Основные формулы математической статистики

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Биномиальное распределение

Бином Ньютона

Формула Якоба Бернулли

 

Распределение редких событий (Пуассона)

, где при p«q

Нормальное распределение

Уравнение кривой нормального распределения

,

Уравнение кривой нормального распределения в нормированной форме

, где

Средняя арифметическая

, где

X_i – значение признака, варианта; n – число значений

 

Взвешенная средняя арифметическая

, где

X_i – значение признака, варианта;

p – математический вес усредняемого значения.

 

Средняя геометрическая

, или , где

G – средняя геометрическая, n – число значений,

Π X_n – произведение вариантов.

 

Непараметрическая средняя

Средний ранг (непараметрическая средняя) определяется для таких признаков, для которых еще не найдены способы количественного измерения. По степени проявления таких признаков объекты могут быть ранжированы,
т. е. расположены в порядке усиления (или ослабления) выраженности признака. Порядковый номер объекта в таком ряду называется его рангом.

, где

R_i – ранг в i -ом ряду;

n_i –количество объектов в i -ом ряду.

 

Средняя квадратическая

, где

X_i – значение признака, варианта;

n – число значений

 

Средняя гармоническая

.

 

Мода

Модой называется такая варианта или класс распределения вариант, который в исследуемой группе встречается наиболее часто. В качестве первого приближения можно принять за моду средину модального класса.

Более точное значение моды можно получить по формуле

, где

W _α – начало модального класса;

k – величина классового промежутка;

f ₁ – частота класса, предшествующего модальному;

f ₂ – частота модального класса;

f ₃ – частота класса, следующего за модальным.

 

Медиана

Медианой называют такое значение признака, которое разделяет всю группу на две равные части: одна часть имеет значения признака меньшее, чем медиана, а другая – большее.

Для многочисленных групп медиану можно рассчитать по формуле:

, где

W _α – начало того класса, в котором находится медиана;

k – величина классового промежутка;

n – общее число данных в группе;

– сумма частот классов (начиная с меньшего), предшествующих классу, в котором находится медиана;

f – частота класса, в котором находится медиана.

 

Дисперсия и стандартное отклонение (сигма)

 

x² – сумма квадратов центральных отклонений, т. е. квадратов разностей между каждым значением и средней арифметической;

X_i – значение признака у каждого объекта в группе;

μ – средняя арифметическая признака для данной группы;

n–1 – число степеней свободы, равное числу объектов в группе без одного.

Стандартное отклонение генеральной совокупности вычисляется по формуле:

, где

X_i – значение признака, варианта; – генеральная средняя;

N – объем генеральной совокупности

 

Коэффициент вариации

Стандартное отклонение – величина именованная, выраженная в тех же единицах измерения, как и средняя арифметическая.

Поэтому для сравнения разных признаков, выраженных в разных единицах измерения, используется не абсолютное, а относительное значение стандартного отклонения в форме коэффициента вариации:

, где

σ – стандартное отклонение;

μ – средняя арифметическая.

 

Асимметрия

Правосторонняя асимметрия – отрицательна, левосторонняя–положительна.

 

Эксцесс

Эксцесс положителен при островершинной кривой, отрицателен при плосковершинной.

Показатель точности

Ошибка стандартного отклонения

Ошибка коэффициента вариации

Ошибка показателя асимметрии

Ошибка показателя эксцесса

Средняя ошибка суммы нескольких средних

Средняя ошибка произведения двух выборочных средних

Средняя ошибка частного двух выборочных средних

Средняя ошибка разности выборочных средних двух независимых распределений

При n₁ = n₂

При n₁≠n₂

σ – объединенная дисперсия двух выборок

Средняя ошибка разности в парных опытах

D_i – разности между вариантами сопряженных рядов X₁ и X₂;

n – общее число парных наблюдений.

 

Уравнение прямолинейной регрессии

(X₂-μ₂)=R_2/1 (X₁- μ ₁)

Ошибка коэффициента регрессии

.

 

Множественное линейное уравнение плоскости регрессии

 

Сила влияния

В однофакторном комплексе определяются два показателя силы влияния: организованного фактора:

неорганизованного фактора:

Сумма этих показателей равна единице:

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Биномиальное распределение

Бином Ньютона

Формула Якоба Бернулли

 

Распределение редких событий (Пуассона)

, где при p«q

Нормальное распределение

Уравнение кривой нормального распределения

,

Уравнение кривой нормального распределения в нормированной форме

, где

Средняя арифметическая

, где

X_i – значение признака, варианта; n – число значений