Алгебра логика. Логические элементы и их реализация.

Алгебра – это раздел математики, предназначенный для описания действий над переменными величинами, которые принято обозначать строчными буквами латинского алфавита – а, b, x, y и т.д. Действия над переменными величинами записываются в виде математических выражений.

 

Термин «логика» происходит от древнегреческого “logos”, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

 

Алгеброй логики называется аппарат, который позволяет выполнять действия над высказываниями.

 

Алгебру логику называют также алгеброй Буля, или булевой алгеброй, по имени английского математика Джорджа Буля, разработавшего в XIX веке ее основные положения. В булевой алгебре высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, X, Y. В алгебре Буля введены три основные логические операции с высказываниями? Сложение, умножение, отрицание. Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций. Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.

 

Логические выражения могут быть простыми и сложными.

 

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

 

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

 

В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

 

• НЕ (логическое отрицание, инверсия);

 

• ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);

 

• И (логическое умножение, конъюнкция).

 

Логическое отрицание является одноместной операцией, так как в ней участвует одно высказывание. Логическое сложение и умножение — двуместные операции, в них участвует два высказывания. Существуют и другие операции, например операции следования и эквивалентности, правило работы которых можно вывести на основании основных операций.

 

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении, например:

 

 

таблица истинности одноместной логической операции состоит из двух строк: два различных значения аргумента — «истина» (1) и «ложь» (0) и два соответствующих им значения функции;

в таблице истинности двуместной логической операции — четыре строки: 4 различных сочетания значений аргументов — 00, 01, 10 и 11 и 4 соответствующих им значения функции;

если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2N строк, так как существует 2N различных комбинаций возможных значений аргументов.

 

 

Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)

 

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

 

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

 

• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

 

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:

 

не А, Ā, not A, А.

 

Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:A не А

0 1

1 0

 

 

Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

 

Приведем примеры отрицания.

 

1. Высказывание «Земля вращается вокруг Солнца» истинно. Высказывание «Земля не вращается вокруг Солнца» ложно.

 

2. Высказывание «Уравнение у = 4х + 3 в промежутке -2 < х < 2 не имеет корня» ложно. Высказывание «Уравнение у = 4х + 3 в промежутке -2 < х < 2 имеет корень» истинно.

 

3. Высказывание «4 — простое число» ложно. Высказывание «4 — не простое число» истинно.

 

Принцип работы переключателя настольной лампы таков: если лампа горела, переключатель выключает ее, если лампа не горела — включает ее. Такой переключатель можно считать электрическим аналогом операции отрицания.

 

 

Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

 

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

 

Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B.

 

Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:A B А или B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

 

 

Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

 

Приведем примеры логического сложения.

 

1. Рассмотрим высказывание «В библиотеке можно взять книгу или встретить знакомого». Это высказывание формально можно представить так: С = А ˅ В, где высказывание А — «В библиотеке можно взять книгу», а В — «В библиотеке можно встретить знакомого». Объединение этих высказываний при помощи операции логического сложения означает, что события могут произойти как отдельно, так и одновременно.

 

2. Рассмотрим высказывание «Знания или везение — залог сдачи экзаменов». "Успешно сдать экзамен может тот, кто все знает, или тот, кому повезло (например, вытянут единственный выученный билет), или тот, кто все знает и при этом выбрал «хороший» билет.

 

Кто хоть однажды использовал елочную гирлянду с параллельным соединением лампочек, знает, что гирлянда будет светить до тех пор, пока цела хотя бы одна лампочка. Логическая операция ИЛИ чрезвычайно схожа с работой подобной гирлянды, ведь результат операции ложь только в одном случае — когда все аргументы ложны.

 

 

Операция И — логическое умножение (конъюнкция)

 

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

 

Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.

 

Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:A B А и B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

 

 

Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

 

Приведем примеры логического умножения.

 

1. Рассмотрим высказывание «Умение и настойчивость приводит к достижению цели». Достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок — умения И настойчивости.

 

Логическую операцию И можно сравнить с последовательным соединением лампочек в гирлянде. При наличии хотя бы одной неработающей лампочки электрическая цепь оказывается разомкнутой, то есть гирлянда не работает. Ток протекает только при одном условии — все составляющие цепи должны быть исправны.

 

Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)

 

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

 

Применяемые обозначения:

 

если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.

 

Таблица истинности:A B А → B

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

 

 

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

 

Приведем примеры операции следования.

 

1. Рассмотрим высказывание «Если идет дождь, то на улице сыро». Здесь исходные высказывания «Идет дождь» и «На улице сыро». Если не идет дождь и не сыро на улице, результат операции следования — истина. На улице может быть сыро и без дождя, например, когда прошла поливочная машина или дождь прошел накануне. Результат операции ложен только тогда, когда дождь идет, а на улице не сыро.

 

2. Рассмотрим два высказывания: А {х делится на 9}, В {х делится на 3}. Операция А → В означает следующее: «Если число делится на 9, то оно делится и на 3». Рассмотрим возможные варианты:

 

■ А — ложно, В — ложно (1-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — ложно, то и В — ложно». Например, х = 4, 17, 22.

 

■ А — ложно, В — истинно (2-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — ложно, то В — истинно». Например, х = б, 12, 21.

 

■ А — истинно, В — ложно (3-я строка таблицы истинности). Невозможно найти такие числа, которые делились бы на 9, но не делились на 3. Истинная предпосылка не может приводить к ложному результату импликации.

 

■ А — истинно, В — истинно (4-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — истинно, то и В — истинно». Например, х = 9, 18, 27.

 

 

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

 

Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.

 

Таблица истинности:A B А↔B

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

 

 

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

 

Приведем примеры операции эквивалентности:

 

1. День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом;

 

2. Добиться результата в спорте можно тогда и только тогда, когда приложено максимум усилий.

 

 

Приоритет логических операций

Действия в скобках

Инверсия

Конъюнкция (&)

Дизъюнкция (V)

Импликация (→)

Эквивалентность (↔)