Градиент.Дивергенция.Ротор векторного поля.

Градиент.Дивергенция.Ротор векторного поля.

Градиент функции нескольких переменных. Пусть Z=F(xy), то по определению dF/dx(x0,y0); dF/dy(x0,y0)=gradF(x0,y0).Это вектор. Градиент направлен в сторону наибольшего изменения фнкции.

Ротор векторного поля.Дивергенция.

Кратные интегралы и их свойства.

Кратным интегралом называют множество интегралов, взятых от d>1 переменных.

Двойной интеграл.

Если существует предел интегральных сумм при характеристике разбиения лямбда>0 независимая от разбиения и выборе точек {Pk} то его значения и называют двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается ∫∫f(x;y)dxdy т.е двойной интеграл по области D.

Свойства двойного интеграла.

1)Линейность – для любых функций f(x;y) g(x;y) интегрируемых по области D если существует предел.

∫∫(f(x,y)+g(x;y))dxdy=∫∫(x;y)dxdy+∫∫g(xy)dxdy

2)Аддитивность – если D разбивается какой нибудь кривой на две подобласти D1 и D2 =D а функция f(x;y) интегруруема на D то интеграл

∫∫f(x;y)dxdy=∫∫f(x;y)dxdx по D1 + ∫∫f(x;y)dxdy по D2

3)Если f(x) и g(x) интегрированы по D и f(x;y)<=g(x;y) то ∫∫f(x;y)dxdy<=∫∫g(x;y)dxdy

4)|∫∫f(x;y)dxdy|<=∫∫f(x;y)dxdy

5)Теорема о среднем: Если f(x;y) непрерывна на D и D односвязно, то существет точка P:∫∫f(x;y)dxdy=f(p)*∫∫1dxdy=f(P)*MD интегралы по области D.

6)Неравенство Коши Буняковского

|∫∫f(x;y)*g(x;y)dxdy|<=(∫∫|f(x;y)|^2dxdy)^1/2*(∫∫|g(x;y)|^2dxdy)^1/2

 

Свидение двойного интеграла к повторном.

Пусть область D это прямоугольник D={(x;y)эR^2:a<=x<=b, c<=y<=d)} исществует интеграл ∫∫f(x;y)dxdy причем для любого Xэ[a;b] существует i(x)=∫f(x;y)dy нижний С верхний D тогда существует повторный интеграл

∫i(x)dx от а до b= ∫от а до b(∫f(x;y)dy)dx от С до D. и спрведливо равенство

∫∫f(x;y)dxdy от D = ∫(от а до b)(∫f(x;y)dy)dx=;∫dx от а до b∫f(x;y)dy от С до D – повторный интеграл.

Аналогично и наоборот ∫∫f(x;y)dxdy=∫dy от с до d ∫f(x;y)dx от a до b;

Пусть существует область Типа 1: функция по У непрерывна на [a;b], тогда ∫∫f(x;y)dxdy=∫∫{ab}(∫{y1,y2}f(x;y)dy)dx=∫{ab}dx∫{y1,y2}f(x;y)dy

Аналогично область типа 2: функция по X непрерывная функция.

f(x;y)dxdy=∫∫{cd}(∫{x1,x2}f(x;y)dx)dy=∫{cd}dy∫{x1,x2}f(x;y)dx

 

Замена переменной в двойном интеграле.

Пусть имеется область P в плоскости Оxy и есть отображение x=(U,V) y=(y;v);(U;V)эD

Отображает (x(u;v);y(u;v) область D на Р, Тогда имеет место формула замены переменных.

∫∫f(x;y)dxdy от P =∫∫f(x(u;v));y(u;v)))*(J*u;v)dudv где J(u;v)=| dx/du dx/dv | - якобиан отображений.

| dy/du dy/dv |

5.Тройной интеграл.

G(f(i),Tay,{P(i)}) (1); Если существует предел (1) интегральная сумма по области f(x,y,z) по области Т.

Если существует предел интегральных сумм (1) при характеристике Лямбда à 0, то этот предел и называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области Т и обозначается ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz по области Т

Т.е ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=Lim∑f(P(i),M(T)); ∫∫∫1(dxdydz)=M(T)-объем области.

Геометрический смысл интеграла – это объем по области Т.

 

 

Криволинейные интегралы.

Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.

 

Криволинейные интегралы второго рода.

Введем векторную функцию F{P,Q}, определенную на кривой Г, так, чтобы для скалярной функции

F*l=PcosA+Qcosb, тогда существует интеграл – Криволинейный интеграл второго рода обозначаемый ∫Pdx+Qdy.

2)Линейность - ∫(f(xy)+g(xy))dl=∫f(xy)dl+∫g(xy)dl

3)Аддитивность - ∫{ac}f(xy)dl+∫{cb}f(xy)dl=∫{ab}f(xy)dl;

 

 

 

Формула Грина.

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей A, задана непрерывная векторная функция

A=P(x;y)+Q(x;y) тогда справедлива формула Грина.

которая показывает что кривая С является замкнутой и обход вдоль этой кривой производится против часовой стрелки.

 

9.Условие независимостри Криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция u=u(x,y,z);

 

 

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Функция f(x;y) называется однородной функции n-го измерения если для любого лямбда справедливо f(лямбда*х;лямбда у)=лямбда^n*f(x;y). Дифф уравнение 1го порядка называется y’-f(x;y) однородным относительно x;y если f(x;y) однородная функция O-измерения y’+p(x)y =0 однородное уравнение.

 

Уравнение Лагранжа и Клеро.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида.

X*fi(y’)+y*psi*(y’)=X(y)

Где фи,у,Х некоторые известные функции. Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных х и у. Такое дифференциальное уравнение приходиться решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра y’=p.

Уравнение Клеро. – частный случай уравнения Лагранжа y’=xy’+psi(y’); Далее фото.

 

Градиент.Дивергенция.Ротор векторного поля.

Градиент функции нескольких переменных. Пусть Z=F(xy), то по определению dF/dx(x0,y0); dF/dy(x0,y0)=gradF(x0,y0).Это вектор. Градиент направлен в сторону наибольшего изменения фнкции.

Ротор векторного поля.Дивергенция.