Вопрос 2. Дискретные и непрерывные системы

Вопрос 2. Дискретные и непрерывные системы

 

Если значения СВ образуют конечную или бесконечную последовательность, то СВ называется дискретной (ДСВ). Если значения СВ заполняют весь промежуток, то СВ называется непрерывной (НСВ).

 

Вопрос 3. Законы распределения системы и их составляющих.

 

Законом распределения СВ называют всякое соотношение между значениями СВ и соответственно их вероятностями. Если известен закон распределения СВ, то по нему можно установить закон распределения составляющих.

 

Закон распределения дискретной двумерной СВ может быть задан:

1) в виде таблицы, содержащей возможные значения и их вероятности;

2) в виде функции распределения.

 

Вопрос 4. Функция распределения двумерной СВ (случайной величины) и её свойства.

Плотность распределения.

 

Функцией распределения СВ называют функцию действительного аргумента F(х), определеляющую вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее х: F(х)=Р(Х<х)

 

Свойства ФР:

1) Значеня ФР принадлежат отрезку [0,1]

2) ФР - неубывающая функция своего аргумента

3) lim F(x)=0 при х→ - бескон., lim F(x)=1 при х→ + бескон.

 

Плотностью двумерной НСВ называют вторую смешанную производную от функции распределения f(x,y)=ƌ2F/ƌxƌy.

Плотностью распределения СВ Х называется функция f(х) — первая производная от ФР F(х):

f(х)= F′(х).

 

Свойства плотности распределения:

1) f(x,y)>=0, где х,y принадлежат R

2) lim f(x,y) при х,y→ - бескон. = lim f(x,y) при х,y→ + бескон. = 0

3) F(x,y)=∫∫ f(х)dxdy (пределы 1-го интеграла (-бескон;х) 2-го(-бескон;у)

4) Условие нормировки: ∫∫ f(х)dxdy=1 (пределы 1-го и 2-го интеграла (-бескон;+бескон.)

Вопрос 5. Зависимые и независимые СВ (случайные величины).

Условие независимости.

 

Две СВ независимы, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая величина. Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей. Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям. Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

 

Для того, чтобы СВ Х,У были независимы необходимо и достаточно, чтоб функция распределения системы (Х,У) была равна произведению функций распределения составляющих: F(х,у)=F₁(х)F₂(у), а также необходимо и достаточно, чтоб плотность распределения системы (Х,У) была равна произведению плотностей распределения составляющих: f(х,у)=f₁(х)f₂(у).

 

Вопрос 6. Вероятность попадания точки в прямоугольную и произвольную плоскую область.

 

НСВ (непрерывная случайная величина): {х, у}

Р((х, у) ∈ D)=?

D: х=а, х=b, у=c, у=d.

 

Прямоугольник П получается из вырезанной области рисунка 2, вырезанной области на рисунке 4, и прибавленной области из рисунка 5.

 

Р((х<b)(y<d))=F(b, d)

F(x, y)=P((x<x)(y<y))

Р((х<a)(y<d))=F(a, d)

Р((х<b)(y<c))=F(b, c)

Р((х<a)(y<c))=F(a, c)

Р((x, y) ∈ П)=F(b, d)-F(a, d)-F(b, c)+F(a, c).

 

Вообще говоря, Р (вероятность попадания в прямоугольную область) вычисляется так:

P((x, y) ∈ П)=∫∫f(x, y)dxdy

^П

 

Эта формула справедлива и для произвольной плоской области.

Рисунки 1-5:

 

Вопрос 7. Числовые характеристики системы СВ (случайных величин).

Вопрос 8. Корреляционный момент системы СВ (случайных величин).

 

Корреляционным моментом ϻ по х,у СВ Х,У называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин: ϻ по х,у=М{[X-M(X)][Y-M(Y)]}=К по х,у=cov(x,y). Eсли К по х,у>0, то СВ Х и У положительно корялированы

 

Eсли К по х,у<0, то СВ Х и У отрицательно коррелированы

Eсли К по х,у=0, то СВ Х и У не коррелированы.

Корреляционный момент плох размерностью, как и дисперсия.

 

Если Х и У размерные СВ, то размерность корреляционного момента равна произведению моментов Х, У, поэтому вместо СВ Х,У рассматривают нормированные СВ Х,У. Их вид Х˟=Х-М[X]/ϭ[x] и У˟=У-М[У]/ϭ[у].

М[Х˟]=M[Х-М[X]/ϭ[x]]=0, D[Х˟]=D[Х-М[X]/ϭ[x]]=1.

 

Вычислять корреляционный момент по определению неудобно,

поэтому К_х,у=М[X,Y]-M[X]M[Y].

 

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

 

Вопрос 11. Связь между некоррелированными и независимыми СВ (случайных величин)

 

f(х,у)=f₁(x)f₂(y)

Теорема: если СВ Х,У не зависимы, то они некоррелированы.

Вопрос 12. Нормальный закон распределения системы двух СВ (случайных величин),

Его параметры.

 

 

 

Вопрос 2. Дискретные и непрерывные системы

 

Если значения СВ образуют конечную или бесконечную последовательность, то СВ называется дискретной (ДСВ). Если значения СВ заполняют весь промежуток, то СВ называется непрерывной (НСВ).