Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана

3. Интегрирование функций комплексного переменного

Интеграл от непрерывной функции комплексного переменного, его выражение через действительные криволинейные интегралы, основные свойства. Интеграл от аналитической функции комплексного переменного, его независимость от пути интегрирования, формула Ньютона - Лейбница. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области. Вычисление интегралов вида . Интегральная формула Коши для функции аналитической в односвязной и многосвязной области. Интегральная формула для производной n-го порядка. Бесконечная дифференцируемость функции в точке аналитичности. Вычисление интегралов по замкнутому контуру с помощью интегральной формулы Коши и интегральной формулы для n-ой производной.

4. Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана, их области сходимости. Теоремы о разложении аналитической функции в ряды Тейлора и Лорана.

Модуль 3. Теория вычетов и операционное исчисление

5. Теория вычетов

Правильные и особые точки функции комплексного переменного, включая бесконечно удаленную. Классификация изолированных особых точек. Связь типа особой точки с видом лорановского разложения функции в окрестности этой точки. Теорема Сохоцкого. Вычет функции в изолированной особой точке. Вычисление вычета в полюсе. Вычет в бесконечно удаленной точке. Основная теорема Коши о вычетах.

6. Операционное исчисление

Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Теорема о существовании изображения. Поведение изображения в бесконечно удаленной точке. Единичная функция Хевисайда и ее изображение. Основные теоремы операционного исчисления: линейности, подобия, смещения, запаздывания, о дифференцировании и интегрировании оригиналов и изображений. Свертка оригиналов и ее изображение. Интеграл Дюамеля. Передаточная функция.

Формула обращения преобразования Лапласа. Теоремы разложения.

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений.

Практические занятия (семинары, упражнения, занятия в компьютерном классе, деловые игры и т.п.)

Модуль 1. Ряды Фурье и функции комплексного переменного

1. Ряды Фурье

Ортонормированные системы функций. Тригонометрические ряды Фурье. Разложение функций в полные и неполные ряды Фурье. (4 часа).

2. Теория функций комплексного переменного (ТФКП)

Действия над комплексными числами. Кривые и области на комплексной плоскости. Функции комплексного переменного (4 часа). Числовые ряды с комплексными членами. Степенные ряды определение круга сходимости (2 часа)

Элементарные функции комплексного переменного, вычисление их значений в точке, выделение действительной и мнимой частей. Дифференцирование функций комплексного переменного. Нахождение аналитической функции по ее действительной и мнимой части (4 часа).

Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана

3. Интегрирование функций комплексного переменного

Интегрирование функций комплексного переменного. Интегральная формула Коши, интегральная формула производной n-го порядка и их применение к вычислению интегралов по замкнутому контуру (2 часа).

4. Ряды Тейлора и Лорана

Разложение функций комплексного переменного в ряды Тейлора. Ряды Лорана, определение их области сходимости. Разложение функций комплексного переменного в ряды Лорана (4 часа).

Модуль 3. Теория вычетов и операционное исчисление

5. Теория вычетов

Изолированные особые точки, их классификация. Вычисление вычета в полюсе и существенно особой точке (4 часа).

Применение вычетов к вычислению интегралов от функций комплексного переменного по замкнутому контуру (2 часа).

6. Операционное исчисление

Нахождение изображений и оригиналов (4 часа). Теоремы разложения (2 часа). Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений (2 часа).

Лабораторные работы (с использованием измерительной техники и экспериментального или производственного оборудования)

нет

Самостоятельная работа

4.4.1 Домашние задания

Модуль 1. Ряды Фурье и функции комплексного переменного

Домашнее задание №1 включает разложение функций в ряды Фурье и построение графиков сумм рядов, действия над комплексными числами, построение множеств, вычисление значений функций, построение аналитической функции по её действительной или мнимой части. Выдача – 1 неделя, сдача – 7 неделя.

Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана

Домашнее задание №2 включает нахождение круга сходимости степенного ряда, разложение функций по заданным степеням. Выдача – 2 неделя, сдача – 10 неделя.

Модуль 3. Теория вычетов и операционное исчисление

Первая часть домашнего задания включает нахождение особых точек и вычетов в них, вычисление контурных интегралов.

Вторая часть домашнего задания включает нахождение изображений заданных оригиналов и определение оригиналов по заданным отображениям.

Выдача – 9 неделя, сдача части 1 – 13 неделя, части 2 – 15 неделя.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров