Растяжение и сжатие стержней

Введение

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Прикладная механика» для студентов немеханических специальностей всех форм обучения, учебным планом которых предусмотрено выполнение домашней работы в указанном курсе.

Предлагаемые указания включают в себя рекомендации, задания и примеры, порядок расчета по выполнению расчетно-графических заданий. Изложены краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения заданий.

При выполнении расчетно-графических заданий по названному курсу студенты могут пользоваться программой расчета внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержня (при растяжении, изгибе), которая имеется на кафедре ОКМ и М, с целью развития и закрепления навыков программирования на ЭВМ.

Предмет «Прикладная механика» содержит комплекс важнейших общетехнических знаний. Курс «Прикладная механика» для подготовки бакалавров и дипломированных специалистов немеханических специальностей состоит из разделов:

1) сопротивление материалов;

2) теория механизмов и машин;

3) детали машин.

Назначение предмета – дать выпускникам немеханических специальностей сведения о методах и приемах постановки решения многих технических задач. Этим обусловлено важное значение прикладной механики как основы для изучения специальных дисциплин.

Общие методические указания

В соответствии с учебным планом студент при изучении курса «Прикладная механика» выполняет три расчетно-графических задания, которые соответствуют разделу программы курса «Сопротивление материалов» [1, 3].

После изучения материала, соответствующего каждому заданию, выполняется домашнее задание, в которое входят несколько задач, составленных по многовариантной системе.

Студенты немеханических специальностей (ЭУП, ЭМ и т.д.) дневного и вечернего факультетов выполняют следующие расчетно-графические задания:

задание № 1 – растяжение и сжатие;

задание № 2 – кручение круглых стержней;

задание № 3 – изгиб.

Исходные данные к задачам, включенным в задание, студенты выбирают по индивидуальному варианту. Вариант – четырехзначное число, первая цифра которого – списочный номер студента в группе (в случае двухзначного числа – вторая его цифра), а следующие три назначаются преподавателем.

Пример. При варианте 2351 для задачи 1 необходимо взять из табл. 2.1 в соответствии с рис. 2.1 следующие данные:

первая цифра – 2; F ₁ = 2,7 кН;

вторая цифра – 3; F ₂ = 1,45 кН;

третья цифра – 5; d ₁ = 80 мм;

четвертая цифра – 1; а ₁ = 20 мм.

Исходные данные в каждой задаче следует записать в виде табл.1.1.

Например, таблица исходных данных к задаче 1 варианта 2351 будет иметь вид:

 

Таблица 1.1

F1	F2	d1	a1
2,7	1,45

 

Задачи, выполненные по данным, не соответствующим варианту студента, не принимаются.

 

 

Растяжение и сжатие стержней

Нормальные напряжения и абсолютная

Линейная деформация

 

Принимается, что во всех поперечных сечениях растянутых или сжатых стержней нормальные напряжения σ _х распределены равномерно. Поэтому величина нормального напряжения σ _х в произвольном поперечном сечении определяется отношением продольной силы N_x в этом сечении к его площади A_x:

, (2.2)

Считая материалы стержней, подчиняющимися закону Гука, величину абсолютного удлинения стержня при растяжении или сжатии можно определить по следующей формуле [1]:

(2.3)

где Е – модуль упругости материала стержня, МПа.

Интегрирование производится по длине каждого участка, а суммирование по всем участкам стержня.

Если по длине стрежня N и А постоянны в пределах участка нагружения, то абсолютное удлинение равно:

. (2.4)

 

Варианты заданий

 

Задача 1

Стальной поршень пневмоцилиндра (рис. 2.3) находится в равновесии под действием рабочей нагрузки F ₂, силы давления воздуха в цилиндре F ₁ и силы пружины F ₃.

Найти продольные силы N, нормальные напряжения σ, перемещения и построить эпюры N, ,σ, если дано: а ₂ = 2 а ₁, а ₃=4 а ₁; d ₂ = 0,5 d ₁; d ₃ = 0,25 d ₁ и схема нагружения (рис. 2.3). Силы F ₁, F ₂ ; размеры поршня: а ₁ и d ₁ выбираются из табл. 2.1 в соответствии с вариантом.

а₁ а₂ а₃

F ₃

F₁ d₃ F₂

Ø d ₃

 

Рис. 2.3

 

Цифра варианта	Порядковый	Номер	цифры в	Варианте
F 1, кН	F 2, кН	d 1, мм	а 1, мм
	1,6	1,35
	3,7	1,4
	1,8	1,45
	1,9	1,5
	2,0	1,55
	2,1	1,6
	2,2	1,65
	2,3	1,7
	2,4	1,75
	2,5	1,8

 

Таблица 2.1

 

Задача 2

Для стального поршня пневмоцилиндра (рис.2.4) определить рабочую нагрузку F ₃, продольные силы N, нормальные напряжения σ, перемещения и построить эпюры N, σ, , если даны: схема нагружения (рис. 2.4), F ₁ – сила давления воздуха в цилиндре, F ₂ – сила давления жидкости на поршень; а ₁ и d ₁ – размеры поршня. а ₂= 20 а ₁, а ₃= 2 а ₁; а ₄= 10 а ₁; d ₂=0,5 d ₁; d ₃= 5 d ₁; d ₄= 0,8 d ₁ (табл. 2.2).

Ø d ₃

Ø d₁ Ø d ₄

F ₂ F ₁ F ₃

Ø d ₂

а₁ а₂ а₃ а₄

Рис. 2.4

 

Таблица 2.2

Цифра варианта	Порядковый	номер	цифры в	варианте
F 1, кН	F 2, кН	d 1, мм	а 1, мм
		1,0
	15,5	1,1
	16,0	1,2
	16,5	1,3
	17,0	1,4
	17,5	1,5
	18,0	1,6
	18,5	1,7
	19,0	1,8
	19,5	1,9

 

Задача 3

На стальном валу (рис. 2.5) находятся зубчатые колесами. На них действуют осевые силы F ₁ и F ₂, приведенные к оси вала.

Определить продольные силы N, нормальные напряжения s, перемещения и построить эпюры N, s, , если d ₂ = 1.3 d ₁; d ₃=2 d ₁ (табл. 2.3).

Ø d₃

Ø d₂ Ø d₃

 

 

 

Ød1

а

2а а 2 а 2 a 2 a a

Рис. 2.5

 

Таблица 2.3

Цифра варианта	Порядковый	номер	цифры в	варианте
F 1, кН	F 2, кН	d 1, мм	а 1, мм

 

Задача 4

Для бетонной опоры моста (рис. 2.6) определить продольные силы N, нормальные напряжения s, перемещения и построить эпюры N, s, . Даны в табл. 2.4: F ₁, F ₂, - силы, действующие на опору; A ₁, A ₂, A ₃ –площади поперечных сечений опоры.

2а а

1,5а

A 3

 

F₂ F ₁

 

 

A ₂ A ₁

Рис. 2.6

 

Таблица 2.4

Цифра варианта	Порядковый	номер	цифры	в	варианте
F 1, кН	F 2, кН	A 1, мм2	A 2, мм2	A 3, мм2	а, м
			1,5·105	5·104	1·104
			2·105	5·104	1,5·104	4,5
			2,5·105	7,5·104	2,0·104
			2,25·105	5·104	1,5·104	3,5
			3·105	10·104	2,0·104
			4·105	12·104	3·104
			2·105	5·104	1,5·104
			3·105	7,5·104	2·104
			3,5·105	12·104	2,5·104
			2·105	5·104	1·104	4,5

 

3. Кручение стержня

 

Крутящий момент

 

Аналогично продольной силе при растяжении крутящий момент в поперечном сечении стержня определяется методом сечений. Величина крутящего момента Т_к равна алгебраической сумме вращающих моментов всех внешних пар сил, действующих относительно геометрической оси стержня по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Общая формула, по которой можно определить величину крутящего момента в произвольном поперечном сечении на любом участке стержня, имеет вид [2]:

Т_k =∑ T_i (3.1)

Суммирование производится по всем участкам, расположенным по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Крутящий момент, рассматриваемый со стороны внешней нормали к сечению, условно будем считать положительным, если он направлен против часовой стрелки, и наоборот.

Зависимость между вращающим моментом Т в Н∙м, угловой скоростью вращения ω 1/с и мощностью Р в Вт выражается формулой:

, (3.2)

а между ω и числом оборотов в минуту n:

(3.3)

Поскольку вращающий момент пропорционален мощности, то для равномерно вращающихся валов, передающих мощности рабочим агрегатам, можно вместо эпюры крутящих моментов строить эпюру распределения моментов по длине вала [2].

Варианты заданий

 

Задача 1

Полый стальной вал (рис. 3.2) нагружен парами сил с моментами T ₁, T ₂, Т ₃, Т ₄, T ₂= Т ₃. Под действием момента Т ₁ вал закручивается на угол j =0,2 радиана на длине а. Требуется определить диаметр вала, если даны в таблице 3.1: a=d/D, T ₁, T ₂, а. Построить эпюры крутящихся моментов Т_к и углов закручивания j.

D d

 

Т 1 Т 4

Т 2 Т 3

 

 

а а 0,5 а

Рис. 3.2

 

 

Таблица 3.1

Цифра варианта	Порядковый номер цифры в варианте
Т 1, Н м	Т 2, Н м	а, мм	a
	Т 1=1,5 Т 2 Т 1=1,6 Т 2 Т 1=1,7 Т 2 Т 1=1,8 Т 2 Т 1=1,5 Т 2 Т 1=1,6 Т 2 Т 1=1,7 Т 2 Т 1=1,8 Т 2 Т 1=1,5 Т 2 Т 1=1,75 Т 2			0,6 0,5 0,4 0,3 0,5 0,5 0,6 0,4 0,5 0,7

 

Задача 2

На вал (рис. 3.3) насажаны три шкива. Первый шкив является ведущим и передает мощность N ₁; N ₂= N ₃ (табл. 3.2). Частота вращения вала n, об/мин. Построить эпюры крутящих моментов T_k и углов закручивания j. Определить диаметр трубчатого сечения вала из условия прочности при a =d/D, если [τ]=80 MПа.

Ø D

Ø d

Т ₃

Т ₁

Т ₂ a

ω

a

Рис. 3.3

 

Таблица 3.2

Цифра варианта	Порядковый номер цифры в варианте
N 1, кВт	n, об/мин	a, мм	a
				0,6 0,3 0,5 0,4 0,7 0,3 0,5 0,4 0,6 0,7

 

Задача 3

Ступенчатый стальной вал (рис. 3.4) нагружен парами сил с моментами Т ₁, Т ₂, Т ₃ и Т ₄ (табл. 3.3). Определить размеры вала, если [ t_кр ] = 80 МПа. Построить эпюры крутящих моментов T_k и углов закручивания j. Определить, на какой угол закрутится последнее сечение относительно первого сечения.

Т₂ Т₃ Т₄

Т₁

 

 

a 0,5a a

Рис. 3.4

Таблица 3.3

Цифра варианта	Порядковый номер цифры в варианте
Т 1, Н м	a, мм	Т 2, Т 3, Н м	Т4, Н м
			Т 2= Т 3= 0,2 Т1 Т 2= Т 3= 0,5 Т 1 Т 2= Т 3= 0,3 Т 1 Т 2= Т 3= 0,4 Т 1 Т 2= Т 3= 0,3 Т 1 Т 2= Т 3=0,25 Т 1 Т 2= Т 3= 0,4 Т 1 Т 2= Т 3= 0,2 Т 1 Т 2= Т 3= 0,2 Т 1 Т 2= Т 3= 0,5 Т 1	Т 4= 0,5 Т 1 Т 4 = 0,3 Т 1 Т 4 = 0,25 Т 1 Т 4= 0,5 Т 1 Т 4 = 0,3 Т 1 Т 4= 0,25 Т 1 Т 4= 0,5 Т 1 Т 4= 0,3 Т 1 Т 4= 0,25 Т 1 Т 4 = 0,5 Т 1

 

Задача 4

Даны: N₁ – мощность, подводимая к приводу (рис. 3.5); N ₄= N ₂; n – частота вращения вала (табл. 3.4); [t _кр ]=30МПа – допускаемое напряжение кручения; [j] =0,4 град/м – допускаемый угол закручивания. Определить мощности N₂ и N₃, снимаемые с вала, и крутящие моменты Т_k. Рассчитать диаметр сплошного вала. Построить эпюры Т_k и j.

N ₁ N ₂ N ₃ N ₄

Ø d

 

 

a 2a a a a

Рис. 3.5

 

Таблица 3.4

Цифра варианта	Порядковый номер цифры в варианте
N 1, кВт	N 2, N 3	a, мм	n, об/мин
		N 2= 0,5 N 3 N 2= 0,6 N 3 N 2= 0,7 N 3 N 2= 0,4 N 3 N 2= 0,3 N 3 N 2= 0,2 N 3 N 2= 0,5 N 3 N 2= N 3 N 2= 2 N 3 N 2= 0,5 N 3

Прямой поперечный изгиб

Нормальные напряжения

 

Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормальными возникают и касательные напряжения, обусловленные наличием поперечной силы, но они в подавляющем большинстве случаев невелики и при расчетах на прочность не учитываются.

Прочность балки обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых. Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны, опасное сечение то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент.

, (4.1)

где М _max – наибольший изгибающий момент опасного сечения;

W – осевой момент сопротивления данного поперечного сечения.

 

 

4.3. Построение эпюр Q и M

 

Пример. Балка на двух опорах, к которой приложены внешние нагрузки (рис. 4.3).

Дано: F= 10 m, q = 2 m /м, a = 4 м. Построить эпюры Q и M.

Решение. Определяем реакции опор из условия статического равновесия балки, т.е. суммы моментов сил относительно правой и левой опоры.

Σ M (F_kx)_B = 0; F ·3 a – R _A·2 a + F · a – F · a + q ·3 a ·1,5· a - q + a² ·0,5 = 0;

10·3·4 – R _A· 2·4 + 10·4 + 2·4·4·0,5 = 0;

R _A =31 m;

Σ M (F_kx)_A = 0; - F ·3 + R_B ·2 a – F · a – q ·3 a ·1,5 a + F · a + q · a ²·0,5 = 0;

-10·3·4 – R _B·2·4 – 10·4 – 2·3·4·1,5·4 + 10·4 + 2·4²·0,5 = 0;

R _B = 31 m.

Проверка: Σ F _y = 0; 31+ 31 – 10 –10 –32 – 32 = 0.

Для упрощения выражений, определяющих Q и M, сечения на первом и втором участках длиной a рассматриваем слева, а на третьем и четвертом участках – справа:

0≤ x ₁≤ a; Q _x1 = - F – qx ₁;

Q _x1 = a = - F – q x₁ – x₁/2; M _x1=0=0;

M _{x1= a} = - F · a – qa · a /2·-10·4·4/2 = -56 m ·м;

M _{x1= a /2}=-10·2 – 2·2·2/2 = -24 m ·м;

 

Y

F R _A F R _B F

I II III IV

 

 

Х

A B

X ₁ X ₂ X ₃ X ₄

Z

a a a a

13 5 18 10

э Q, m

-5

-10 -18 -13

 

э М _z, m м

 

-56 -20 -56

 

Рис. 4.3

 

0≤ х ₂≤ a;

M _x2= - F (a + x ₂) – qa (a /2 + x ₂) + R _A· x ₂ – qx ₂· x ₂/2;

M _x2=0= -10·4 – 2·4·2 = -56 m ·м;

M _{x2= a} = -10·8 – 2·4·6 + 31·4 – 2·4·2 = -20 m ·м;

M _{x2= a /2}= -10·6 – 2·4·4 + 31·2 – 2·2·1 = -34 m ·м;

Q _x2=- F – q · a + R _A – q · x ₂; Q _x2=0= -10 – 2·4 + 31 + 13 m;

Q _x2= -10 – 2·4 + 31 – 2·4 = 5 m ·м;

 

0≤ x ₄≤ a;

Q _x4= F + qx ₄; Q _x4=0= F =10 m;

Q _{x4= a} = 10 + 2·4 =18 m;

M _x4= - F · x ₄ – qx ₄· x ₄/2; M _x4=0= 0;

M _{x4= a} = -10·4 – 2·4·2 = -56 m ·м;

M _{x4= a /2}= -10·2 – 2·2·1 = -24 m ·м;

 

0≤ x ₃≤ a;

Q _x3= F + qa – R _B + qx ₃; Q _x3=0= 10 + 2·4 – 31 = -13 m;

Q _{x3= a} = 10 + 2·4 – 31 + 2·4 = 5 m ·м;

M _x3= - F (a + x ₃) – qa ·(a /2 + x₃) + R_B · x ₃ – qx ₃· x ₃/2;

M _x3=0= -10·4 – 2·4·2 = -56 m ·м;

M _{x3= a} = -10·8 – 2·4·6 + 31·4 – 2·4·2 = -20 m ·м;

M _{x3= a /2}= - 10·6 – 2·4·2 + 31·2 – 2·2·1 = -34 m ·м.

По полученным данным построим эпюры Q и M (см. рис. 4.3).

 

 

Варианты заданий

 

Задача 1

Определить реакции опор балки (рис. 4.5), поперечные силы Q, изгибающие моменты M; построить эпюры Q и M, если известны нагрузки F, M₀, q и d (табл. 4.1).

Найти размеры поперечного сечения: стальной круглой балки при [σ]=160 МПа (схема a); стальной балки из профильного проката при [σ] =140МПа (схема б). Профиль – двутавр.

 

Q M ₀

 

a A B

 

 

F

q

 

б F M ₀

 

2 d d d

Рис. 4.5

 

Таблица 4.1

Цифра варианта	Порядковый номер цифры в варианте
d, м	F, кН	M 0, кН·м	q, кН/м
	1,5 2,5 1,5

 

Задача 2

Определить реакции опор балки (рис. 4.6), поперечные силы Q, изгибающие моменты M и построить эпюры Q и M. Найти размеры поперечного сечения: стальной круглой балки при [σ] = 20 МПа (схема а); стальной балки из профильного проката при [σ] = 110 МПа (схема б). Профиль – швеллер. Известны нагрузки F, M ₀, q и a (табл. 4.2).

q M ₀

F

 

а

 

q

M ₀

 

A B

б F

 

 

a a a a

 

Рис. 4.6

Таблица 4.2

Цифра варианта	Порядковый номер цифры в варианте
а, м	F, кН	M 0, кН·м	q, кН/м
	0,8 0,5 0,7 1,2 1,5 2,5 1,8 1,6

 

 

Задача 3

 

Определить реакции опор балки (рис. 4.7), поперечные силы Q, изгибающие моменты M и построить эпюры Q и M. Найти размеры поперечного сечения.