Оптимизация загрузки оборудования с использованием математического метода

 

Решение управленческих задач оптимальной загрузки оборудования рассмотренным методом относится к числу упрощенных с точки зрения ограниченного объема использованной информации и вычислительных приемов. Для решения задачи использована информация: типы хлебопекарных печей, сорта вырабатываемого хлеба, издержки производства на 1 т.

Но в практике возникает необходимость учитывать многие другие показатели, оказывающие существенное влияние на оптимизацию загрузки оборудования. В этом случае увеличивается объем необходимой информации и усложняется вычислительный процесс.

Если к той информации, которая была использована, добавить: суточную производительность каждой печи, фонд рабочего времени в расчетном периоде, объемы выработки хлеба каждого сорта в этом же периоде, то объем вычислительной работы по решению задачи значительно возрастает.

Перечисленная дополнительная информация представлена в таблице 4.5. Цель решения задачи прежняя, то есть распределить выработку хлеба разных сортов между печами разных систем так, чтобы суммарные издержки были минимальными. Решение этой задачи точными математическим методом предполагает преобразование имеющейся информации.

Преобразование информации. Производительность, представленная в клетках таблицы, выражена количеством выпускаемого хлеба (в т) каждого сорта и каждой печью в сутки - например, печь П₁ вырабатывает хлеба М₃ 12,0 т за день (сутки). Показатели клеток таблицы отражают производительности печей уровни, которое изменяются в определенном соотношении. Например, производительности печей П₁ и П₂ относятся как 1,0 к 1,5. Соотношения производительности имеют и остальные печи. При этом одно и то же соотношение производительности печей сохраняется при производстве всех сортов хлеба. Например, производительность П₂ на 50% выше производительности П₁ при выпечке каждого сорта хлеба.

 

Таблица 4.5

	Сорта хлеба и потребности (т)
Системы печей и	М1	М2	М3	М4
время их работы (дней)					Индексы
П1		13,0	15,0	12,0	11,0	1,0^х)
П2		19,5	---	18,0	16,5	1,5
П3		26,0	---	24,0	22,0	2,0

х) стандартная печь

 

Имея такие показатели, можно производительности всех печей выразить производительностью одной какой-нибудь условно выбранной печи, использовав для этого величины соотношений. Выбранная печь в этом случае именуется стандартной, а уровень производительности ее выражается индексом, равным 1,0. В нашем примере за стандартную печь удобно принять П₁, на ней вырабатывается хлеб всех сортов и величина производительности удобна для сопоставлений. С производительностью П₁ сравнивается производительность каждой печи и полученный индекс проставляется в соответствующей строке (табл.4. 5).

Полученные индексы производительности печей позволяют реальный фонд рабочего времени перевести в рабочее время стандартной печи, которое в сумме составит 127 дней, вместо 86 дней (табл. 4.6)

Таблица 4.6

Система печи	Фонд рабочего времени	Индекс	Фонд рабочего времени стандартной печи
П1		1,0
П2		1,5
П3		2,0
Итого

 

На следующем этапе можно через производительность стандартной печи выразить заданные объемы производства каждого сорта хлеба количеством дней работы этой печи. Например, выпуск хлеба сорта М₁ равен 520 т в месяц, производительность стандартной печи составит 40 дней (520:13,0). Расчеты потребных дней работы стандартной печи на выпуске каждого сорта хлеба приведены в табл.4.7.

 

Таблица 4.7

 

Сорт хлеба	Потребность в хлебе	Производительность стандартной печи	Потребность в днях работы стандартной печи
М1		13,0
М2		15,0
М3		12,0
М4		11,0
		Итого

 

Сравнивая имеющийся фонд рабочего времени стандартной печи с потребностью в нем для производства заданных объемов хлеба, видим, что фонд времени работы стандартной печи превышает потребность в нем на 4 дня (127-123). Фонд времени печей и потребности в нем для производства 4-х сортов хлеба показаны в таблице 4.8. В ней по столбцу Ф отражены 4 дня для баланса итогов строк и столбцов, в которых в днях работы стандартной печи показаны имеющийся фонд времени и потребность в нем для производства хлеба.

 

Таблица 4.8

	Сорт хлеба и его потребности в стандартных пече-днях
Фонд времени	М1	М2	М3	М4	Ф
стандартной печи
П1
П2			---
П3			---

 

В этой же таблице в клетках проставлены издержки производства за 1 день работы стандартной печи при выпуске 4-х сортов хлеба. Эти издержки, которые назовем элементами клеток, рассчитаны следующим образом.

Нам известны издержки производства на 1 тонну хлеба при выпуске на каждой печи каждого сорта хлеба (см. стр.) и суточная производительность стандартной печи. Умножив первый показатель на второй, получим издержки производства в сутки работы стандартной печи. Издержки производства по столбцу Ф (фиктивный продукт) принимаются нулевыми. Издержки производства рассчитаны в таблице 4.9.

 

Таблица 4.9

Сорт хлеба	Система печи	Издержки на стандартный пече-день
	П1	12 * 13,0 = 156
М1	П2	14 * 13,0 = 182
	П3	11 * 13,0 = 143
М2	П1	11 * 15,0 = 165
	П1	13 * 12,0 = 156
М3	П2	15 * 12,0 = 180
	П3	14 * 12,0 = 168
	П1	13 * 11,0 = 143
М4	П2	16 * 11,0 = 176
	П3	14 * 11,0 = 154

 

Составление исходного плана. Информация задачи, содержащаяся в таблице 4.8, полностью готова для решения ее одним из математических методов. Для получения исходного плана распределение начинаем с первого столбца. В нем наименьший элемент (издержки производства) имеет клетки П₃-М₁, в нее записывается максимально возможное число - 40.

Во втором столбце всего одна клетка П₁-М₂, в которую записывается число 17. Затем дни работы стандартной печи записываются последовательно в остальных столбцах. Превышение имеющегося фонда над потребностью отражено в клетке П₂-Ф. Исходный вариант распределения приведен в таблице 4.10.

Исходное распределение выпуска хлеба между печами является допустимым, так как он удовлетворяет итогам по каждой строке и по каждому столбцу.

Суммарные издержки производства по этому плану можно получить, умножив записанные в клетки дни работы стандартной печи на соответствующие им издержки производства.

F=17 _* 165+13 _* 156+21 _* 180+20 _* 176+40 _* 143+12 _* 154=19701 руб.

 

Таблица 4.10

	Сорт хлеба и потребности
Системы печей	М1	М2	М3	М4	Ф	Потенциалы
и фонд времени						строк
П1
П2			---
П3			---			-22
Потенциалы столбцов					-24

 

Проверка плана на оптимальность. Когда исходный план составлен, необходимо определить, является ли он оптимальным? Проверка исходного плана на оптимальность проводится с применением алгоритма одного из аналитических методов распределения. В нашей задаче для проверки плана на оптимальность использован метод потенциалов, который применяется при решении транспортных задач. Процедура проверки плана (табл. 4.10) следующая:

1. Для первой строки условно принимается потенциал, равный нулю. По заполненным клеткам этой строки определяются потенциалы столбцов М₂ и М₃. Потенциал столбца М₂ равен элементу клетки П₁-М₂ минус потенциал строки П₁, то есть 165-0=165, для столбца М₃: 156-0=156. По заполненной клетки столбца М₃ определяем потенциал строки П₂, он равен 180-156=24, далее потенциалы столбцов М₄ и Ф соответственно равны 176-24=152 и 0-24=-24. По клетке П₃-М₄ определяем потенциал строки П₃(154-152), а по элементу клетки П₃-М₁ находим потенциал столбца М₁, равный 143-2=141.

Определив по элементам-издержкам заполненных клеток потенциалы всех строк и столбцов, необходимо убедиться в том, что количество заполненных клеток должно равняться количеству строк (m) плюс количество столбцов (n) минус единица, то есть m+n-1. В нашем примере m=3, n=5, количество заполненных клеток должно быть 3+5-1=7.

Если в процессе заполнения клеток оказалось больше чем требуется, это означает, что заполнение клеток первоначально выполнено неправильно и его надо повторить. При правильном заполнении клеток их может оказаться меньше, чем требуется, в этом случае дополнительные клетки для определения потенциалов заполняются нулевой величиной и считаются как заполненные.

2. Для свободных клеток рассчитываются суммы потенциалов и проставляются в нижнем левом углу.

В каждой клетке сумма потенциалов сравнивается с величиной элемента (издержками производства). Это сравнение позволяет определить, является ли исходный план оптимальным или нет. Если в плане имеются клетки, у которых сумма потенциалов выше величины элемента, то возможно дальнейшее улучшение. В плане сумма потенциалов превышает элемент в клетке П₁-М₄. План улучшится, если эта клетка будет заполнена. Чтобы заполнить эту клетку, необходимо построить прямоугольный контур перераспределения, который включает только заполненные клетки. Заполнив свободную клетку, по контуру в заполненных клетках производится перераспределение, показанное в таблице 4.11.

 

Таблица 4.11

 

	Сорт хлеба в потребности
Системы печей	М1	М2	М3	М4	Ф	Потенциалы
и фонд рабочего времени дней						строк
П1						-33
П2			---
П3						-22
Потенциалы столбцов					-33

 

 

Суммарные издержки производства плана после заполнения клетки П₁-М₄ составили:

F=17_*165+13_*143+34_*180+7_*176+40_*143+12_*154=19584 р.

Улучшение плана по сравнению с исходным выразилось в снижении издержек производства на 117 руб (19701-19584).

3. Процесс расчета потенциалов и их суммы для свободных клеток нового плана выполняется в том же порядке и по тем же правилам. В полученном плане (табл. 4.11) во всех свободных клетках величина элемента превышает сумму потенциалов, следовательно, получен оптимальный план распределения стандартных дней работы печей.

4. Получив оптимальный план, производится обратный пересчет стандартных дней работы печей в первоначальные реальные показатели фонда рабочего времени для каждой печи и выпуска каждого сорта хлеба.

Фактические дни работы печей определяются делением стандартных пече-дней на соответствующие индексы. Например, для печи П₃ количество фактических дней работы будет равно по выпуску хлеба М₁: 40/2,0=20; М₂: 17/1=17; М₃: 34/1,5=22,67 и т.д. (табл. 4.12)

Для определения количества выпускаемой продукции каждого сорта хлеба на каждой печи надо умножить число фактических дней работы ее на реальную суточную производительность. Например, выпуск хлеба М₂ на П₁ должен составить 17_*15=255 т. Обратный пересчет стандартных величин в первоначальные показатели приведен в таблице 4.13.

 

Таблица 4.12

Сорт хлеба	Системы печей	Кол-во стандартных дней	Индекс	Кол-во факти-ческих дней	Суточ-ная производи-тельность (т)	Запланирован-ный выпуск (т)	Потреб-ности (т)
М1	П3		2,0	20,00	26,0
М2	П1		1,0	17,00	15,0
М3	П2		1,5	22,67	18,0
	П1		1,0	13,00	11,0
М4	П2		1,5	4,67	16,5
	П3		2,0	6,00	22,0
Ф	П2		1,5	2,67	---	---	---

 

 

Месячное задание по выпуску продукции для печей хлебозавода будет иметь вид, показанный в таблице.

 

Таблица 4.13

		Сорт	хлеба		Время	работы (дней)
Системы печей	М1	М2	М3	М4	Требуется	Имеется
П1
П2			22,67	4,67	27,33
П3

 

Анализ результатов решения

Произведенный расчет загрузки печей является важным документом оперативно-производственного планирования. На его основе можно установить:

Какое распределение выпуска хлеба по системам печей при достигнутой производительности и сложившемся уровне затрат обеспечивает наименьшую сумму издержек производства.

Соответствуют ли производственные возможности предприятия запланированному объему выпуска продукции.

Имеются ли на предприятии резервы рабочего времени у печей, и если есть, то к какой печи (или печам) они относятся. В нашем расчете печь П₂ имеет резерв времени 2,67 дня (30-27,33).

Кроме этого из расчета можно увидеть, что перевод печи П₃ на непрерывную рабочую неделю (без выходных дней), позволяющий увеличить рабочий период на 4 дня, может обеспечить дополнительное снижение издержек производства. Точная величина этого снижения определяется расчетным путем исходя уже из другого фонда стандартных дней работы печи П₃.

Изложенный способ решения задач оптимальной загрузки печей и других машин очень полезен, но для его применения задача должна иметь соответствующие условия. Чтобы можно было выражать реальные показатели в стандартных единицах (машино-часах, машино-днях и т.п.), необходимо иметь одно и то же соотношение производительности машин для всех видов продукции. В нашей задаче такое соотношение соблюдалось строго. Производительность каждой печи имела одинаковое соотношение к производительности стандартной печи по выпуску всех сортов хлеба.

Если в задаче соотношения производительностей машин по выработке некоторых видов продукции нарушены, то можно попытаться представить производительности машин в приближенном виде. В этом случае приближение показателей для установления практически пригодных соотношений должно соответствовать реальной действительности.

Для решения производственно-экономических задач, в которых соотношения в производительности разных машин при выпуске разной продукции отсутствуют, применяются другие способы распределения и проверки его на оптимальность. Одним из таких способов является так называемый ламбда-алгоритм (ламбда-метод). Если рассмотренный в предыдущем параграфе способ распределения предусматривает преобразование исходной информации до расчета, то при использовании ламбда- алгоритма все операции преобразования реальных показателей выполняется в процессе решения.

 

 

Тесты

1. Модели подразделяютя на …

1. модели конвейеров, поточных линий, производственных процессов;

2. физические, геометрические, математические;

3. автоматов, структурных подразделений.

2. Экономико-математическая модель …

1.отображает свойства и особенности предмета, воспроизводит внешний вид;

2. воспроизводит размеры объекта, отображает формы предметов, воспроизводит связи составных элементов;

3. отображает количественные зависимости между параметрами, характеризующими состояние и динамику того или иного экономического процесса.

3. Уравнение линейного тренда …

1. ў_t =a t+ bt²;

2. ў_t =a+ bt;

3. ў_t =а t+ b t²+с t.

3. Использование способа наименьшего элемента матрицы…

1. в первую очередь выбирается наименьший элемент по строке, затем выбирается наименьший элемент по столбцу;

2. в первую очередь выбирается наименьший элемент по строке и перебираются строки;

3. выбирается минимальный элемент матрицы независимо от того, где он находится.

3. Тренд – это…

1. совокупность значений ŷ_t, выражающих тенденцию развития признака во времени;

2. совокупность значений ŷ_t, выражающих линейную зависимость;

3. совокупность значений ŷ_t, подчиняющихся нормальному закону распределения.

3. Параметры прогнозирующей функции a и b определяются с помощью…

1. метода скользящей средней;

2. методов оптимизации;

3. метода наименьших квадратов.

3. В транспортной задаче работа измеряется…

1. в денежных величинах;

2. в тонно-километрах;

3. в единицах измерения расстояния.

3. По степени формализации методы прогнозирования делятся на две группы…

1. методы экстраполяции и методы моделирования;

2. интуитивные и формализованные;

3. комбинированные и фактографические.

3. Методы с помощью которых решается транспортная задача относятся…

1. к экспертным методам;

2. к методам оптимизации;

3. к статистическим методам.

3. Решение симплексным методом продолжается до тех пор, пока …

1. в целевой строке есть отрицательные элементы;

2. в столбце свободных членов есть отрицательные элементы;

3. в столбце свободных членов есть нулевые элементы.

 

3. Задача оптимизации ассортимента продукции решается с помощью…

1. метода северо- западного угла;

2. метода наименьшего элемента по строке;

3.симплексного метода.

3. Целевой функцией для ассортиментной задачи является:…

1. функция распределения % брака;

2. функция прибыли;

3. функция загрузки оборудования.

3. Прогнозирование — это функция менеджмента, которая предшествует…

1. планированию;

2. контролю;

3. мотивации.

3. Наибольшее практическое распространение получили…

1. метод наименьших квадратов;

2. методы непосредственной экстраполяции;

3. методы моделирования.

3. Корреляционные методы относятся…

1. к экспертным методам;

2. к методам оптимизации;

3. к статистическим методам.

3. Временной ряд — это …

1. ряд экономических показателей;

2. плотность распределения случайных величин;

3. совокупность числовых величин, характеризующих изменение некоторого показателя во времени.

3. Первый этап построения экономико-математических моделей…

1. выявление ограничений, связанных с потреблением ресурсов;

2. выбор объекта и установление границ его изучения;

3. определение оптимального плана.

Задача 1 (Ассортиментная задача)

Составить модель оптимального плана выпуска продукции для цеха кондитерской фабрики. Виды выпускаемой продукции (М), виды основного сырья (П) и его запасы, нормы расхода сырья на единицу, уровни прибыли приведены в таблицах. Рассчитать план и провести его анализ.

 

Виды сырья	Расход сырья на единицу продукции	Общий запас сырья, ед.
М1	М2	М3
П1	2 (а11)	3 (а12)	1 (а13)	303 (b1)
П2	4 (а21)	2 (а22)	3 (а23)	275 (b2)
П3	3 (а31)	1 (а32)	4 (а33)	200 (b3)
Уровень прибыли на единицу продукции	24 (С1)	20 (С2)	28 (С3)

 

Для их производства используется основные виды ресурсов (сырья) трёх видов, условно названных П1, П2, П3 (в ед.).

Расход каждого ресурса на производство единицы продукции является заданной величиной, определяется по рецептуре и обозначается символами а₁₁, а₁₂, …, а₃₂, а₃₃, где а – норма расхода, первая подстрочная 1, 2, 3 – номер ресурса, вторая подстрочная 1, 2, 3 – номер ассортиментной группы конфет.

Наличие каждого ресурса для производства всех групп конфет принимается как известная величина и обозначается символами b₁, b₂, b₃.

Прибыль на продукция также принимается как известная величина и обозначается символами С₁, С₂, С₃.

Перечисленные параметры являются известными величинами и выражаются в единых единицах измерения, кроме прибыли. Прибыль или другой какой-либо показатель, являющийся критерием оптимальности, выражается в единицах измерения дохода (например, прибыли), получаемого от производства единицы продукции в денежном или ином выражении.

Поскольку решение задачи заключается в поиске такого плана производства, который обеспечивал бы в принятых условиях наибольший доход, принимаются те величины, которые являются неизвестными и обозначающими количества каждой группы конфет, включаемых в план производства: х ₁ для М₁; х ₂ для М₂; х ₃ для М₃.