Случайные погрешности обработки

В процессе обработки партии заготовок на настроенных станках их размеры непрерывно колеблются в определённых границах, отличаясь друг от друга и от настроенного размера на величину случайной погрешности.
Случайная погрешность - это такая погрешность, которая для разных заготовок рассматриваемой партии имеет различные значения, причём её появление не подчиняется видимой закономерности.
В результате возникновения случайных погрешностей происходит рассеяние размеров деталей, изготовленных при одних и тех же условиях. Рассеяние размеров вызывается совокупностью многих причин случайного характера, не поддающихся точному предварительному определению и проявляющих своё действие одновременно и независимо друг от друга. К таким причинам относятся колебания твёрдости обрабатываемого материала и величины снимаемого припуска; изменения положения исходной заготовки в приспособлении, связанные с погрешностями её базирования и закрепления или обусловленные неточностями приспособления; неточности установки положения суппортов по упорам и лимбам; колебания температурного режима обработки и упругих отжатий элементов технологической системы под влиянием нестабильных сил резания и т.п.
Для выявления и анализа закономерностей распределения размеров заготовок при их рассеянии успешно применяются методы математической статистики.

Законы рассеяния (распределения) размеров

В результате возникновения случайных погрешностей при обработке партии заготовок на настроенном станке действительный размер каждой заготовки является случайной величиной и может принимать любое значение в границах определённого интервала.
Совокупность значений действительных размеров заготовок, обработанных при неизменных условиях и расположенных в возрастающем порядке с указанием частоты повторения этих размеров (m) или частостей, называется распределением размеров деталей. Под частостью понимается отношение числа деталей одного размера к общему числу деталей партии. На рисунке 8.6 представлена гистограмма распределения действительных размеров, а в таблице 8.2 эта же гистограмма представлена в таблиной форме.

Рис 8.6 Распределение действительных размеров заготовок.

Таблица 2.

Интервал, мм	Частота m	Частость, m\n
20,00 – 20,05	2	0,02
20,05– 20,10	11	0,11
20,10 – 20,15	19	0,19
20,15 – 20,20	28	0,28
20,20 – 20,25	22	0,22
20,25 – 20,30	15	0,15
20,30 – 20,35	3	0,03
Итого:

 

Распределение размеров деталей можно представить в виде таблиц и графиков. На практике значения действительных размеров деталей разбивают на интервалы или разряды таким образом, чтобы цена интервала (разность между наибольшим и наименьшим размерами в пределах одного интервала) была несколько больше цены деления шкалы измерительного устройства. Этим компенсируются погрешности измерения. Частость в этом случае представляет собой отношение числа m деталей, действительные размеры которых попали в данный интервал, к общему количеству n изготовленных и измеренных деталей партии.
Например, после измерения 100 шт. деталей с действительными размерами в пределах от 20,00 до 20,35 мм распределение размеров этих деталей может иметь вид, приведённый в табл. 8.2. Распределение измеренных размеров таких деталей можно представить в виде графика (рис. 8.6). По оси абсцисс откладывают интервалы размеров в соответствии с табл. 8.2, а по оси ординат соответствующие им частоты m или частости m/n. В результате построения получается ступенчатая линия l, называемая гистограммой распределения. Если последовательно соединить между собой точки, соответствующие середине каждого интервала, то образуется ломаная кривая, которая носит название эмпирической кривой распределения. При значительном количестве изготовленных деталей и уменьшении размеров интервалов ломаная эмпирическая кривая приближается по форме к плавной кривой, именуемой кривой распределения. Для построения гистограммного распределения рекомендуется измеренные размеры разбивать не менее, чем на шесть интервалов при общем числе измеряемых заготовок не меньше 50 шт.
При разных условиях обработки заготовок рассеяние действительных размеров деталей подчиняется различным математическим законам. В технологии приборостроения большое практическое значение имеют следующие законы: нормального распределения (закон Гаусса), равнобедренного треугольника (закон Симпсона), эксцентриситета (закон Релея), законы равной вероятности и функции распределения, представляющие собой композицию этих законов.

Закон нормального распределения (закон Гаусса). Многочисленные исследования, проведённые профессорами А.Б.Яхиным, А.А.Зыковым и другими, показали, что распределение действительных размеров деталей изготовленных, обработанных на настроенных станках, очень часто подчиняется закону нормального распределения (закону Гаусса).
Это объясняется известным положением теории вероятностей о том, что распределение суммы большого числа взаимно независимых случайных слагаемых величин (при ничтожно малом и примерно одинаковом влиянии каждой из них на общую сумму и при отсутствии влияния доминирующих факторов) подчиняется закону нормального распределения Гаусса.
Результирующая погрешность обработки обычно формируется в результате одновременного воздействия большого числа погрешностей, зависящих от станка, приспособления, инструмента и заготовки, которые по существу представляют собой взаимно независимые случайные величины. Влияние каждой из них на результирующую погрешность имеет один порядок, поэтому распределение результирующей погрешности обработки, а значит, и распределение действительных размеров изготовленных деталей подчиняются закону нормального распределения.

Уравнение кривой нормального распределения имеет следующий вид:

,                                  (8.1)

где - среднее квадратическое отклонение, определяемое по формуле

                 ;         (8.2)

где Li – текущий действительный размер; Lсред – среднее арифметическое значение действительных размеров деталей данной партии. Значение Lсред  можно определить из выражения.

,                                  (8.3)

где  - частота(количество данного интервала размеров); n – количество деталей партии.

 

Кривая, характеризующая дифференциальный закон нормального распределения, показана на рис. 8.7. Среднее арифметическое Lср действительных размеров деталей данной партии характеризует положение центра группирования размеров.

Рис. 8.7 Кривая нормального распределения (Закон Гаусса).

Влияние сигмы на форму кривой нормального распределения показана на рис 8.8.

Рис. 8.8 Влияние среднего квадратического отклонения на форму кривой нормального распределения.

Закон равнобедренного треугольника (закон Симпсона). При обработке заготовок с точностью 7-го и 8-го а в некоторых случаях и 6-го квалитетов распределение размеров деталей в большинстве случаев подчиняется закону Симпсона, который графически выражается равнобедренным треугольником (рис. 8.9, а) с полем рассеяния

 

                                       (8.4)

Рис.8.9Распределение размеров обработанных заготовок по Закону Симпсона (а) и по закону равной вероятности(б, в).

Величина среднего квадратического отклонения сигмы и в этом случае определяется по формуле (8.2).
Закон равной вероятности. Если рассеяние размеров зависит только от переменных систематических погрешностей (например, от износа режущего инструмента рис. 8.9 в,б), то распределение действительных размеров партии изготовленных деталей подчиняется закону равной вероятности.
Например, при установившемся износе режущего инструмента уменьшение его размеров во времени подчиняется прямолинейному закону, что соответственно увеличивает (при обработке валов) или уменьшает (при обработке отверстий) диаметры обработанных поверхностей. Естественно, что изменение размеров деталей на величину 2l=b-a за период T2-T1 в этом случае тоже происходит по закону прямой линии (рис. 8.9, в) с основанием 2l и высотой (ординатой) 1/2l.
Площадь прямоугольника равна единице, что означает 100%-ную вероятность появления размера детали в интервале от а до b.
Среднее арифметическое значение размера:

 

,                                                       (8.5)

Среднее квадратическое:

,                                            (8.6)

 

Фактическое поле рассеяния:

 

,                                                    (8.7)

 

Закон равной вероятности распространяется на распределение размеров деталей повышенной точности (5-6-й квалитеты и выше) при их изготовлении по методу пробных ходов и ромеров. Из-за сложности получения размеров очень высокой точности вероятность попадания размера заготовки в узкие границы допуска по среднему, наибольшему или наименьшему его значению становится одинаковой.