Действия над приближенными числами

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Действительное число – это бесконечная десятичная дробь. Производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. 

Приближённые вычисления – это вычисления, в которых данные и результат (или по крайней мере только результат) являются числами, лишь приближённо представляющими истинные значения соответствующих величин.

Приближённые вычисления возникают в связи с численным решением задач и обусловлены неточностями, которые присущи формулировке задачи и способам её решения. Общие правила и теорию методов приближённых вычислений принято называть численными методами.

Например, для числа =3,141592… пользуются приближенным равенством 3,141 или 3,142. Первое называют приближенным значением числа  по недостатку с точностью до 0,001, второе – приближенным значением числа  по избытку с точностью до 0,001.

Приближение по недостатку и приближение по избытку называют иногда округлением числа.

Пример: Имеем  = 0,31818. Таким образом,  - это приближение по недостатку с точностью до 0,01; - это приближение по избытку с точностью до 0,01.

Погрешности

Модуль разницы между точным числом x и его приближенным значением a называется абсолютной погрешностью данного приближенного числа.

D_a =| x - a | - погрешность приближения.

 

Отношение D_a / a = d_a называется относительной погрешностью; последнюю часто выражают в процентах.

3,14 является приближенным значением числа p, погрешность его равна 0,00159..., абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а относительную погрешность d_a равной 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Значащие цифры – этовсе цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться.

Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки.

 

Округление

Обычно при округлении пользуются следующим правилом:если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются по правилу округления.

 

Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Число значащих цифр результата можно вычислить при помощи следующих правил:

1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков.

2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.

Почему же важно уметь находить приближенные значения чисел? Дело в том, что практически невозможно оперировать с бесконечными десятичными дробями и использовать их для измерения величин. На практике во многих случаях вместо точных значений берут приближения с заранее заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная десятичная дробь, т.е приближение выводимого на экран числа (за редким исключением, когда выводимое число представляет собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране).