До 30 баллов, по усмотрению проверяющего, за разумные идеи или формулы.

 

Задание 2

Груз массы m₁ находится на столе, который дви­жется горизонтально с ускорением а (рис. 2). К грузу присоединена нить, перекинутая через блок. К другому концу нити подвешен второй груз массы m₂. Найти силу натяжения нити Τ, если коэффициент трения груза массы m₁ о стол равен μ.

 

 

 

 

 

Решение

Пусть угол между вертикалью и нитью, прикрепленной к грузу массы равен , а ускорение груза массы относи­тельно стола равно . Тогда ускорение груза массы относи­тельно земли равно .

Горизонталь­ная составляющая ускорения груза массы относительно земли равна

а вертикальная

Из второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную и вертикальную оси (ось y вниз):

 

Два последних уравнения при исключении угла дают следующее уравнение:

При наличии проскальзывания

Без проскальзывания

 

Максимальный балл – 100. Проведен анализ и получено правильное решение.

Баллов. Идея решения верна, но сделаны математические ошибки.

60 баллов. Правильно написаны исходные формулы.

До 30 баллов, по усмотрению проверяющего, за разумные идеи или формулы.

Задание 3

В двух калориметрах налито по 200 г воды – в одном температура t = +30⁰ С, в другом t = + 40⁰ С. Из «горячего» калориметра зачерпывают 50 г воды, переливают в «холодный» и перемешивают. Затем из «холодного» калориметра переливают 50 г воды в «горячий» и сно­ва перемешивают. Сколько раз нужно перелить такую же порцию воды туда-обратно, чтобы разность температур воды в калориметрах стала меньше 1 °С? Потерями тепла в процессе переливаний и теплоёмкостью калориметров пренебречь

Решение

Обозначим исходные температуры горячей воды – и холодной – . Рассчитаем, какая температура установится в «холодном» калориметре после переливания в него горячей воды массой . Из уравнения теплового баланса имеем:

Здесь т — исходная масса воды, находившейся в каждом из калоримет­ров, С — удельная теплоёмкость воды. Из этого уравнения находим:

где введено обозначение

Далее найдём, какая температура установится в «горячем» калориметре после переливания в него массы воды из «холодно­го» калориметра. Из уравнения теплового баланса имеем:

Отсюда:

 

Тогда после одного переливания туда-обратно разность температур в калориметрах составит

Ясно, что для того, чтобы получить разность температур в кало­риметрах после второго переливания туда-обратно, нужно в последней формуле заменить на и на :

Таким образом, понятно, что при каждом переливании туда-обратно разность температур изменяется в раз.

В нашем случае

= 10 °С, = 50 г, m = 200 г, откуда = 0,25 и = 0,6

С учётом этого окончательно имеем: разность температур после пер­вого переливания туда-обратно будет равна 10 °С · 0,6 = 6 °С, после второго переливания 10 °С · 0,6² = 3,6 °С, после третьего переливания 10 °С · 0,6³ ≈ 2,2 °С, после четвёртого 10 °С · 0,6⁴ ≈ 1,3 °С, после пятого 10 °С · 0,6⁵ ≈ 0,8 °С. Значит, для того, чтобы разность температур воды в калориметрах стала меньше 1 °С, достаточно сделать пять перелива­ний.

 

Максимальный балл – 80. Проведен анализ, получено решение с правильным ответом.

50 – 60 баллов. Идея решения верна. Ответ получен неверно из-за ошибок в выкладках.

Баллов. Найден алгоритм решения.

До 20 баллов, по усмотрению проверяющего, за разумные идеи или формулы.

 

Задание 4

В вакуумном диоде, анод и катод которого — параллельные пластины, зависимость тока I от напряжения U дается формулой I = c·U^3/2, где c — некоторая по­стоянная. Во сколько раз увеличится сила давления на анод, возникающая из-за ударов электронов о его поверхность, если напряжение на диоде увеличить в два раза? Начальной скоростью электронов, вылетающих из катода, пренебречь.

 

Решение

Рассмотрим небольшой интервал времени . За этовремя к аноду подлетят

электронов ( где е — заряд элект­рона)

и сообщат ему импульс, равный

.

Скорость v электрона у анода можно найти из закона сохранения энергии:

Согласно второму закону Ньютона

тогда

отсюда с учетом связи получаем

Таким образом, отношение сил

 

Максимальный балл – 60. Получено решение с правильным ответом.

Баллов. Идея решения верна, но сделаны математические ошибки.

30 баллов. Использован закон изменения импульса.

До 15 баллов, по усмотрению проверяющего, за разумные идеи или формулы.

 

Задание 5

Автомобиль движется со скоростью мимо длинной стены, удаляясь от нее под углом . В момент, когда рас­стояние от автомобиля до стены равно , шофер подает ко­роткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомо­биль до момента, когда шофер услышит эхо? Скорость звука в воздухе равна c.

 

 

Решение

.

 

При отражении звука угол падения равен углу отраже­ния, т. е. задачу можно рассматривать аналогично оптической задаче на отражение света в плоском зеркале (рис.3). В момент подачи сигнала изображение источника звука будет расположено симме­трично относительно стены по другую сторону от нее на расстоя­нии от нее. Вместо отражения звукового сигнала от стены можно рассматривать испускание звука из точки изображения источника. Если время, через которое шофер услышит эхо, то за это время автомобиль пройдет путь , а звук – путь ct. Из геометрических построений получаем (рис.3)

Искомое расстояние и заменим , тогда

отсюда

 

Решение со знаком «-» не имеет смысла. Окончательно имеем