Свойства неопределенного интеграла

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим занятиям,

индивидуальной и самостоятельной работе

с заданиями для расчетно-графической работы

 

Луганск 2008

 

УДК 681.513:62-50

 

Составители:

 

ЛЕВИ ЛЕОНИД ИССАКОВИЧ, доктор технических наук,

зав. кафедрой физико-математических дисциплин.

 

КОВАЛЬ АНАТОЛИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ, кандидат физико-

математических наук, доцент кафедры физико-математических

дисциплин.

 

 

Интегральное исчисление функций одной переменной. Методические указания и индивидуальные задания к расчетно-графической работе для студентов инженерных специальностей аграрных университетов/ Леви Л.И., Коваль А.В. – Луганск, ЛНАУ, 2008. – 64 с.

 

 

Рецензенты:

 

ГРИБАНОВ В.М., доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой

прикладной математики Восточноукраинского

национального университета им. В. Даля;

 

РЕВЕНКО А.В., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

физико-математических дисциплин Луганского

национального агарного университета.

 

 

Издание рассмотрено и рекомендовано к печати: на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 7 от 23 марта 2008 года);

 

на заседании методической комиссии факультета сельскохозяйственного строительства (протокол № 8 от 19 апреля 2008 года).

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ……………………………… 5

1.1. Определения и свойства ………………………………………. 5

1.2. Таблица основных интегралов ………………………….......... 7

1.3. Основные методы интегрирования …………………………… 8

1.3.1. Метод непосредственного интегрирования ……………….. 8

Решение типовых примеров по Заданию 1 ….................... 8

1.3.2. Метод замены переменной (метод подстановки) ………… 11

Решение типовых примеров по Заданию 2 ……………….. 12

1.3.3. Метод интегрирования по частям ………………………….. 13

Решение типовых примеров по Заданию 3 ………………… 13

1.3.4. Интегрирование рациональных функций ………………..... 14

Решение типовых примеров по Заданию 4 ……………….. 15

1.3.5. Интегрирование простейших иррациональных функций... 17

1.3.6. Интегрирование тригонометрических функций..……….... 19

Решение типовых примеров по Заданию 5. ………………. 21

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ ……. 23

2.1. Формула Ньютона-Лейбница ………………………………… 23

2.2. Замена переменной в определенном интеграле ……………. 23

2.3. Интегрирование по частям ……………………………………. 23

Решение типовых примеров по Заданию 6 ……………….. 23

2.4. Приложения определенного интеграла ……………………… 24

2.4.1. Вычисление площади плоской фигуры ……………………. 24

Решение типовых примеров по Заданию 7 ……………….. 25

2.4.2. Вычисление длины дуги …………………………………….. 27

Решение типовых примеров по Заданию 8 ……………….. 28

2.4.3. Вычисление объемов тел вращения ……………………….. 29

Решение типовых примеров по Заданию 9 ……………….. 29

Решение типовых примеров по Заданию 10 ……………… 31

ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ……..…….. 33

Приложение 1. Номера индивидуальных заданий ……………….. 55

Приложение 2. Таблица производных элементарных функций.. 58

Приложение 3. Формулы по элементарной математике ……….... 59

Приложение 4. Образец титульного листа ………………………... 61

ЛИТЕРАТУРА ……………………………………………………….. 62

 

I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определения и свойства

Пусть дана функция . Необходимо найти такую функцию , производная которой равна , то есть .

Определение 1. Функция называется первообразной от функции на отрезке если во всех точках этого отрезка выполняется равенство .

Например, для функции первообразной будет потому, что .

Всякая непрерывная функция имеет бесконечное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянными слагаемыми, то есть, если есть первообразная от функции , то есть также первообразная от , так как . Здесь произвольная постоянная.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для заданной функции называют неопределенным интегралом и обозначают .

Таким образом, по определению

,

если .

Функцию называют подынтегральной функцией; подынтегральным выражением; постоянной интегрирования.

Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции . Отсюда видно, что интегрирование есть действие обратное дифференцированию.

Правильность интегрирования всегда можно проверить, выполнив обратное действие, т.е. найдя производную функции, получившейся в результате интегрирования. Производная должна быть равна подынтегральной функции.

Таблица основных интегралов

1. , .

В частности, ; ; ; .

2. .

3. . 4. .

5. . 6. ..

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. .

20. .

Справедливость этих формул проверяется дифференцированием.

Основные методы интегрирования

Решение.

.

Проверка.

.

е) 1.6.

Решение.

.

Интегрирование по частям

Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула

. (2.3)

Решение типовых примеров по Заданию 6

6.1. .

Решение.

.

 

Вычисление длины дуги

. Если плоская кривая задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (или , то дифференциал длины дуги определяется по формуле

.

Интегрируя дифференциал дуги в заданных пределах, находим длину дуги

, (2.8)

где .

. Если плоская кривая задана в полярной системе координат уравнением , то дифференциал длины дуги равен

,

а длина дуги определяется по формуле

. (2.9)

где .

 

Решение типовых примеров по Заданию 8

8.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах ; , .

Решение. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением , и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и вычисляется по формуле (2.7)

(кв. ед).

8.2. Найти длину дуги параболы от точки до точки .

Решение. Поскольку , а , то по формуле (2.8) получим

(ед. длины).

При вычислении интеграла воспользовались формулой 24 таблицы основных интегралов.

 

 

8.3. Найти длину дуги кривой ; .

Решение. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах, вычисляется по формуле (2.9).

В нашем случае .

(ед. длины).

ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Задание 1

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования: сведением интеграла к табличному; , пользуясь инвариантностью формулы интегрирования (подведением функции под знак дифференциала).

Результаты проверить путем нахождения произ-водной от полученной функции.

1.1. ; ; ;

; ; .

1.2. ; ; ;

; ; .

1.3. ; ; ;

; ; .

1.4. ; ; ;

; ; .

1.5. ; ;

; ; .

1.6. ; ; ;

; ; .

1.7. ; ; ;

; ; .

1.8. ; ; ;

; ; .

1.9. ; ; ;

; ; .

1.10. ; ; ;

; ; .

1.11. ; ; ;

; ; .

1.12. ; ; ;

; ; .

1.13. ; ; ;

; ; .

1.14. ; ; ;

; ; .

 

1.15. ; ; ;

; ; .

1.16. ; ; ;

; ; .

1.17. ; ; ;

; ; .

1.18. ; ; ;

; ; .

1.19. ; ; ;

; ; .

 

1.20. ; ; ;

; ; .

1.21. ; ; ;

; ; .

1.22. ; ; ;

; ; .

1.23. ; ; ;

; ; .

1.24. ; ; ;

; ; .

1.25. ; ; ;

; ; .

1.26. ; ; ;

; ; .

1.27. ; ; ;

; ; .

1.28. ; ; ;

; ; .

1.29. ; ; ;

; ; .

1.30. ; ; ;

; ; .

Задание 2

Найти неопределенные интегралы методом замены переменной

2.1. . 2.2. . 2.3. .

2.4. . 2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. . 2.9. .

2.10. . 2.11. . 2.12. .

2.13. . 2.14. . 2.15. .

2.16. . 2.17. . 2.18. .

2.19. . 2.20. . 2.21. .

2.22. . 2.23. . 2.24. .

2.25. 2.26. . 2.27. .

2.28. . 2.29. . 2.30. .

Задание 3

Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям

3.1. а) ; б) .

3.2. а) ; б) .

3.3. а) ; б) .

3.4. а) ; б) .

3.5. а) ; б) .

3.6. а) ; б) .

3.7. а) ; б) .

3.8. а) ; б) .

3.9. а) ; б) .

3.10. а) ; б) .

3.11. а) ; б) .

3.12. а) ; б) .

3.13. а) ; б) .

3.14. а) ; б) .

3.15. а) ; б) .

3.16. а) ; б) .

3.17. а) ; б) .

3.18. а) ; б) .

3.19. а) ; б) .

3.20. а) ; б) .

3.21. а) ; б) .

3.22. а) ; б) .

3.23. а) ; б) .

3.24. а) ; б) .

3.25. а) ; б) .

3.26. а) ; б) .

3.27. а) ; б) .

3.28. а) ; б) .

3.29. а) ; б) .