Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

 и   косинус угла между ними можно найти по формуле:

            .                                              (8.14)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

- условие параллельности прямых,                                    

 (8.15)

- условие перпендикулярности прямых.           (8.16)

Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями

                                                                                                                                                     и плоскостью, определяемой общим уравнением 

                       Ax + By + Cz + D = 0,                                                                                                                                                                                                     можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

                                                  (8.17)   

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а:

                Al + Bm + Cn = 0,                                                                           (8.18)

а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов: A/l = B/m = C/n.                                                                                  (8.19)

 

 

Уравнение прямой в отрезках:                         (4)

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение прямой 1-й степени с двумя переменными.

,     (5)

в котором A и B не равны одновременно нулю, т.е. .

 

Случаи:

1. . . Положив , , получим . Если в этом случае  и , то мы получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2. Если , , то получим , т.е. прямую, проходящую через начало координат.

3. Если , , то получим , т.е. прямую, параллельную оси Ox.

4. Если , , то получим уравнение оси Ox.

5. Если , , , то получим x = b.

Таким образом, при любых значениях коэффициентов A и B, одновременно не равных 0 и C уравнение (5) есть уравнение прямой на плоскости xOy. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых общее уравнение включает и случаи прямых, параллельных оси Oy.

Рассмотрим прямые, заданные общим уравнением прямой.

, .

Условие параллельности: .

Условие перпендикулярности:

.

.