Пример решения задачи №2: Построение и исследование эконометрической модели магазина в виде линейной троичной регрессии

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

Рисунок 2.1 - – Корреляционное поле и линия регрессии

 

3) Построить расчётную линию регрессии на координатной плоскости XY.

Решение. Искомую линию проще всего построить по двум точкам (см. рис. 2.1), например (0; 0,43) и (8,00; 12,75).

Таблица 2.2 – – Расчётная таблица к задаче-1

x_i

y_i

x²

y²

x_iy_i

(x_i- )²

_xi

e_i²=( _xi-y_i)²

1

2

3

4

5

6

7

8

5,90

1,97

0,00

5,90

1,97

1,06

2,04

3,51

0,22

0,18

5,05

0,00

0,32

6,59

2,53

2,46

8,13

1,28

20,88

12,75

1,56

37,68

6,65

 

(2.3)

 

4) Показать графически и аналитически, что линия регрессии проходит через точку ( , ).

Решение. Из графика на рисунке 2.1 видно, что линия регрессии проходит через точку “средних” ( =3,43; =5,71). Проверим это аналитически: =0,43+1,54×3,43 = 5,71, что и требовалось доказать.

5) На сколько вырастет средний объем продаж при увеличении х на 1.

Решение. При увеличении торговой площади на 1 (100 м²) в среднем объем продаж увеличится на b₁= 1,54 (т.е. на 15400 руб./день).

6) Имеет ли смысл свободный член в уравнении регрессии.

Решение. Свободный член b₀=0,43 смысла не имеет, т.к. при нулевой торговой площади положительного объема продаж быть не может.

7) Вычислить коэффициент корреляции между переменными X и Y.

Решение. Используем формулу:

                                     (2.4)

Здесь известно все, кроме

 

 

 

Окончательно

Полученное значение коэффициента корреляции говорит о высокой (почти функциональной) зависимости объема продаж от размера торговой площади.

8) Определить графически и аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина "СИ" с торговой площадью х=11 (напомним, что это 1100 м²).

Решение. Прогнозное значение из рисунка 2.1 и из формулы совпадают:

=0,43+1,54×11=17,37 (173700 руб./день)

9.а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж.

Решение. Оценка значения условного МО М_х=11(Y) равна 17,37. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _х=11, нужно оценить дисперсию ее оценки .

Для этого определим дисперсию возмущений (см. табл. 2.2 графы 4-6):

 

Искомая дисперсия 

 

Для статистики Стьюдента  число степеней свободы k = n – 2 = 7 – 2 = 5. По табл. П2 находим значение t_0,95;5=2,57 критерия Стьюдента. Искомый 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина "СИ":

 

Нижнее значение интервала: 17,37-2,57×1,48=13,57.

Верхнее значение интервала: 17,37+2,57×1,48=21,37.

Окончательно интервал имеет вид:

 

9.б) Найти 95%-ный доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения объема продаж _xo=11.

Решение. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _хo=11, нужно оценить ее дисперсию:

 

 

Нижнее значение интервала: 17,37-2,57×1,88=12,54.

Верхнее значение интервала: 17,37+2,57×1,88=22,20.

Окончательно интервал имеет вид:

 

12,54 £ £ 22,20.

 

Как и следует из теории, этот интервал больше предыдущего и большой по величине. Коэффициент осцилляции для него:

 

К_о=(R/ )100%= ((22,2-12,54)/17,37)100%=55,6%.

 

10а) Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента регрессии b₁.

Решение. Общая формула для расчета интервала:

b₁-D £ b₁ £ b₁+D,

 

где

Нижнее значение интервала: 1,54-0,48=1,06.

Верхнее значение интервала: 1,54+0,48=2,02.

Окончательно интервал имеет вид:

1,06 £ b₁ £ 2,02.

10.б) Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки дисперсии возмущений s².

Решение. Найдем по табл.П3 (критерий Пирсона) табличное значение статистики хи-квадрат:

Формула для доверительного интервала:

 

 

11а) Оценить на уровне a=0,05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Фишера.

Решение. Вычислим суммы квадратов.

Общая сумма:

Q=å(y_i- )²=13,77+7,35+2,93+0,51+0,51+1,67+68,73= 95,47.

Регрессионная сумма:

Q_R=å( _i- )²=13,99+13,99+4,84+0,44+0,78+8,56+49,56=92,16.

Остаточная сумма: Q_e=å( _i-у_i)²=6,65 (см. табл. 4). Табл 2.2, графа 8

Значение статистики Фишера :

 

 

Уравнение регрессии значимо, если F > F_a,k1,k2, где степени свободы k₁=m-1=2-1=1, k₂=n-m=7-2=5. По табл. П4 находим критическое значение F_0,05;1;5=6,61. Так как 69,66 > 6,61, то уравнение значимо: коэффициент регрессии b₁ =1,54 значимо отличается от нуля.

11б) Оценить на уровне a=0,05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Стьюдента.

Решение. Уравнение парной регрессии значимо, если t>t_крит. Значение статистики Стьюдента:

 

 

По табл. П2 находим t_крит.=t_0,95;7-2=5=2,57. Так как 8,22 > 2,57, то гипотезу Н_о(Н_о : β₁=0) отвергаем и принимаем противоположную гипотезу Н₁: уравнение значимо.

12) Определить коэффициент детерминации R² и раскрыть его смысл: на сколько процентов в среднем объем продаж зависит от размера торговой площади.

Решение. Используем формулу: R²= Q_R/Q = 92,16 / 95,47 = 0,97.    R² показывает, какая доля вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. Ответ: эта доля составляет 97%.