.10.1). Повернувши диск у горизонтальній площині на деякий кут (рис.10.2), знаходимо, що центр мас диска з тілом підніметься на величину і потенціальна енергія збільшиться на величину:

(10.1)

де маса тіла; маса диска.

Якщо диск відпустити, то він буде коливатись за гармонічним законом:

(10.2)

де кут відхилення для моменту часу t; період крутильних коливань системи (диск і тіло). Під час проходження системою стану рівноваги потенціальна енергія системи (рис. 10.2) повністю переходить у кінетичну енергію коливань:

(10.3)

де момент інерції системи; максимальна кутова швидкість у момент проходження стану рівноваги.

Зміну висоти центра мас визначимо, розглянувши систему у двох граничних станах під час крутильних коливань. Після перетворень знайдемо (рис. 10.1):

(10.4)

Для знаходження максимальної кутової швидкості візьмемо похідну від кута відхилення (10.2) за часом:

(10.5)

Після підстановки i у формулу 10.3 дістанемо вираз для моменту інерції системи тіла і диска:

(10.6)

Аналогічно для моменту інерції диска маємо:

(10.7)

Оскільки момент інерції є величиною адитивною ( ), то з урахуванням формул 10.6 і 10.7 момент інерції тіла визначають за формулою:

(10.8)

Мета роботи

Визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника.

Математичним маятником називається матеріальна точка (куля), що підвішена на довгій нерозтяжній нитці. Період коливань математичного маятника залежить від довжини нитки і прискорення вільного падіння і не залежить від маси маятника:

(11.1)

Із цієї формули можна знайти прискорення вільного падіння, якщо виміряти довжину нитки і період коливань:

(11.2)

Точно виміряти довжину нитки достатньо складно, тому замість довжини потрібно взяти різницю довжин двох маятників:

Якщо при довжині нитки період коливань маятника , а при довжині нитки період коливань маятника , то:

(11.3)

Із цієї формули виведемо робочу формулу:

(11.4)

Мета роботи

Вивчення коливань, що згасають, та визначення коефіцієнта згасання, логарифмічного декременту згасання та добротності системи, яка коливається.

Теоретична частина

В реальних коливальних системах завжди є сили опору, дія яких призводить до зменшення енергії. Розглянемо вільні коливання, що затухають. При малих швидкостях руху сили опору середовища пропорційні швидкості:

, (12.1)

де – швидкість руху.

Знак (–) вказує на те, що сила і швидкість мають протилежний знак. Запишемо рівняння руху системи під дією квазіпружної сили при наявності сили опору :

, (12.2)

де = – прискорення системи, що коливається.

Рішення диференційного рівняння (12.2) має вигляд:

(12.3)

де A₀ – амплітуда коливань в початковий момент часу, –коефіцієнт згасання, – циклічна частота коливань, що згасають, ₀ – власна частота коливань системи.

Коливання, що затухають, є неперіодичними, тому що в них ніколи не повторюються максимальні зсуви, швидкості, прискорення. Внаслідок того, що коливальна система проходить крізь положення рівноваги через рівні проміжки часу T, цю величину називають періодом коливань, що згасають:

, (12.4)

де - коефіцієнт згасання.

Із формули 12.3 випливає, що амплітуда коливань, що згасають, зменшується із часом за законом:

. (12.5)

Із формули 12.5 випливає, що коефіцієнт згасання дорівнює натуральному логарифму відношення амплітуд коливань і часу:

(12.6)

Натуральний логарифм відношення амплітуд зсув, що відрізняють-ся на період T, називають логарифмічним декрементом згасання:

(12.7)

Підставивши = /T у формулу (12.5) матимемо для амплітуди коливань, що згасають:

. (12.8)

Нехай за час t амплітуда зменшилася у еразів. За цей час система робить коливань. З умови маємо: тобто логарифмічний декремент згасання за модулем обернений числу коливань, що здійснюються за час, протягом якого амплітуда коливань зменшується у е разів.

Мета роботи

Визначення універсальної газової сталої методом відкачки.

Теоретична частина

Універсальну газову сталу можна визначити з рівняння Клапейрона-Менделєєва:

(13.1)

де тиск газу; об’єм; маса газу; молярна маса газу; температура.

Всі параметри газу можна виміряти, але газ можна зважити тільки сумісно з посудиною. Тому для знаходження маси газу розглянемо рівняння 13.1 для двох мас і одного газу при однаковому тиску і температурі. Тоді для газової сталої:

(13.2)

Вивчення властивостей газів

Мета роботи

Визначення коефіцієнта в’язкості, довжини вільного пробігу і ефективного діаметра молекул повітря.

Теоретична частина

За формулою Пуазейля, об’єм повітря , що проходить крізь капіляр радіуса довжиною , за час t, пропорційний різниці тисків на кінцях капіляра :

, (14.1)

де в’язкість газу.

З формули 14.1 можна вивести формулу для знаходження коефіцієнта в’язкості повітря:

. (14.2)

Для реальних газів (з урахуванням розподілу молекул за швидкостями і сил взаємодії між ними) виводимо формулу, що пов’язує довжину вільного пробігу молекул із середньою арифметичною швидкістю, в’язкістю і густиною повітря :

(14.3)

Середня арифметична швидкість молекул газу:

(14.4)

Із рівняння Клапейрона-Менделєєва густина газу дорівнює:

(14.5)

де тиск р ≈ 1 10⁵ Па; Т – абсолютна температура; – молярна маса газу (для повітря М = 29^.10^-3 кг/моль).

Якщо виміряти коефіцієнт в’язкості повітря і підрахувати і , за формулою 14.3 можна знайти середню довжину вільного пробігу молекул повітря .

Ефективний діаметр молекул можна підрахувати за формулою для довжини вільного пробігу:

(14.6)

де n – кількість молекул у одиниці об’єму. Її можна знайти з формули:

(14.7)

де = 2,7 10²⁵– число Лошмідта – кількість молекул в одиниці об’єму при нормальних умовах (р₀ = 1.01^.10⁵ м^-3 і T₀ = 273К).

Про характер течії повітря у капілярі можна робити висновки за числом Рейнольдса:

(14.8)

де r – радіус капіляра; – середня швидкість течії.

Якщо число менше 2000, то потік ламінарний, а якщо більше 2600 – турбулентний. При значеннях 2000 – 2600 потік може бути як ламінарним, так і турбулентним.

Мета роботи

Визначення відношення теплоємності при постійному тиску до теплоємності при постійному об’ємі і порівняння результату вимірювань з теоретичним значенням.

Теоретична частина

Теплоємність С – фізична величина, яка дорівнює кількості теплоти для нагрівання тіла на один градус.

(15.1)

Теплоємність одиниці маси речовини називають питомою теплоємністю, а теплоємність одного моля – молярною. Для газів розрізняють теплоємність при постійному тиску і постійному об’ємі. На нагрівання газу при постійному тиску потрібна більша кількість теплоти на величину роботи розширення газу ніж при постійному об’ємі, тому . Відношення відіграє важливу роль під час опису процесів у газах. Так, у рівнянні Пуассона воно є показником адіабати. Від величини залежитьшвидкість звуку в газах.

В роботі для визначення відношення теплоємностей використовують метод Клемана-Дезорма. Цей метод базується на порівнянні зміни тиску газу під час ізотермічної і адіабатичної змініи його об’єму. За допомогою насосу в балон швидко накачують повітря до деякого тиску що більший атмосферного (тиск у мм водяного стовпа)_. Під час адіабатичного стискування повітря температура в балоні збільшується. Через деякий час у результаті теплового обміну з навколишнім середовищем повітря у балоні охолоджується до кімнатної температури і тиск стабілізується до значення:

(15.2)

де – надмір тиску над атмосферним (виміряється водяним манометром).

Якщо в балоні відкрити пробку, щоб повітря швидко (адіабатично) розширилося (тиск впаде до атмосферного), то температура повітря у балоні зменшиться. Потім повітря почне прогріватися до кімнатної температури і тиск збільшиться:

(15.3)

Перехід повітря з першого стану в другий відбувається адіабатично, тому буде виконуватися співвідношення:

(15.4)

Перехід повітря з першого стану в третій відбувається ізотермічно, тому можна записати:

(15.5)

Замінивши відношення об’ємів відношенням тисків (формули15.4 і 15.5 і взявши логарифм, дістанемо для вираз:

(15.6)

Тиск і незначно відрізняються, тому логарифми можна замінити їх числовими значеннями:

(15.7)

Тобто відношення теплоємностей можна знайти за формулою:

(15.8)

Мета роботи

Визначення в’язкості рідини методом кульового віскозиметра за методом Стокса.

Теоретична частина

В’язкість рідини (або газу) – це здатність одного шару рідини протидіяти переміщенню другого шару. В’язкість виникає внаслідок обміну імпульсами між молекулами. За Ньютоном, сила внутрішнього тертя прямо пропорційна градієнту швидкості і площі поверхні S шарів рідини, які стикаються:

(16.1)

де – коефіцієнт внутрішнього тертя або в’язкості.

В міжнародній системі одиниць СІ одиниця в’язкості дорівнює:

(одиниця в’язкості в абсолютній Гаусовій системі одиниць – пуаз .

Є більш ніж 15 методів вимірювання в’язкості. Найбільш поширені з них здійснюють з використанням ротаційного, капілярного та кульового віскозиметрів.

Ротаційний віскозиметр. Вимірювання в’язкості базується на визначенні швидкості обертання циліндра у в’язкому середовищі.

Капілярний віскозиметр. Вимірювання коефіцієнта в’язкості базується на вимірюванні швидкості витікання рідини з циліндричної трубки. В’язкість розраховується за формулою:

(16.2)

де радіус і довжина трубки; різниця тиску на кінцях трубки; об’єм рідини, яка витікає за час

Кульовий віскозиметр. Вимірювання в’язкості базується на визначенні швидкості падіння кульки у в’язкому середовищі.

За Стоксом, при повільному русі тіла у в’язкому середовищі між шарами рідини діють сили внутрішнього тертя:

(16.3)

де радіус кульки; швидкість руху кульки відносно рідини.

При сталому падінні кульки в рідині сума сил, які на неї діють, дорівнює нулю (рис.16.1):

(16.4)

де сила тяжіння сила Архімеда

Підставивши у формулу 16.3 значення знайдемо

(16.5)

де діаметр кульки; висота та час падіння кульки.

Мета роботи

Визначення коефіцієнта поверхневого натягу рідини за методом відриву кільця на вагах Жоллі.

Теоретична частина

Поверхня рідини на межі з повітрям веде себе як пружна плівка. Така поведінка обумовлена силами поверхневого натягу. Під дією сил поверхневого натягу рідина намагається зменшити свою поверхню. Коефіцієнт поверхневого натягу рідини можна визначити як енергію, що потрібна для збільшення площі поверхні рідини на одиницю:

(17.1)

Поверхневий натяг зменшується у процесі збільшення температури і дорівнює нулю при критичній температурі. Поверхневий натяг розчинів відрізняється від поверхневого натягу чистих розчинників. Наприклад, цукор збільшує поверхневий натяг, а солі знижують. Речовини, що значно зменшують поверхневий натяг, називають поверхнево-активними, або детергентами. До детергентів належать солі жирних кислот (наприклад, мило) і денатуровані білки.

Обумовлені силами поверхневого натягу капілярні явища дуже важливі для життєдіяльності рослин, тому що сприяють підйому розчинів поживних речовин по стовбурах рослин. Сили поверхневого натягу важливо знати, вивчаючи дії поверхнево-активних речовин на мембрани клітин, стан біологічно важливих рідин.

Визначення моменту інерції тіла на подвійному підвісі

Мета роботи

Визначення моменту інерції тіла стосовно осі, що проходить крізь його центр мас.

Теоретична частина

Момент інерції тіла I стосовно деякої осі – це фізична величина, що являє собою міру інертності тіла під час обертального руху і дорівнює сумі добутків мас усіх матеріальних точок тіла і квадратів їх відстаней до цієї осі обертання. Центром мас (або центром інерції) тіла називається точка, стосовно якої не відбувається обертання тіла в полі сили тяжіння.

У роботі визначають момент інерції тіла правильної форми, яке закріплюється на стрижні так, щоб центри мас тіла і стрижня розміщувалися на одній вертикалі (рис. 9.1). Повернувши стрижень у горизонтальній площині на деякий кут (рис. 9.2), знаходимо, що центр мас тіла зі стрижнем підніметься на величину і її потенціальна енергія збільшиться на величину:

(9.1)

де маса тіла; маса стрижня.

Рис. 9.1 Рис. 9.2

Якщо стрижень відпустити, то він буде коливатися за гармонічним законом:

(9.2)

де кут відхилення для моменту часу t; період крутильних коливань системи (стрижня і тіла).

Під час проходження стрижнем стану рівноваги потенціальна енергія системи повністю переходить у кінетичну енергію коливань:

(9.3)

де момент інерції системи; максимальна кутова швидкість в момент проходження стану рівноваги.

Зміну висоти центра мас визначимо, розглядаючи систему у двох граничних станах при крутильних коливаннях. Після перетворень знайдемо (рис. 9.1):

(9.4)

Для знаходження максимальної кутової швидкості візьмемо похідну від кута відхилення (9.2) за часом:

(9.5)

Після підстановки h i у формулу 9.3 одержимо вираз для моменту інерції системи тіла і стрижня:

(9.6)

Аналогічно для моменту інерції стрижня визначаємо:

(9.7)

Оскільки момент інерції є величиною адитивною ( ), то з урахуванням формул 9.6 і 9.7 момент інерції тіла визначається за формулою:

(9.8)

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?