Закрепление изученного материала.

Тэо-21 тора-21

11.02.2022

Тема урока: «Возрастание и убывание функции».

Цель:

o образовательная: изучить достаточные условия возрастания и убывания функций, научить применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции;

· развивающая: развитие навыков самоконтроля, внимательности; развитие мыслительной деятельности учащихся;

· воспитательная: воспитание точности, аккуратности, уважению к труду одноклассников, ответственности за результаты своего труда и труда одноклассника.

Что называется производной функции f(x) в точке x₀?

Производной функции f '(x) в точке x₀ называется предел разностного отношения при h→0, т.е. f '(x₀)= .

Чему равны производные постоянной функции, линейной функции, степенной функции?

Производная постоянной функции с'=0.

Производная линейной функции (kx+b)'=k.

Производная степенной функции (х^р)'=р*х^р-1, pϵR, x>0.

 Сформулируйте правило дифференцирования суммы.

(f(x)+g(x))'=f '(x)+g '(x).

Сформулируйте правило дифференцирования произведения.

(f(x)*g(x))'=f '(x)*g(x)+f(x)*g '(x).

Сформулируйте правило дифференцирования частного.

.Напишите производные элементарных функций.

(sin x)'; (cos x)'; (ln x)'; (e^x)'; (tg x)'; (ctg x)'; (ln|x|)'; (a^x)'; ( )'; (x^p)'.

(sin x)'= cos x

(cos x)'= –sin x

(ln x)'= , х>0.

(e^x)'=е^х

(tg x)'= ,x≠ +kπ, kϵz.

(ctg x)'=– ,x≠kπ, kϵz.

(ln|x|)'= , х≠0

(a^x)'=а^хln a, a>0, a≠1

( )'= ,a>0, a≠1, x>0.

(x^p)'=px^p-1, pϵR, x>0.

Изучение нового материала.

С помощью производной можно находить промежутки монотонности функции. Условимся термин «промежуток» использовать для обозначения таких числовых множеств, как отрезок [a;b], интервал (a;b), полуинтервалы [a;b) и (a;b].

При этом точки a и b называют граничными точками, а все остальные точки интервала (a;b)-внутренними точками промежутка.

Функция f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. для любых точек x₁ и x₂ из этого промежутка, таких, что x₂>x₁, выполняется неравенство f(x₂)>f(x₁). (Слайд 3)

Если для любых точек х₁ и х₂ данного промежутка, таких, что х₂>x₁, выполняется неравенство f(x₂)<f(x₁), то функция f(x) называется убывающей на этом промежутке.

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности этой функции.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда если f'(x)>0 для всех xϵ(a;b), то функция f(x) возрастает на отрезке [a;b], а если f'(x)<0, то она убывает на этом отрезке.

Применяя определение возрастающей (убывающей) функции трудно найти промежутки монотонности, поэтому мы будем изучать признаки монотонности функции, использующие понятие производной.

При доказательстве теорем о достаточных условиях возрастания или убывания функции используется следующая теорема, которая называется теоремой Лагранжа.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка, такая cϵ(a;b), что f(b)–f(a)=f'(c)(b–a). (

Запись в тетрадях:

f(b)–f(a)=f'(c)(b–a).(1)

Эта теорема доказывается в курсе высшей математик. Поясним геометрический смысл формулы (1). Проведем прямую l (рис.56 из учебника) через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)) графика функции y=f(x) и назовем эту прямую секущей. Угловой коэффициент k секущей l равен

Равенство (1) можно записать в виде

Из равенства (2) и (3) следует, что угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке C с абсциссой c равен угловому коэффициенту k секущей l.

Таким образом, на интервале (a;b) найдется такая точка c, что касательная к графику функции y=f(x) в точке C(c; f(c)) параллельна секущей l.

Давайте запишем алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания

1. Находим производную функции.

2. Находим, при каком значении х, производная функции равна нулю.

3. Находим промежутки, на которые найденная точка разбивает ось Ох, и находим значение производной функции в какой - нибудь точке каждого из интервалов.

4. Находим промежутки возрастания и убывания функции.

Давайте рассмотрим функцию f(x)=2х²+4х-4.

Сначала находим производную этой функции.

f '(x)= (2х²+4х-4)'=4x+4.

Затем производную f'(x) приравниваем к нулю и находим значение х.

f '(x)=0, т.е. 4х+4=0; х=-1.

После этого отмечаем значение х на числовой оси и выясняем какие знаки будут на интервалах.

Делаем вывод: т.к. f '(x)>0 на интервале (-∞;-1), то функция f(x) - возрастает;

а на интервале (-1; +∞) функция f(x) -убывает, т.к. f '(x)<0.

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности этой функции.

При доказательстве теорем о достаточных условиях возрастания или убывания функции используется следующая теорема, которая называется теоремой Лагранжа.

Прочитайте вслух первую теорему из учебника.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка, такая cϵ(a;b), что f(b)–f(a)=f'(c)(b–a).

Запись в тетрадях:

f(b)–f(a)=f'(c)(b–a).

Прочитайте нам вторую теорему.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда если f'(x)>0 для всех xϵ(a;b), то функция f(x) возрастает на отрезке [a;b], а если f'(x)<0, то она убывает на этом отрезке.

 Какого вида функция f(x)=5x²-3x-1, является ли она сложной?

Функция сложная, представляет собой сумму нескольких функций, значит найдем производные каждого из слагаемых

f(x)=5x²-3x-1

f '(x)=(5x²-3x-1)'=(5x²)¢-(3x)¢-1¢=10x-3

Каков следующий шаг решения?

Найдем ,при каком значении х, производная функции равна нулю: f '(x)=0; 10x-3=0; x=0,3.

Определяем промежутки возрастания и убывания функции.

Ответ: на интервале (-∞; 0,3) – функция f(x) – убывает, т.к. f '(x)<0;

на интервале (0,3; +∞) – функция возрастает, т.к. f '(x)>0.

Найти интервалы возрастания и убывания функции.

(Запись в тетрадях).

Решение:

1. f(x)=х²-3х+4

f '(x)=(х²-3х+4)'=2х-3

f '(x)=0; 2х-3 =0; х=1,5.

Ответ: на интервале (-∞; 1,5) – функция f(x) – убывает, т.к. f '(x)<0;

на интервале (1,5; +∞) – функция возрастает, т.к. f '(x)>0.

Найти интервалы возрастания и убывания функции.

(Запись в тетрадях).

3) f(x)=х³-3х

f '(x)=( х³-3х)'=3х²-3

f '(x)=0; 3х²-3=0; x₁=-1; х₂=1.

Ответ: на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) – функция f(x) – функция возрастает, т.к. f '(x)>0;

на интервале (-1; 1) – функция убывает, т.к. f '(x)<0.

Домашнеее задание:

Составить конспект.

Выписать формулы

 Найти интервалы возрастания и убывания функции f(х) =

Построить график функции f(х) =

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(х)= на отрезке

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология