Розділ. Елементи математичного програмування

Тема 4. Задачі лінійного програмування

4.1. Розв’язати систему графічним методом і по можливості знайти вершини утвореної фігури:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8)

4.2. Розв’язати графічним методом задачі лінійного програмування (x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0):

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15)

4.3. Для виготовлення товару A і B підприємство використовує три види сировини I, II, III. Норми витрат сировини на виробництво одного товару кожного виду, ціна одиниці товару A, B а також загальна кількість сировини наведені в наступній таблиці:

Потрібно організувати випуск даної продукції таким чином, щоб прибуток від її реалізації був максимальним.

4.4. Для виготовлення столів та шаф на підприємстві використовується 2 види деревини. Витрати деревини І виду: на стіл 3м³, на шафу 1м³; витрати деревини ІІ виду: на стіл 2м³, на шафу 4м³. Прибуток підприємства від виробництва одного столі становить 10 грн, а шафи 15 грн. Скільки столів і шаф має виготовити підприємство, щоб забезпечити найвищу рентабельність, якщо в його розпорядженні є 9м³ деревини І виду та 16 м³ деревини ІІ виду?

 

Розділ. Вступ до математичного аналізу.

Тема 5. Функціональна залежність. Елементарні функції.

Границя функції. Неперервність функції.

5.1. Знайти зазначені границі (не користуючись правилом Лопіталя):

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) ;

22) ; 23) ; 24) ;

25) ; 26) ; 27) ;

28) ; 29) ; 30) ;

31) ; 32) ; 33)

5.2. Дослідити функцію на неперервність:

1) у = 2х² – 4х + 5; 2) у = х² + 5х – 1; 3) у = 3х – 2х².

5.3. Дослідити функцію на неперервність в точках і зробити схематичний малюнок:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) у = , х₁ = 0, х₂ = 1; 6) у = , х₁ = 2, х₂ = 3;

7) у = , х₁ = 2, х₂ = 4;

Розділ. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Тема 6. Похідна функції та диференціал. Застосування диференціального числення до дослідження функцій та побудови їх графіків

 

6.1. Знайти похідні даних функцій:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 18)

6.2. Знайти похідні функцій і обчислити їх значення при .

1) ; ; 2) ; ;

3) ; ; 4) ; ;

5) , ; 6) , .

6.3. Знайти похідні неявно заданих функцій:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ;

15)

6.4. Знайти похідні степенево-показникової функції:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12)

6.5. Знайти першу та другу похідні функції, заданої параметрично:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

7) 8) 9)

6.6. Дослідити функцію на монотонність та екстремум:

1) ; 2)

6.7. Дослідити функцію та побудувати її графік:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

6.8. Знайти диференціали функцій:

1) ; 2)

6.9. Тіло рухається прямолінійно по закону , де вимірюється в метрах, а t- в секундах. Знайти швидкість і прискорення тіла в момент .

6.10. Обсяг продукції (ум.од.) цеху на протязі робочого дня представляє функцію , де t - час (годинах). Знайти продуктивність праці через 2 год. після початку роботи.

6.11. Залежність між витратами виробництва y (грошові од.) і обсягом продукції, що виробляється x (од.), виражається функцією . Визначить середні і граничні витрати при обсязі продукції, що дорівнює 5 од.

6.12. Функції попиту g і пропозиції s від ціни p виражаються відповідно рівняннями і . Знайти:

а) рівноважну ціну;

б) еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни;

в) зміну доходу (в процентах) при підвищені ціни на 5% від рівноважної.

 

Розділ. Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Тема 7. Функції багатьох змінних. Екстремуми функцій багатьох змінних

7.1. Знайти область визначення функції . Побудувати таку область:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ;

12) ; 13) ;

14) ; 15)

7.2. Знайти значення функції в точках:

1) , , ;

2) , , , ;

3) , , ;

4) , , ,

7.3. Знайти границю функції:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5)

7.4. Знайти точки розриву наступних функцій:

1) ; 2) ; 3) U = ;

4) U = ln (4 - x² - y²); 5) ; 6)

7.5. Знайти частинні похідні першого порядку:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ;

7.6. Дано . Довести, що .

7.7. Знайти повні диференціали функцій:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9)

7.8. Знайти частинні похідні першого та другого порядку:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8)

7.9. Знайти похідні для даних функцій:

1) , знайти , , ;

2) , знайти , ;

3) , знайти , ;

4) , знайти , ;

5) , знайти ,

7.10. Знайти критичні точки функції:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) z = xy - x² - 2y² + x + 10y – 8; 6)

7.11. Дослідити функцію на екстремум:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14)

7.12. Знайти умовний екстремум функції:

1) при ; 2) при ;

3) при ; 4) при ;

5) при

7.13. Знайти найбільше та найменше значення функції на замкненій області D:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ,

6) , ;

7) , ;

8) ;

9) ;

10)

7.14. Дано . Довести

7.15. Дано . Довести

7.16. Дано . Довести

Розділ. Інтегральне числення

Тема 8.1. Невизначений інтеграл

 

8.1. Знайти невизначений інтеграл:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

8.2. Знайти невизначені інтеграли:

 

	Метод підстановки	Інтегрування частинами	Інтегрування диференційовних функцій
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)
	а)	б)	в)	г)