Принцип максимальной эффективности и принцип гарантированного результата при заданном приоритете критериев

В предыдущем параграфе рассматривалась проблема решения ЗВМ принципами гарантированного результата и максимальной эффективности в случае, когда все частные критерии равнозначны для ЛПР. В данном параграфе рассмотрим описанные принципы оптимальности в случае, когда для каждого частного критерия  можно построить коэффициент значимости , где

Тогда принцип гарантированного результата для задачи векторной максимизации (2) с заданным приоритетом критериев формулируется следующим образом:

 ЗВМ с заданным приоритетом критериев решена, если найдена точка  и максимальный уровень  среди всех относительных оценок такие, что

                     (17)

Соответствующая  (принцип максимальной эффективности) описывается следующей задачей:

                                                                               (18)

Полученная задача (18) называется -задачей с приоритетом критериев.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить ЗВМ принципом гарантированного результата.

Решение. Допустимое множество задач изображено на рисунке 9.

где A(0,3), B(1,4), C(2,4), D(3,3),F(3,2), G(2,0), O(0,0).

1. Первоначально решим частные задачи:

a)

,

;

,

;

b)

,

;

,

.

Нормированные критерии:

2. Построим достижимую область Q в пространстве критериев:

.

Достижимая область построена на рисунке 10 и представляет собой многоугольник, вершинами которого являются точки:

 

3. Рассмотрим функцию  Тогда решением исходной задачи принципом гарантированного результата является точка допустимого множества, представляющая прообраз точки максимума функции.

Линии уровня функции представляют собой «прямые углы» с вершинами в точках (С,С), т.е. вершины «углов» лежат на прямой . Причем при удалении линий уровня вдоль луча L от начала координат получаем линии уровня, отвечающие большим значениям .

4. Решая графически задачу:

находим, что  лежит на пересечении луча L и прямой  проходящей через точки  и . Следовательно, .

Для нахождения прообраза точки  решим систему:

откуда получаем, что решением исходной задачи является точка

лежащая на отрезке [C,D] допустимого множества, .

Пример 2. Построить -задачу ля следующей ЗВМ:

Решение. Допустимое множество и линии уровня целевых функций задачи изображены на рисунке 11.

1. Пронормируем критерии задач.

Рассмотрим решение частных задач:

a)

,

;

,

;

b)

,

;

,

.

Нормализованные критерии:

2. Искомая  имеет вид:

Упражнения

№1. Построить и решить -задачу для следующих ЗВМ:

1)

 

2)

 

3)

4)

По найденным значениям  произвести сравнительный анализ степени противоречивости целевых функций задач 1) – 4).

 

№2. Для задачи векторной максимизации сформулировать принцип гарантированного результата, считая, что в качестве нормализованных критериев выбраны относительные отклонения . Выписать соответствующую -задачу.

 

№3. Для задачи

1) Выписать задачи с нормализованными критериями, в которых в качестве нормализованных критериев выбраны относительные оценки  и относительные отклонения ;

2) Построить - и -задачи, сформулировав принцип гарантированного результата для каждого из случаев.

 

№4. Построить  для следующих ЗВМ:

1)

 

2)

 

3)

 

№4. Решить ЗВМ принципом гарантированного результата:

1)

 

2)

 

3)