Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

 

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через , а единичная эпюра – через .

 

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

 

Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

 

Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру - эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:

 

Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :

 

 

Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр - это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:

 

 

Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:

 

 

Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.

Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:

 

 

Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:

 

Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов

 

Окончательные эпюры можно построить двумя способами.

Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:

 

или, учитывая, что

 

 

приходим к выражению:

 

 

Аналогично определяется продольные и поперечные силы:

 

Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.

Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.

В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.