Исследование характеристик типовых динамических звеньев

 

Цель работы

 

Целью настоящей работы является изучение временных и частотных характеристик типовых динамических звеньев, а также отработка навыков их экспериментального исследования с использованием ЭВМ.

 

Теоретическая часть

 

1.2.1. Дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев и систем

 

Математическое описание систем автоматического управления (САУ) составляется на основе описания отдельных ее звеньев. Объединяя уравнения звеньев с учетом их взаимосвязей, получают уравнение системы [1-5].

В теории автоматического управления приняты определенные формы записи дифференциальных уравнений линейных звеньев.

Дифференциальное уравнение линейного звена (рис. 1.1) в операторной форме имеет вид [2]

, (1.1)

где

;

;

– постоянные времени (сек);

– коэффициенты передачи;

– оператор дифференцирования;

– порядок дифференциального уравнения.

В уравнении (1.1) (дифференциальный оператор при выходной величине) называют собственным оператором, а (дифференциальный оператор при входной величине) – оператором воздействия.

 

 

Рис. 1.1. Структурная схема линейного звена САУ

 

Другой формой записи математического описания звена является запись с помощью передаточной функции.

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме

. (1.2)

Используя передаточную функцию, уравнение (1.1)можно записать в виде

. (1.3)

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточной функцией или передаточной функцией в форме изображений Лапласа называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

Передаточную функцию в форме изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку , где – комплексная величина

,(1.4)

где

– преобразования Лапласа.

Тогда дифференциальное уравнение в изображениях Лапласа имеет вид

. (1.5)

Такое сходство рассмотренных выражений для передаточных функций справедливо только при нулевых начальных условиях.

Очень часто при описании оператора дифференцирования и комплексной переменной преобразования Лапласа используется один и тот же символ , передаточная функция в этом случае имеет один и тот же вид. Однако необходимо помнить, что символ при этом имеет различный смысл.

 

1.2.2. Временные характеристики звеньев и систем

 

Динамические свойства линейных звеньев и систем автоматического управления в целом могут быть описаны уравнениями, как показано выше, и графическими характеристиками. В теории автоматического применяются два типа таких характеристик – временные и частотные. Эти характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена [4].

Переходная или временная характеристика (функция) звена представляет собой реакцию на выходе звена, вызванную подачей на его вход единичного, ступенчатого воздействия. Единичное, ступенчатое воздействие (единичная, ступенчатая функция) – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным

Таким образом

. (1.6)

Импульсная переходная (временная) характеристика или функция, называемая еще весовой функцией (функцией веса), представляет собой реакцию звена на единичный импульс. Единичный импульс (единичная импульсная функция или дельта-функция) – это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала. Единичный импульс – это импульс, площадь которого равна единице при длительности, равной нулю, и высоте, равной бесконечности

При этом согласно определению

.

Таким образом

. (1.7)

Дельта-функция просто связана с единичной, ступенчатой функцией

.

Отсюда следует аналогичная связь между весовой и переходной функциями

.

Временные характеристики на основании преобразования Лапласа связаны также с передаточной функцией звена. Переходная характеристика

;

импульсная переходная характеристика

.

 

1.2.3. Частотные характеристики звеньев и систем

 

Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе [4].

Пусть на вход звена (рис. 1.1) подано гармоническое воздействие

,

где – амплитуда, а – угловая частота этого воздействия.

По окончании переходного процесса на выходе этого звена будут существовать гармонические колебания с той же частотой, что и на входе, но отличающиеся в общем случае по амплитуде и фазе

,

где – амплитуда выходных установившихся колебаний; – фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями.

При фиксированной амплитуде входных колебаний амплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе звена зависит от частоты колебаний.

Амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) звена называется зависимость отношения амплитуд от частоты

;

фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) звена называется зависимость сдвига фаз от частоты

.

При исследовании систем автоматического управления амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, в логарифмических координатах характеристики деформируются таким образом, что возникает возможность упрощенно изображать амплитудные частотные характеристики ломаными линиями. Во-вторых, в логарифмическом масштабе амплитудная частотная характеристика последовательной цепочки звеньев равна сумме амплитудных характеристик отдельных звеньев.

Амплитудно-частотная характеристика в логарифмических координатах (ЛАХ) строится в виде зависимости

от , называемой логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ), а фазовая – в виде зависимости от , называемой логарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ).

Обыкновенные амплитудная и фазовая характеристики могут быть объединены в одну характеристику – амплитудно-фазовую частотную характеристику , используя и в качестве полярных координат.

Амплитудно-фазовую частотную характеристику можно строить и в прямоугольной системе координат – в комплексной плоскости. При этом координатами будут проекции вектора на соответствующие оси. Зависимости и называются соответственно действительной (вещественной) и мнимой частотными характеристиками.

Аналитические выражения для рассмотренных выше частотных характеристик могут быть легко получены по передаточной функции. Если в выражение передаточной функции звена подставить , то получится комплексная величина , которая представляет собой функцию и является амплитудно-фазовой частотной характеристикой (частотной передаточной функцией) звена

. (1.8)

Тогда справедливы следующие соотношения

; ;

; .

Частотные и переходные характеристики взаимосвязаны. Наиболее просто связь между ними определяется для весовой функции с помощью преобразования Фурье

;

.

 

1.2.4. Типовые звенья и их характеристики

 

В теории автоматического управления вводится понятие типовых звеньев, передаточная функция которых только в определенном частотном диапазоне соответствует реальным звеньям систем управления. Рассматривая характеристики звеньев независимо от их назначения, физического принципа действия, мощности и скорости передаваемых сигналов, можно выделить ряд типовых звеньев, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков [3]:

1) простейшие: пропорциональные, интегрирующие и дифференцирующие звенья;

2) звенья первого порядка: инерционные, инерционно-дифференцирующие, форсирующие и инерционно-форсирующие;

3) звенья второго порядка: колебательные, консервативные, инерционные, форсирующие.

Более сложные линейные звенья могут быть сведены к соединению типовых звеньев.

Модели типовых звеньев могут быть представлены в виде дифференциальных уравнений, передаточных функций, а также частотных и временных характеристик [2, 3].

 

Пропорциональное звено. Пропорциональным (безынерционным или статическим) называют звено, которое описывается уравнением

, (1.9)

или, что тоже, передаточной функцией

. (1.10)

Частотные функции этого звена имеют вид

; ; ; ; ;

;

Временные функции этого звена имеют вид

; .

Примеры реализации пропорциональных звеньев приведены на рис. 1.2.

 

 

Рис. 1.2. Примеры реализации пропорциональных звеньев

 

Интегрирующее звено. Интегрирующим называют звено, которое описывается уравнением

, (1.11)

или передаточной функцией

. (1.12)

Уравнение такого звена может быть записано также в виде

.

Частотные функции этого звена имеют вид

; ; ; ;

; .

Временные функции этого звена имеют вид

; .

Примеры реализации интегрирующих звеньев приведены на рис. 1.3.

 

 

Рис. 1.3. Примеры реализации интегрирующих звеньев

 

Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением

, (1.13)

или передаточной функцией

. (1.14)

Уравнение такого звена может быть записано также в виде

.

Частотные функции этого звена имеют вид

; ; ; ; ;

.

Временные функции этого звена имеют вид

; .

Такое звено физически нереализуемо.

Апериодическое звено. Апериодическим (инерционным) звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением

, (1.15)

или передаточной функцией

. (1.16)

Частотные функции этого звена имеют вид

; ; ;

; ;

.

Временные функции этого звена имеют вид

; .

Примеры реализации инерционных звеньев первого порядка приведены на рис. 1.4.

 

 

Рис. 1.4. Примеры реализации инерционных звеньев первого порядка

 

Форсирующее звено. Форсирующим звеном или форсирующим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением

, (1.17)

или, что тоже, передаточной функцией

. (1.18)

Частотные функции этого звена имеют вид

; ; ; ;

; .

Временные функции этого звена имеют вид

; .

Это звено не относится к числу элементарных звеньев. Его можно представить в виде параллельно соединенных дифференцирующего и пропорционального звеньев.

Такое звено физически нереализуемо.

Инерционно-дифференцирующее звено. Инерционно-дифференцирующим или реальным дифференцирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением

, (1.19)

или передаточной функцией

. (1.20)

Частотные функции этого звена имеют вид

; ;

; ;

; .

Временные функции этого звена имеют вид

; .

Это звено не относится к числу элементарных звеньев. Его можно представить в виде последовательно соединенных дифференцирующего и инерционного звеньев.

Примеры реализации инерционно-дифференцирующих звеньев приведены на рис. 1.5.

 

 

Рис. 1.5. Примеры реализации инерционно-дифференцирующих звеньев

Инерционно-форсирующее звено. Инерционно-форсирующим или упругим звеном называют звено, которое описывается уравнением

, (1.21)

или передаточной функцией

. (1.22)

Существенным параметром этого звена является коэффициент . Если , то звено по своим свойствам приближается к интегрирующему и инерционному звеньям. Если же , то звено – ближе к дифференцирующему и инерционно-дифференцирующему звеньям.

Частотные функции этого звена имеют вид

;

; ;

.

Временные функции этого звена имеют вид

; .

Это звено не относится к числу элементарных звеньев. Его можно представить в виде последовательно соединенных форсирующего и инерционного звеньев.

Примеры реализации инерционно-форсирующих звеньев приведены на рис. 1.6.

 

 

Рис. 1.6. Примеры реализации инерционно-форсирующих звеньев

 

Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья. Звено, которое можно описать уравнением

или в другой форме

, (1.23)

где , ,

или передаточной функцией

, (1.24)

называют колебательным, если , консервативным, если , и апериодическим звеном второго порядка, если . Коэффициент называют коэффициентом относительного демпфирования или степенью затухания.

Колебательное звено (). Передаточная функция этого звена

.

Частотные функции этого звена имеют вид

; ; ; ; .

Временные функции этого звена имеют вид

;

,

где ; ; .

Пример реализации колебательного звена приведен на рис. 1.7.

 

 

Рис. 1.7. Пример реализации колебательного звена

 

Консервативное звено (). Передаточная функция этого звена

.

Частотные функции этого звена имеют вид

; ; ;

; ;

Временные функции этого звена имеют вид

.

Апериодическое звено второго порядка (). Передаточную функцию звена второго порядка при можно преобразовать к виду

,

где .

Апериодическое звено второго порядка можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Оно не относится к числу элементарных звеньев.

Форсирующее звено второго порядка. Так называют звено, которое описывается уравнением

или, что тоже, передаточной функцией

при условии, что .

Получение характеристик этого звена не представляет трудности. Такое звено физически нереализуемо.

 

Задание

 

1. Изучить характеристики типовых звеньев систем автоматического управления. Ознакомиться с объектами управления, которые могут быть описаны типовыми звеньями.

2. Составление программы моделирования типовых звеньев.

3. Провести моделирование типовых звеньев и построить их временные и частотные характеристики.