Тогда производящей функцией (пф) распределения св  называется

    Производящие функции

    Определение.Пусть  – неотрицательная целочисленная СВ, принимающая значения  с вероятностями .

    Тогда производящей функцией (ПФ) распределения СВ  называется

(2.16)

Свойства ПФ:

1.

2.

3.

4.  

5. Если , где  – независимые СВ, то
В частности, если  распределены одинаково, то

6. Если , где  - целочисленная неотрицательная СВ,  – независимые, одинаково распределённые целочисленные неотрицательные СВ, то

То есть ПФ суммы случайного числа случайных величин - это ПФ числа слагаемых, а аргумент у нее не z, а ПФ каждого слагаемого (сложная функция)

Следствия. Дифференцируя (2.22) нужное число раз и полагая , получаем:

(2.17)
(2.18)
(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

     

Замечание. Если снять ограничение целочисленности, наложенное на величины , (ξ - сумма случайного числа нецелочисленных СВ) ,то вместо (2.22) имеет место соотношение

(2.25)

    Соотношения для математического ожидания и дисперсии остаются прежними.

        Рассмотрим примеры.

    Пример 2.4 (характеристики пуассоновского потока)

        На вход системы поступает пуассоновский поток заявок интенсивности . Обозначим  число заявок, поступающих за время . Найти ПФ случайной величины , ее математическое ожидание и дисперсию.

    Указание.

    Если входной поток событий обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия, то его называют пуассоновским потоком, так как распределение количества событий, произошедших в течение фиксированного интервала времени длины , (т.е. СВ ), имеет распределение Пуассона: , где ,  – интенсивность потока (среднее число событий в единицу времени).

    Решение.

    По формуле (2.18 свойство 2 ПФ) получаем:  

    По формуле (2.19) получаем:

        (цифры формул возможно сбились, проверьте!)