Дополнение к ф-ле ньютона-лейбница

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема. Если – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать: (4) Это равенство справедливо для любых . Положим : Но , поэтому , . Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим Переобозначив переменную интегрирования , получим формулу Ньютона – Лейбница: При вычислении определенных интегралов будем записывать: Пример1. (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком оси Ox). Пример2.

9)

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с равенством . Если 1) 2) и непрерывны на , 3) при изменении z от α до β значения не выходят за пределы отрезка то (5) Доказательство. Пусть –первообразная для функции , то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница (I) Покажем, что функция является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница (II) Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5). Пример. при x =0 при x = ln 2 =

10)

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид Пример.

12)

Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла. 1. Вычисление площади в декартовых координатах. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой ( непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна   (6) Площадь фигуры, ограниченной кривой ( непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.7) равна (7) Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и и прямыми x=a и x=b (рис.8) равна   (8)   Площадь фигуры, ограниченной кривыми и ( и неотрицательны и непрерывны), пересекающимися в точке с абсциссой x=b, прямыми x=a, x=c и осью Ox (Рис.9), равна   (9)   В случае параметрического задания кривой площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна (10) где и определяются из уравнений на отрезке Пример1. Найти площадь, ограниченную линиями и . Решение. Одна из линий–парабола, другая–прямая (рис.10). Найдем их точки пересечения. Тогда по формуле (8)   Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды , и отрезком оси Ox (рис. 11). Решение. Точкам O и A соответствуют значения параметра и , поэтому     2.Вычисление площади в полярных координатах. Площадь сектора OAB (рис. 12), ограниченного лучами и и кривой , равна . Пример. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля (рис.13). Решение .     3.Вычисление длины дуги. Если кривая задана параметрическими уравнениями ,   , то длина ее дуги , где –значения параметра, соответствующие концам дуги . Если кривая задана уравнением , то , где a, b –абсциссы начала и конца дуги . Если кривая задана уравнением , то , где c, d –ординаты начала и конца дуги . Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то , где –значения полярного угла, соответствующие концам дуги . Пример 1. Вычислить длину дуги кривой от точки до . Решение. , тогда . Пример 2. Найти длину одной арки циклоиды , (рис.11). Решение. , , тогда . 4.Вычисление объема тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми (рис.6), вычисляется по формуле . Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле . Пример. Фигура, ограниченная линиями и , вращается вокруг оси Ox. Найти объем тела вращения (рис. 14). Решение. Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями и . Тогда .

 

 

Несобственные интегралы 1-го и 2-го родов