Проверка нормальности распределения (критерий Пирсона)

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВО «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АРХИТЕКТУРЫ И СТРОИТЕЛЬСТВА»

Технологический факультет

Кафедра «Управление качеством и технология строительного производства»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине: «Статические методы контроля и управления качеством»

на тему: «Статистические методы контроля и управления качеством лукума с изюмом»

Автор работы _________ Алимов А.А.

Направление 27.03.02 «Управление качеством»

Обозначения КР-2069059-27.03.02-200695-2023 Группа 20УК1

Руководитель работы _____________ Логанина В.И.

Работа защищена _______________ Оценка ____________  

Пенза 2023              

Содержание

Введение...................................................................................................................3

1 Статистические характеристики показателей качества продукции................4

1.2 Гистограмма....................................................................................................6

  1.3 Проверка нормальности распределения (критерий Пирсона)…………...8

2 Статистическое регулирование технологических процессов........................10

2.1 Контрольные карты......................................................................................10

3 Разработка плана статического приемочного контроля.................................14

Заключение ………………………………………………………………………15

Список использованных источников …………………………………………..16

Введение

Контроль качества изделия – это процесс, направленный на выявление соответствия продукции или услуг установленным стандартам качества. Главная цель такого мероприятия – убедиться, что товары или услуги являются надежными и не имеют недостатков. В ходе проверки происходит анализ количественных и качественных характеристик, которые позволяют определить, насколько качественной является продукция.

Система управления качеством продукции включает следующие функции:

1. Функции стратегического, тактического и оперативного управления.

2.Функции принятия решений, управляющих воздействий, анализа и учета, информационно-контрольные.

3. Функции специализированные и общие для всех стадий жизненного цикла продукции.

4. Функции управления по научно-техническим, производственным, экономическим и социальным факторам и условиям

«Пензенская кондитерская фабрика» – крупнейшее предприятие кондитерской промышленности Пензенской области. Фабрика основана в 1925 году. С 2003 года входит в Холдинг «Объединенные кондитеры».

Фабрика оснащена современным, высокотехнологичным оборудованием, которое позволяет выпускать ассортиментный ряд кондитерских изделий для среднего ценового сегмента. Также специалисты предприятия ежегодно разрабатывают и предлагают потребителям оригинальные новинки.

В настоящее время выпускается более 130 наименований изделий: конфеты, ирис, драже, зефир, вафли, пряники, печенье и вафельные торты. Визитная карточка предприятия и города Пензы – наборы элитных шоколадных конфет «Тарханы», «Сувенир из Пензы», «Дивные купола» и «Пенза». Фабрика вырабатывает не только изделия локального ассортимента, но и бренды федерального значения.

Высокое качество продукции, средний ценовой сегмент, эффективная логистика, финансовая стабильность фабрики – это те преимущества, которые делают предприятие привлекательным для партнерства. Кондитерские изделия можно купить практически в любом регионе России – от Калининграда до Сахалина, от Краснодара до Архангельска. Фабрика активно развивает и поддерживает экспортное направление деятельности. На международных специализированных выставках, таких как «Продэкспо» и «World Food», в которых предприятие ежегодно принимает участие, специалистами проводятся переговоры и заключаются контракты со многими зарубежными партнерами. В планах компании –расширение ассортимента продукции.

1.Статистические характеристики выборки

Статистические методы управления качеством являются обязательным элементом современных систем менеджмента качества, внедряемых на российских предприятиях, конкурентоспособность которых во многом зависит от умения персонала предприятия на практике применять эти методы

С помощью этих методов можно указать, где для повышения качества продукции должна быть изменена либо его структура, либо технология изготовления, а также статистические методы позволяют отрегулировать технологический процесс так, что сводится к минимуму производственный брак.

Управлять качеством продукции необходимо на основе объективной информации об осуществлении технологических процессов.

В данном разделе приводятся сведения о показателях качества продукции. Необходимо провести измерения показателей качества. Следует рассчитать статистические характеристики выборки: средняя арифметическая величина, размах, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Продукция-пастила фабрики ЗАО «Пензенская кондитерская фабрика» должна соответствовать следующим требованиям:

Плотность, г\см3 не более 0,8; влажность, % не более 25

Массовая доля редуцирующих веществ, % от 10 до 25

В таблице 1 приведены статические данные плотность, г\см3 в пастиле:

Таблица 1 Влажность, %

День

Влажность, %

День

Влажность, %

День

Влажность, %

День

Влажность, %

День

Влажность, %

День

Влажность, %

20,1

21,6

20,9

23,8

22,5

22,4

21,2

22,7

22,2

21,5

21,8

22,4

20,4

20,4

21,7

20,2

21,7

22,4

22,8

21,4

20,5

21,1

20,6

20,6

21,9

22,3

22,3

20,9

21,3

20,2

20,6

22,9

21,3

22,7

21,3

20,5

21,3

21,7

22,2

20,2

20,4

22,2

21,6

20,6

20.9

22,5

21,8

21,9

22,9

20,5

21,5

21,5

22,4

20,3

21,9

20,1

20,4

20,7

20,8

 51

20,6

22,3

21,1

21,5

20,6

22,3

22,7

21,4

20,9

Продолжение таблицы 1

День

Влажность, %

20,6

21,2

22,7

20,9

20,6

22,6

20,8

21,3

Имеются две важнейшие характеристики, которые отражают результат исследований: одна из них описывает среднее положение наблюдаемых значений, а другая – отклонения единичных измерений от средней. Если в результате n измерений получены значения x₁, x₂, …, x_n, то средняя арифметическая величина:

Среднее квадратическое отклонение s.

1.2 Гистограмма

Гистограммой называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты- это плотность частоты. Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна – сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Результаты измерения располагают в порядке возрастания, т.е. составляют вариационный ряд.

Тогда ширина интервала:

Таблица 2 – Значения плотности частоты

Частичный интервал длиной h=1,4

Сумма частот вариант частичного интервала n_i

[20-20,4)

[20,4-20,8)

[20,8-21,2)

[21,2-21,6)

[21,6-22)

[22-22,4)

[22,4-22,8)

[22,8-23,2)

      Рисунок 1 – Гистограмма влажность, %

На гистограмме видно как изменяется влажность, % лукума с изюмом. Далее проведем анализ нормальности распределения по критерию Пирсона.

Суть критерия Пирсона состоит в вычислении критерия  по следующей формуле:

где k — это число разрядов наблюдаемых значений, а — теоретические частоты соответствующих значений.

Алгоритм критерия Пирсона несложен и состоит в выполнении следующих действий:

- сначала по данным выборки получают статистическое распределение наблюдаемого признака;

- затем — вычисляют теоретические частоты признака, какими они должны были бы быть, если бы признак был действительно распределен в соответствии с данным законом;

- по данной выше формуле вычисляют эмпирическое значение критерия ;

- по таблице критических значений критерия Пирсона определяют на необходимом уровне значимости и при заданном числе степеней свободы s. Число степеней свободы вычисляется по формуле , где k — число разрядов наблюдаемых значений, r — число параметров предполагаемого распределения, в случае нормального или равномерного распределения r = 2;

- в случае, если , основную гипотезу принимают, в этом случае на заданном уровне значимости можно утверждать, что статистическое распределение изучаемого параметра подчинено данному закону распределения. Если же имеет место обратное неравенство , принимают альтернативную гипотезу: статистическое распределение отличается от данного.

Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где p_i — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Для вычисления вероятностей p_i применим формулу и таблицу функции Лапласа

где
s = 0.847, x_ср = 21.4
Теоретическая (ожидаемая) частота равна f_i = fp_i, где f = 91
Вероятность попадания в i-й интервал: p_i = Ф(x₂) - Ф(x₁)

Таблица 3 Данные расчета по критерию Пирсона

x_i÷x_i+1

f_i

x₁ = (x_i - x_ср)/s

x₂ = (x_i+1 - x_ср)/s

Ф(x₁)

Ф(x₂)

p_i=Ф(x₂)-Ф(x₁)

Ожидаемая частота, 91p_i

Слагаемые статистики Пирсона, K_i

20 - 20.4

-1.679

-1.2096

-0.4535

-0.3869

0.0666

6.0606

4.0256

20.4 - 20.8

-1.2096

-0.7402

-0.3869

-0.2734

0.1135

10.3285

3.1143

20.8 - 21.2

-0.7402

-0.2708

-0.2734

-0.1103

0.1631

14.8421

0.2286

21.2 - 21.6

-0.2708

0.1986

-0.1103

0.0793

0.1896

17.2536

0.6135

21.6 - 22

0.1986

0.668

0.0793

0.2486

0.1693

15.4063

1.8972

22 - 22.4

0.668

1.1374

0.2486

0.3729

0.1243

11.3113

0.00857

22.4 - 22.8

1.1374

1.6068

0.3729

0.4463

0.0734

6.6794

2.7948

22.8 - 23.2

1.6068

2.0762

0.4463

0.4812

0.0349

3.1759

1.0477

13.7303

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+∞).

Её границу K_kp = χ²(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры x_cp и s оценены по выборке).

K_kp = χ²(8-2-1;0.05) = 11.07050; Kнабл = 13.73

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по нормальному закону.

2 Статистическое регулирование технологических процессов

2.1 Контрольные карты

Статистические методы регулирования позволяют своевременно выявить разладку технологического процесса и тем самым предупредить выпуск дефектной продукции. В результате реализуется важнейшее требование стандартов ИСО серии 9000 – «предупреждать любое несоответствие продукции».

Контрольные карты подразделяют на три основных вида:

- карты Шухарта

- приемочные

- адаптивные.

Все эти контрольные карты работают с выборочными данными по количественному или альтернативному признаку.

Приемочные карты позволяют осуществлять одновременно две процедуры:

- слежение за ходом технологического процесса и его регулирование;

- контроль продукции, направленный на то, чтобы фактический уровень несоответствий данной продукции не превышал установленного уровня несоответствий NQL.

В зависимости от того, по каким статистическим характеристикам осуществляют статистическое регулирование, различают следующие виды контрольных карт Шухорта:

1 Карта средних арифметических значений

2 Карта медиан

3 Карта среднеквадратических отклонений

4 Карта размахов

5 Карта доли дефектных единиц продукции

6 Карта числа дефектных единиц продукции

7 Карта числа дефектов

8 Карта числа дефектов на единицу продукции

Логика работы с контрольными границами следующая:

1. Если точка на контрольной карте лежит внутри контрольных границ, то считается, что все колебания точек здесь объясняются чисто случайными факторами.

2. Если же одна (или несколько) точка выходит за контрольные границы, то считается, что такие отклонения не могут произойти случайно, т.е. здесь имеет место воздействие случайного фактора.

Контрольные карты для количественных признаков. Порядок построения и анализа контрольных карт:

При контроле по количественному признаку о разладке технологического процесса судят как по среднему значению контролируемого параметра, так и по рассеиванию значений контролируемого параметра относительно этого среднего значения.

Смещение среднего значения (в любую сторону) относительно середины поля допуска и увеличение рассеивания приводит к увеличению доли дефектной продукции. В качестве средних значений при статистическом регулировании используем среднее арифметическое значение. В качестве характеристик рассеивания при статистическом регулировании используем среднее квадратическое отклонение.

При статистическом регулировании технологического процесса при контроле по количественному признаку воспользуемся двойными контрольными картами, на одной из которых отмечены средние значения, а на другой – характеристику рассеивания, что позволит непрерывно следить за составляющими общей дисперсии – рассеянием внутри мгновенных выборок и рассеянием между значениями средней арифметической различных выборок. После чего можно сделать вывод о статистическом управлении процессом, только в том случае, когда об этом свидетельствуют обе карты.

В результате предварительного исследования состояния технологического процесса решают следующие задачи:

- получают оценки параметров нормального распределения (ɑ и σ);

- определяют вероятную долю дефектной продукции (ρ).

Для анализа стабильности технологического процесса воспользуемся x–r – картой.

Таблица 4 – Распределение выборок

№

Номер выборки

𝑥₁

20,1

22,4

21,3

𝑥₂

20,7

21,6

𝑥₃

22,2

21,5

22,9

𝑥₄

20,4

20,3

𝑥₅

21,4

𝑥₆

21,5

20,6

_𝑥7

20,6

21,7

21,6

_𝑥8

20,5

20,5

22,4

_𝑥9

22,2

22,3

21,8

_𝑥10

21,9

22,9

20,2

21,23

21,45

21,47

=21,4

ВД=30; НД=15

= ; 2,5=

=0,81

ВГР= =21,4+ =21,843; НГР= 20,957

R₁=2,1

R₂=2,9

R₃=2,7

= 2,5

Вычисление границ регулирования для r – карты:

= ; 2,5=

ВГР=1,777*2,5=0,557

НГР=0,223*2,5=4,442

Из полученных результатов можно сделать вывод, что процесс стабилен и находится в статистически воспроизводимом состоянии, так как на х и r картах точки не выходят за границы регулирования.

3 Разработка плана статического приемочного контроля

Объем партии 90 шт. (смена).

Объем партии 7.

Уровень дефектности продукции 1,5%

K=1,5

НД=0,3

ВД=0,8

0,7; 0,5; 0,5; 0,3; 0,6; 0,5; 0,6;

=0,53

S= =0,13

Q_{в= =}2,08>k

Q_{н= =}1,77>k

0,2+(k*s)=0,2+1,5*0,13)=0,495

0,8-(k*s)=0,8-0,195=0,605

Так как , то партия принимается.

Графический способ решения S-плана

Заключение

Исследование статистических методов помогает изучить протекание технологического процесса. Благодаря чему в результате получают наилучшее выполнение требований качественных показателей изделий. Это также способствует уменьшению брака, повышению производительности труда и снижению себестоимости. Эти методы помогают узнать в какой именно момент и кем вызваны те или иные помехи в производственном процессе.

В рамках данного курсового проекта я приобрел комплекс специальных знаний и умений, необходимых для проектирования и организации надежных и стабильных производственных процессов, обеспечивающих изготовление качественной продукции.

Список использованных источников

1 Логанина В.И. Статические методы контроля и управления качеством продукции: учебное пособие. – Пенза: ПГУАС, 2012. – 96 с.;

2 ГОСТ Р 50779.71-99 Статистические методы. Процедуры выборочного контроля по альтернативному признаку. Часть 1. Планы выборочного контроля последовательных партий на основе приемлемого уровня качества AQL. – Введ. 2000-07-01-М: ИПК Издательство стандартов,2000. - 68стр.;

3 Логанина В.И., Петухова Н.А., Садовникова М.А. Статистические методы контроля и управления качеством: указания для выполнения курсового проекта. - Пенза: ПГУАС, 2017. - 32 с.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры