Арсланов Ф. Х. , гарифьянов Ф. Н. , гимадиев Р. Ш. , григорян С. А. , желифонов М. П. , липачева Е. В. , никитин А. С. , хамзин А. А.

УДК 517.445

ББК 22.161

Э 45

Арсланов Ф.Х., Гарифьянов Ф.Н., Гимадиев Р.Ш., Григорян С.А., Желифонов М.П., Липачева Е.В., Никитин А.С., Хамзин А.А.

 

Элементы теории операционного исчисления. Казань: Каз. гос. энерг. ун-т, 2006.

 

Учебное пособие включает краткие теоретические сведения по теме «Операционное исчисление». Вводится преобразование Лапласа, доказываются теоремы подобия, смещения, запаздывания. Вычисляются изображения основных элементарных функций. Рассматриваются простые приемы отыскания оригинала по изображению и основные правила дифференцирования и интегрирования оригиналов и изображений.

Предназначено для первичного знакомства студентов технических специальностей с базовыми понятиями и основными моментами теории операционного исчисления и приобретения ими практических навыков вычислений эти методом. Назначение учебного пособия - базовые конспекты лекций, на основе которых преподаватели кафедры «Высшая математика» КГЭУ организуют свои лекционные курсы по теории операционного исчисления.

_____________________________________

 

Рецензенты

 

Д-р. физ. – мат. наук, проф. КГТУ (КХТИ) В.А. Жихарев

Д-р. физ. – мат. наук, проф. КГЭУ В.Н Шарифуллин

 

Рекомендовано секцией РИС института электроэнергетики и электроники

Председатель секции В.Л.Матухин

 

ISBN

© Казанский государственный энергетический университет, 2006

© Арсланов Ф.Х., Гарифьянов Ф.Н., Гимадиев Р.Ш., Григорян С.А., Желифонов М.П., Липачева Е.В., Никитин А.С., Хамзин А.А., 2006

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Пусть функция f (t)обладает следующими свойствами: 1⁰ f (t) 0при t < 0; 2⁰ | f (t)| < M при t > 0, где М > 0, т.е. f (t) возрастает не быстрее некоторой экспоненты и s ₀ – показатель роста функции; 3⁰ На любом промежутке [ a, b ]положительной полуосивыполняются условия Дирихле – функция кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов и точек разрыва I рода.

Такие функции наз. изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Запишем интеграл

= F (p)(1)

 

где p = s + iq - комплексная переменная. При s и F (p) 0. При указанных условиях он сходится и наз. интегралом Лапласа, а функция F (p) наз. изображением оригинала. Переход от f (t) к F (p) наз. преобразованием Лапласа и обозначается f (t) =: F (p) или F (p) =: f (t). Для значения f (t) в точке разрыва t ₀ выбирают f (t ₀) = ½ [ f (t ₀ - 0) + f (t ₀ + 0)]. При этих условиях между f (t) и F (p) существует взаимно – однозначное соответствие.

Смысл преобразования – многим операциям над оригиналами соответствуют более простые операции над изображениями. Например, решение дифференциальных и интегральных уравнений может существенно упроститься.

 

Нахождение изображений

Вычислим изображение единичной функции и экспоненты

Пр.1 ( t ) = , ( t ) =: = = ,

Re p > 0

Пр.2 = , =: = = ,

Re p > a = s ₀

 

Свойство линейности. Т.к. интеграл от суммы функций равен сумме интегра-лов, то линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбина-ция изображений.

С ₁ f ₁(t) + С ₂ f ₂(t) =: С ₁ F ₁(p) + С ₂ F ₂(p)

 

Из формулы Эйлера e^it = cos t + i sin t имеем соs t = ½(e^it + e^-it), sin t = ½ i (e^it - e^-it) и для оригиналов этих функций вычислим изображения

Пр.3 f (t) = cos t = ½(e^it + e^-it) =: ½ [ ] =

Пр.4 f (t) = sin t = ½ i (e^it - e^-it) =: 1/2 i [ ] =

Пр.5 f (t) = t =: = = + = = . f (t) = t ² =: = = + + = = . Аналогично имеем t ³ =: ,

t ⁴ =: ,... и получаем tⁿ =: .

Теоремы подобия, смещения, запаздывания

Теорема подобия. Дополнительное умножение аргумента t в оригинале на число а R, a > 0 приводит в изображении к уменьшению в а раз параметра p и самого изображения,

f (аt) =: F (). (2)

Доказательство.

f (аt) =: = = =

= = = F ()

Пр.6 sin at =: = ; cos at =: =

Теорема смещения. Переход в изображении от p к (p + z), где z комплексное число, причем Re (p + z) > s ₀, приводит к дополнительному умножению оригинала на экспоненту e^-zt

F (p + z) =: e^-zt f (t) (3)

Доказательство.

e^-zt f (t) =: = = F (p + z)

Пр.7 e^zt sin at =: ; e^zt cos at =:

Теорема запаздывания. Уменьшение параметра t в оригинале на величину > 0 приводит к дополнительному умножению изображения на экспоненту

f (t - ) ( t- ) =: F (p) (4)

Доказательство.

f (t - ) ( t- ) =: = +

+

Первый интеграл равен 0, т.к. ( t- ) = 0 при t < , во втором интеграле ( t- ) = 1 при

f (t - ) ( t- ) =: = =

= = F (p)

Пр.8 (t - ) =: и (t – a) (t - а) =: с учетом Пр. 5.

 

Таблица изображений

№	f (t) при t >0	F (p)	№	f (t) при t>0	F (p)
				t cos at
				t sin at
	eat
	cos at
	sin at
	ezt cos at
	ezt sin at
	eat

Свертка функций

Опр. Сверткой функций f ₁(t) и f ₂(t) наз. интеграл от произведения этих функций f ₁(t)* f ₂(t). Перестановка функций не меняет значения свертки.

Теорема о свертке Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений, т.е. если f ₁(t) =: F ₁(p), f ₂(t) =: F ₂(p), то

 

f ₁(t)* f ₂(t) =: F ₁(p) F ₂(p)(14)

 

Доказательство.Обе части формулы преобразований Лапласа F ₁(p) = умножим на F ₂(p): F ₁(p) F ₂(p) = . По теореме запаздывания (4) =: f ₂(t - ) или = = , где t > . Тогда F ₁(p) F ₂(p) = = =: , т.к. при > t f ₂(t - ) = 0 по 1⁰ свойству оригинала.

 

Пр.18 Найти оригинал изображения F (p) = .

Решение 1. Имеем произведение изображений двух функций t и e^at. Поэтому оригинал равен свертке этих функций f (t) = t* e^at = = t - = J ₁ - J _2,

J ₁ = t = t - ; J ₂ = = =

= - = t - + . Ответ f (t) = - - .

Решение 2. Представим изображение в виде суммы простейших дробей: F (p) = = + + , тогда Ap (p – a) + B (p – a) + Cp ² = 1

p ² | A + C = 0 A = - 1/ a ²

p ¹ | - aA + B = 0 B = -1/ a По формулам № 1, 2, 3 получаем оригинал

p ⁰ | - aB = 1 C = 1/ a ² f (t) = - - +

 

Базовые конспекты лекций

 

(Кафедра «Высшей математики» КГЭУ)

Редактор издательского отдела Н.А. Артамонова

Компьютерная верстка Н.А. Артамонова

 

Изд. лиц. ИД № 03480 от 08.12.00. Подписано в печать

Формат 60х84/16. Гарнитура «Times». Вид печати РОМ.

Физ. печ. л. Усл. печ. л. 1,1 Уч.-изд. л.

Тираж 500 экз. Заказ №

 

Издательский отдел КГЭУ

420066, Казань, Красносельская, 51

 

Типография КГЭУ

420066, Казань, Красносельская, 51

УДК 517.445

ББК 22.161

Э 45

Арсланов Ф.Х., Гарифьянов Ф.Н., Гимадиев Р.Ш., Григорян С.А., Желифонов М.П., Липачева Е.В., Никитин А.С., Хамзин А.А.

 

Элементы теории операционного исчисления. Казань: Каз. гос. энерг. ун-т, 2006.

 

Учебное пособие включает краткие теоретические сведения по теме «Операционное исчисление». Вводится преобразование Лапласа, доказываются теоремы подобия, смещения, запаздывания. Вычисляются изображения основных элементарных функций. Рассматриваются простые приемы отыскания оригинала по изображению и основные правила дифференцирования и интегрирования оригиналов и изображений.

Предназначено для первичного знакомства студентов технических специальностей с базовыми понятиями и основными моментами теории операционного исчисления и приобретения ими практических навыков вычислений эти методом. Назначение учебного пособия - базовые конспекты лекций, на основе которых преподаватели кафедры «Высшая математика» КГЭУ организуют свои лекционные курсы по теории операционного исчисления.

_____________________________________

 

Рецензенты

 

Д-р. физ. – мат. наук, проф. КГТУ (КХТИ) В.А. Жихарев

Д-р. физ. – мат. наук, проф. КГЭУ В.Н Шарифуллин

 

Рекомендовано секцией РИС института электроэнергетики и электроники

Председатель секции В.Л.Матухин

 

ISBN

© Казанский государственный энергетический университет, 2006

© Арсланов Ф.Х., Гарифьянов Ф.Н., Гимадиев Р.Ш., Григорян С.А., Желифонов М.П., Липачева Е.В., Никитин А.С., Хамзин А.А., 2006

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Пусть функция f (t)обладает следующими свойствами: 1⁰ f (t) 0при t < 0; 2⁰ | f (t)| < M при t > 0, где М > 0, т.е. f (t) возрастает не быстрее некоторой экспоненты и s ₀ – показатель роста функции; 3⁰ На любом промежутке [ a, b ]положительной полуосивыполняются условия Дирихле – функция кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов и точек разрыва I рода.

Такие функции наз. изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Запишем интеграл

= F (p)(1)

 

где p = s + iq - комплексная переменная. При s и F (p) 0. При указанных условиях он сходится и наз. интегралом Лапласа, а функция F (p) наз. изображением оригинала. Переход от f (t) к F (p) наз. преобразованием Лапласа и обозначается f (t) =: F (p) или F (p) =: f (t). Для значения f (t) в точке разрыва t ₀ выбирают f (t ₀) = ½ [ f (t ₀ - 0) + f (t ₀ + 0)]. При этих условиях между f (t) и F (p) существует взаимно – однозначное соответствие.

Смысл преобразования – многим операциям над оригиналами соответствуют более простые операции над изображениями. Например, решение дифференциальных и интегральных уравнений может существенно упроститься.

 

Нахождение изображений

Вычислим изображение единичной функции и экспоненты

Пр.1 ( t ) = , ( t ) =: = = ,

Re p > 0

Пр.2 = , =: = = ,

Re p > a = s ₀

 

Свойство линейности. Т.к. интеграл от суммы функций равен сумме интегра-лов, то линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбина-ция изображений.

С ₁ f ₁(t) + С ₂ f ₂(t) =: С ₁ F ₁(p) + С ₂ F ₂(p)

 

Из формулы Эйлера e^it = cos t + i sin t имеем соs t = ½(e^it + e^-it), sin t = ½ i (e^it - e^-it) и для оригиналов этих функций вычислим изображения

Пр.3 f (t) = cos t = ½(e^it + e^-it) =: ½ [ ] =

Пр.4 f (t) = sin t = ½ i (e^it - e^-it) =: 1/2 i [ ] =

Пр.5 f (t) = t =: = = + = = . f (t) = t ² =: = = + + = = . Аналогично имеем t ³ =: ,

t ⁴ =: ,... и получаем tⁿ =: .