Растяжение и сжатие стержней

Введение

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Прикладная механика» для студентов немеханических специальностей всех форм обучения, учебным планом которых предусмотрено выполнение домашней работы в указанном курсе.

Предлагаемые указания включают в себя рекомендации, задания и примеры, порядок расчета по выполнению расчетно-графических заданий. Изложены краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения заданий.

При выполнении расчетно-графических заданий по названному курсу студенты могут пользоваться программой расчета внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержня (при растяжении, изгибе), которая имеется на кафедре ОКМ и М, с целью развития и закрепления навыков программирования на ЭВМ.

Предмет «Прикладная механика» содержит комплекс важнейших общетехнических знаний. Курс «Прикладная механика» для подготовки бакалавров и дипломированных специалистов немеханических специальностей состоит из разделов:

1) сопротивление материалов;

2) теория механизмов и машин;

3) детали машин.

Назначение предмета – дать выпускникам немеханических специальностей сведения о методах и приемах постановки решения многих технических задач. Этим обусловлено важное значение прикладной механики как основы для изучения специальных дисциплин.

Общие методические указания

В соответствии с учебным планом студент при изучении курса «Прикладная механика» выполняет три расчетно-графических задания, которые соответствуют разделу программы курса «Сопротивление материалов» [1, 3].

После изучения материала, соответствующего каждому заданию, выполняется домашнее задание, в которое входят несколько задач, составленных по многовариантной системе.

Студенты немеханических специальностей (ЭУП, ЭМ и т.д.) дневного и вечернего факультетов выполняют следующие расчетно-графические задания:

задание № 1 – растяжение и сжатие;

задание № 2 – кручение круглых стержней;

задание № 3 – изгиб.

Исходные данные к задачам, включенным в задание, студенты выбирают по индивидуальному варианту. Вариант – четырехзначное число, первая цифра которого – списочный номер студента в группе (в случае двухзначного числа – вторая его цифра), а следующие три назначаются преподавателем.

Пример. При варианте 2351 для задачи 1 необходимо взять из табл. 2.1 в соответствии с рис. 2.1 следующие данные:

первая цифра – 2; F ₁ = 2,7 кН;

вторая цифра – 3; F ₂ = 1,45 кН;

третья цифра – 5; d ₁ = 80 мм;

четвертая цифра – 1; а ₁ = 20 мм.

Исходные данные в каждой задаче следует записать в виде табл.1.1.

Например, таблица исходных данных к задаче 1 варианта 2351 будет иметь вид:

Таблица 1.1

Задачи, выполненные по данным, не соответствующим варианту студента, не принимаются.

Растяжение и сжатие стержней

Нормальные напряжения и абсолютная

Линейная деформация

Принимается, что во всех поперечных сечениях растянутых или сжатых стержней нормальные напряжения σ _х распределены равномерно. Поэтому величина нормального напряжения σ _х в произвольном поперечном сечении определяется отношением продольной силы N_x в этом сечении к его площади A_x:

, (2.2)

Считая материалы стержней, подчиняющимися закону Гука, величину абсолютного удлинения стержня при растяжении или сжатии можно определить по следующей формуле [1]:

(2.3)

где Е – модуль упругости материала стержня, МПа.

Интегрирование производится по длине каждого участка, а суммирование по всем участкам стержня.

Если по длине стрежня N и А постоянны в пределах участка нагружения, то абсолютное удлинение равно:

. (2.4)

Варианты заданий

Задача 1

Стальной поршень пневмоцилиндра (рис. 2.3) находится в равновесии под действием рабочей нагрузки F ₂, силы давления воздуха в цилиндре F ₁ и силы пружины F ₃.

Найти продольные силы N, нормальные напряжения σ, перемещения и построить эпюры N, ,σ, если дано: а ₂ = 2 а ₁, а ₃=4 а ₁; d ₂ = 0,5 d ₁; d ₃ = 0,25 d ₁ и схема нагружения (рис. 2.3). Силы F ₁, F ₂ ; размеры поршня: а ₁ и d ₁ выбираются из табл. 2.1 в соответствии с вариантом.

а₁ а₂ а₃

F₁ d₃ F₂

Ø d ₃

Рис. 2.3

Таблица 2.1

Задача 2

Для стального поршня пневмоцилиндра (рис.2.4) определить рабочую нагрузку F ₃, продольные силы N, нормальные напряжения σ, перемещения и построить эпюры N, σ, , если даны: схема нагружения (рис. 2.4), F ₁ – сила давления воздуха в цилиндре, F ₂ – сила давления жидкости на поршень; а ₁ и d ₁ – размеры поршня. а ₂= 20 а ₁, а ₃= 2 а ₁; а ₄= 10 а ₁; d ₂=0,5 d ₁; d ₃= 5 d ₁; d ₄= 0,8 d ₁ (табл. 2.2).

Ø d ₃

Ø d₁ Ø d ₄

F ₂ F ₁ F ₃

Ø d ₂

а₁ а₂ а₃ а₄

Рис. 2.4

Таблица 2.2

Задача 3

На стальном валу (рис. 2.5) находятся зубчатые колесами. На них действуют осевые силы F ₁ и F ₂, приведенные к оси вала.

Определить продольные силы N, нормальные напряжения s, перемещения и построить эпюры N, s, , если d ₂ = 1.3 d ₁; d ₃=2 d ₁ (табл. 2.3).

Ø d₃

Ø d₂ Ø d₃

2а а 2 а 2 a 2 a a

Рис. 2.5

Таблица 2.3

Для бетонной опоры моста (рис. 2.6) определить продольные силы N, нормальные напряжения s, перемещения и построить эпюры N, s, . Даны в табл. 2.4: F ₁, F ₂, - силы, действующие на опору; A ₁, A ₂, A ₃ –площади поперечных сечений опоры.

2а а

1,5а

F₂ F ₁

A ₂ A ₁

Рис. 2.6

Таблица 2.4

3. Кручение стержня

Крутящий момент

Аналогично продольной силе при растяжении крутящий момент в поперечном сечении стержня определяется методом сечений. Величина крутящего момента Т_к равна алгебраической сумме вращающих моментов всех внешних пар сил, действующих относительно геометрической оси стержня по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Общая формула, по которой можно определить величину крутящего момента в произвольном поперечном сечении на любом участке стержня, имеет вид [2]:

Т_k =∑ T_i (3.1)

Суммирование производится по всем участкам, расположенным по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Крутящий момент, рассматриваемый со стороны внешней нормали к сечению, условно будем считать положительным, если он направлен против часовой стрелки, и наоборот.

Зависимость между вращающим моментом Т в Н∙м, угловой скоростью вращения ω 1/с и мощностью Р в Вт выражается формулой:

, (3.2)

а между ω и числом оборотов в минуту n:

(3.3)

Поскольку вращающий момент пропорционален мощности, то для равномерно вращающихся валов, передающих мощности рабочим агрегатам, можно вместо эпюры крутящих моментов строить эпюру распределения моментов по длине вала [2].

Варианты заданий

Задача 1

Полый стальной вал (рис. 3.2) нагружен парами сил с моментами T ₁, T ₂, Т ₃, Т ₄, T ₂= Т ₃. Под действием момента Т ₁ вал закручивается на угол j =0,2 радиана на длине а. Требуется определить диаметр вала, если даны в таблице 3.1: a=d/D, T ₁, T ₂, а. Построить эпюры крутящихся моментов Т_к и углов закручивания j.

а а 0,5 а

Рис. 3.2

Таблица 3.1

Задача 2

На вал (рис. 3.3) насажаны три шкива. Первый шкив является ведущим и передает мощность N ₁; N ₂= N ₃ (табл. 3.2). Частота вращения вала n, об/мин. Построить эпюры крутящих моментов T_k и углов закручивания j. Определить диаметр трубчатого сечения вала из условия прочности при a =d/D, если [τ]=80 MПа.

Т ₃

Т ₁

Т ₂ a

ω

a

Рис. 3.3

Таблица 3.2

Задача 3

Ступенчатый стальной вал (рис. 3.4) нагружен парами сил с моментами Т ₁, Т ₂, Т ₃ и Т ₄ (табл. 3.3). Определить размеры вала, если [ t_кр ] = 80 МПа. Построить эпюры крутящих моментов T_k и углов закручивания j. Определить, на какой угол закрутится последнее сечение относительно первого сечения.

Т₂ Т₃ Т₄

Т₁

a 0,5a a

Рис. 3.4

Таблица 3.3

Задача 4

Даны: N₁ – мощность, подводимая к приводу (рис. 3.5); N ₄= N ₂; n – частота вращения вала (табл. 3.4); [t _кр ]=30МПа – допускаемое напряжение кручения; [j] =0,4 град/м – допускаемый угол закручивания. Определить мощности N₂ и N₃, снимаемые с вала, и крутящие моменты Т_k. Рассчитать диаметр сплошного вала. Построить эпюры Т_k и j.

N ₁ N ₂ N ₃ N ₄

Ø d

a 2a a a a

Рис. 3.5

Таблица 3.4

Прямой поперечный изгиб

Нормальные напряжения

Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормальными возникают и касательные напряжения, обусловленные наличием поперечной силы, но они в подавляющем большинстве случаев невелики и при расчетах на прочность не учитываются.

Прочность балки обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых. Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны, опасное сечение то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент.

, (4.1)

где М _max – наибольший изгибающий момент опасного сечения;

W – осевой момент сопротивления данного поперечного сечения.

4.3. Построение эпюр Q и M

 

Пример. Балка на двух опорах, к которой приложены внешние нагрузки (рис. 4.3).

Дано: F= 10 m, q = 2 m /м, a = 4 м. Построить эпюры Q и M.

Решение. Определяем реакции опор из условия статического равновесия балки, т.е. суммы моментов сил относительно правой и левой опоры.

Σ M (F_kx)_B = 0; F ·3 a – R _A·2 a + F · a – F · a + q ·3 a ·1,5· a - q + a² ·0,5 = 0;

10·3·4 – R _A· 2·4 + 10·4 + 2·4·4·0,5 = 0;

R _A =31 m;

Σ M (F_kx)_A = 0; - F ·3 + R_B ·2 a – F · a – q ·3 a ·1,5 a + F · a + q · a ²·0,5 = 0;

-10·3·4 – R _B·2·4 – 10·4 – 2·3·4·1,5·4 + 10·4 + 2·4²·0,5 = 0;

R _B = 31 m.

Проверка: Σ F _y = 0; 31+ 31 – 10 –10 –32 – 32 = 0.

Для упрощения выражений, определяющих Q и M, сечения на первом и втором участках длиной a рассматриваем слева, а на третьем и четвертом участках – справа:

0≤ x ₁≤ a; Q _x1 = - F – qx ₁;

Q _x1 = a = - F – q x₁ – x₁/2; M _x1=0=0;

M _{x1= a} = - F · a – qa · a /2·-10·4·4/2 = -56 m ·м;

M _{x1= a /2}=-10·2 – 2·2·2/2 = -24 m ·м;

 

Y

F R _A F R _B F

I II III IV

 

 

Х

A B

X ₁ X ₂ X ₃ X ₄

Z

a a a a

13 5 18 10

э Q, m

-5

-10 -18 -13

 

э М _z, m м

 

-56 -20 -56

 

Рис. 4.3

 

0≤ х ₂≤ a;

M _x2= - F (a + x ₂) – qa (a /2 + x ₂) + R _A· x ₂ – qx ₂· x ₂/2;

M _x2=0= -10·4 – 2·4·2 = -56 m ·м;

M _{x2= a} = -10·8 – 2·4·6 + 31·4 – 2·4·2 = -20 m ·м;

M _{x2= a /2}= -10·6 – 2·4·4 + 31·2 – 2·2·1 = -34 m ·м;

Q _x2=- F – q · a + R _A – q · x ₂; Q _x2=0= -10 – 2·4 + 31 + 13 m;

Q _x2= -10 – 2·4 + 31 – 2·4 = 5 m ·м;

 

0≤ x ₄≤ a;

Q _x4= F + qx ₄; Q _x4=0= F =10 m;

Q _{x4= a} = 10 + 2·4 =18 m;

M _x4= - F · x ₄ – qx ₄· x ₄/2; M _x4=0= 0;

M _{x4= a} = -10·4 – 2·4·2 = -56 m ·м;

M _{x4= a /2}= -10·2 – 2·2·1 = -24 m ·м;

 

0≤ x ₃≤ a;

Q _x3= F + qa – R _B + qx ₃; Q _x3=0= 10 + 2·4 – 31 = -13 m;

Q _{x3= a} = 10 + 2·4 – 31 + 2·4 = 5 m ·м;

M _x3= - F (a + x ₃) – qa ·(a /2 + x₃) + R_B · x ₃ – qx ₃· x ₃/2;

M _x3=0= -10·4 – 2·4·2 = -56 m ·м;

M _{x3= a} = -10·8 – 2·4·6 + 31·4 – 2·4·2 = -20 m ·м;

M _{x3= a /2}= - 10·6 – 2·4·2 + 31·2 – 2·2·1 = -34 m ·м.

По полученным данным построим эпюры Q и M (см. рис. 4.3).

 

 

Варианты заданий

Задача 1

Определить реакции опор балки (рис. 4.5), поперечные силы Q, изгибающие моменты M; построить эпюры Q и M, если известны нагрузки F, M₀, q и d (табл. 4.1).

Найти размеры поперечного сечения: стальной круглой балки при [σ]=160 МПа (схема a); стальной балки из профильного проката при [σ] =140МПа (схема б). Профиль – двутавр.

Q M ₀

a A B

F

q

б F M ₀

2 d d d

Рис. 4.5

Таблица 4.1

Задача 2

Определить реакции опор балки (рис. 4.6), поперечные силы Q, изгибающие моменты M и построить эпюры Q и M. Найти размеры поперечного сечения: стальной круглой балки при [σ] = 20 МПа (схема а); стальной балки из профильного проката при [σ] = 110 МПа (схема б). Профиль – швеллер. Известны нагрузки F, M ₀, q и a (табл. 4.2).

q M ₀

F

а

q

M ₀

A B

б F

a a a a

Рис. 4.6

Таблица 4.2

Задача 3

Определить реакции опор балки (рис. 4.7), поперечные силы Q, изгибающие моменты M и построить эпюры Q и M. Найти размеры поперечного сечения.

Если известно, что для схемы а используется стальная труба [σ] = 120 МПа и α = d/D = 0,5, a для схемы б – деревянная прямоугольная балкя при [σ] = 9 МПа и в/h = 0,6. Известны н

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте