Опред., св-ва и прим. вект-х пр-в.

Опред., св-ва и прим. вект-х пр-в.

Числ-е поле Р – мн-во R или C. Внутр. операции – двум эл-м из L соотв-ет третий из L(x+y=z).Внешн. – каждому x из L и каждому α из Р соотв-ет некоторый эл-т из L(αx=z)/ Мн-во L эл-в x,y,z, … наз-ся лин. пр-вом, если в нём определены внутрен. (x+y) и внешн. (αx) опер. удовл-щие аксиомам:

1.x+y=y+x, "x,yєL;

2.(x+y)+z=x+(y+z), "x,y,zєL;

3.$ нейтр-ный эл-т x "x є L;

4.x є L $ -xє L: x+(-x)=

5.α(x+y)=αx+αy "x, y є L; α,βєP;

6.(α+β)x=αx+βx "x є L; α,βєP;

7.α(βx)=(αβ)x "x є L; α,βєP;

8.1*x=x "x є L.

Св-ва лин. пр-ва

1.В лин. пр-ве L над полем P $ ед-ный нейтр. эл-т. (пусть $ и , )

2." xєL ед-ный –xєL(пусть $ -x и , тогда x+(-x)= , x+ = ; ).

3.0*x= x є L();

4.(-1)x=-x "x є L().

Примеры:

Эл-ты любой природы,удовл-щие двум правилам и 8 аксиомам.Напр., совок-ть любых матриц mxn c действит. эл-тами(P=R). Мн-во свободных векторов трёхмерного пр-ва – L, P=R. Лин. пр-во наз-ся пустым,если состоит из нулевого эл-та.

 

Лин-я зависимость системы векторов.

, , …, (1) – заданные в-ры из L. Система (1) лин. зависима, если сущ-ет ненулевой набор чисел , (не все =0): = (2) Система наз-ся лин. независимой, если рав-во (2) возможно только в том случае, когда все =0.

Пр.1 L=C; P=R; , =i; , . 1*1+i*i=0 Пр.2Возьмём L=C; P=R; =i; + =0 <=> ,

Св-ва

1 Система (1) сод-т 0 вектор, то она лин. зависима(; l₁=…=l_n-1=0, l_n=1; 0*a₁+…+0*a_n-1+1* = ).

2 Система (1) сод-т лин. зависимую подсистему, то и сама система лин. зависима.

3 Система линейно зависима, то по крайней мере 1 из векторов этой системы выр-ся в виде лин. комбинации остальных векторов.

4 Пусть система (1) лин. независима а набор , , …, лин. зависим, тогда x можно выразить через векторы (1).

 

Базис лин. пр-ва, размерность. Коорд-ты.

Базисом в пр-ве L над полем Р наз-ся система в-ров (1), удовл-я усл-ям:

1Система (1) лин. независима;

2"xϵL $ : x=α₁a₁+α₂a₂+…+α_na_n(2)

Коорд. в-ра х в базисе (1) – числа (α_iϵP), удовл-щие усл-ю (2)

Св-ва:

1Если коорд. вектора в некотором базисе =0,то это нулевой вектор.

2 во всяком базисе имеет нулевые коорд.

3Коорд. в-ров в заданном базисе определяются однозначно.

4 При сложении векторов их коорд. заданные в одном и том же базисе складываются.

5При умножении вектора на число, его коорд. умн-ся на число.

Число k наз-ся размерностью лин. пр-ва L, если в L сущ-ет система из k лин. независимых векторов, а любая система из k +1 вектора — лин. зависима.

Обозначается dim L = k. Пр-во L наз-ся k -мерным. Иногда обозначается L _k.

 

Матрич.запись коо вект-в, изм. коо при замене базиса

Вект. х(λ₁,..,λ_n) в некот.базисе (е₁,..,е_n).обозначим Х=(λ₁,..,λ_n)^Т и [e]= (е₁,..,е_n), эл-ми явл. базисн. вект.

Тогда вект. Х можно предст. след.обр. х=[e]Х=х₁е₁+..+ х_nе_n т.е это разлож. вектора х по базису.

Т. для того, чтобы вект. х₁, х₂,.., х_п были лин.зав. необх. и дост., чтобы коо-столбцы этих вект. В некот. Базисе были лин.зав.

Т. матричн.критерий. для того,чтобы вект. Были лин.зав., необх и дост, чтобы матрица, сост. из коо. Столбцов этих вект. В некот.базисе была меньше числа вект.

Преобр.базисов и коо. Пусть им-ся 2 базиса[e]=[е₁,..,е_n], [e’]=[е₁’,..,е_n’]в одном пр-ве L над P.выразим коо штрих. базиса ч/з коо нештрих.

коо в нештрих.базисе штрих-го. Матрица Т наз-ся матрицей перехода от [e]к[e’] [e’]=[e]T. – связь между двумя базисами

Св-ва матрицы перех:

1.матрица перех. Опр-ся однозначно. Это след-ет из одно-ти разлож. Вект-в по бизасу.

2. матрица перех. невырожденн. Это след-ет из матричн.критерия лин.зав-ти вект-в.

3. матрица перех. от базиса [e]к[e] единичная

4. пусть Т-матрица перех.от [e]к [e’]. А матрица Q от [e’]к [e’’].Тогда матрица перех от [e]к [e’’] будет TQ.

5. если Т-матрица перех. от [e]к [e’],то T^-1есть матрица перех. от[e’] к [e].

Преобр. коо вект-в при перех. К новому базису

Псть даны базисы [e], [e’] и матрица Т, т.е. [e’]=[e]T. Возьмем произв.вектор х и его можно предст. х=[e]Х=[e’]Х’; [e]Х=[e]TХ’=> поск-ку коо вект-ра в данном базисе опр-ся однозначно X=TX’

Матрица лин. оп-ра. Изменение матр. оп-ра при замене базиса.

- преобразователь пр-ва. Пусть - базис (1)

(2)

[

(2’)

Матр. А, удовлетворяющая рав-ву (2’) наз-ся матр. лин. оп-ра в базисе (1).

Матр. лин. оп-ра в баз. (1) – матр., столбцами которой явл-ся коорд. столбцы образов базисных вект. в этом же баз.

Рассмотрим мн-во всех лин. оп-ров, кот. действуют из . Каждому лин. оп-ру ставится в соответств. в заданн. баз. некоторая матр. М. В данном баз. можно установить взаимнооднозначн. соответств. между матриц., действующ. из .

Связь между коорд. вект. и его образом в заданн. баз.

. Пусть , где - коорд. столб.

[

= = .

Изменение матр.лин. оп-ра при измен. баз. Пусть (1) и (2)- два базиса в пр-ве . и - соотв. матр. оп-ра в соотв. баз. (1) и (2), тогда

. (3)

Матр. и , связанные рав-вом (3), где Т- невырожд. матр., наз-ся подобными.

Т.2. Подобные матр. имеют равные определители.

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ПРИМЕРЫ

ОПР: скалярное произведение двух векторов а и b в линейном пространстве L над полем Р - действительное число. Обозначается (а, b) и удовлетворяет следующим аксиомам:

1 (а, b) = (b, а) для любого а, b принадлежащего L

2 ((а + b), с) = (а, с) + (b, с) для любых а,b,c принадлежащих L

3 ((α a), b) = α (а, b)для любого а, b принадлежащего L, для любого α принадлежащего R

4 (а, а) ≥ 0, (а, а)= 0 в том и только том случае, если а = 0

Следстивие 1: для любых а,b,c принадлежащих L (а, (b + с)) = (а, b) + (a, с)

Доказательство:

(а, (b + с)) = 1)= ((b + с), а)= 2)= (b, а) + (с, а) = 1)= (а, b) + (a, с) чтд

Следствие 2:для любого а, b принадлежащего L, для любого α принадлежащего R

(а, α b) = α (а, b)

Следствие 3.

Пример.

Опред. Линейное пр-во L над полем R наз Евклидовым, если в нём определена операция скалярного произведения.

Замечание. В пр-ве L над полем С также может быть введено понятие скалярного произведения, в соответствие ставится комплексное число(такое пр-во наз комплексным Евклидовым или унитарным) и изменяется 1-я аксиома /

Т. В любом Евклидовом пр-ве справедливо нер-во Каши-Буняковского

Следствие.

 

Опред., св-ва и прим. вект-х пр-в.

Числ-е поле Р – мн-во R или C. Внутр. операции – двум эл-м из L соотв-ет третий из L(x+y=z).Внешн. – каждому x из L и каждому α из Р соотв-ет некоторый эл-т из L(αx=z)/ Мн-во L эл-в x,y,z, … наз-ся лин. пр-вом, если в нём определены внутрен. (x+y) и внешн. (αx) опер. удовл-щие аксиомам:

1.x+y=y+x, "x,yєL;

2.(x+y)+z=x+(y+z), "x,y,zєL;

3.$ нейтр-ный эл-т x "x є L;

4.x є L $ -xє L: x+(-x)=

5.α(x+y)=αx+αy "x, y є L; α,βєP;

6.(α+β)x=αx+βx "x є L; α,βєP;

7.α(βx)=(αβ)x "x є L; α,βєP;

8.1*x=x "x є L.

Св-ва лин. пр-ва

1.В лин. пр-ве L над полем P $ ед-ный нейтр. эл-т. (пусть $ и , )

2." xєL ед-ный –xєL(пусть $ -x и , тогда x+(-x)= , x+ = ; ).

3.0*x= x є L();

4.(-1)x=-x "x є L().

Примеры:

Эл-ты любой природы,удовл-щие двум правилам и 8 аксиомам.Напр., совок-ть любых матриц mxn c действит. эл-тами(P=R). Мн-во свободных векторов трёхмерного пр-ва – L, P=R. Лин. пр-во наз-ся пустым,если состоит из нулевого эл-та.