Экономико-математические методы и моделирование

Экономико-математические методы и моделирование

Основным методом решения экономических задач является метод моделирования, основанный на разработке и использовании моделей. Процесс моделирования включает 3 основных структурных элементов:

1. Объект исследования

2. Исследователь

3. Модель

Модель – это образ реального объекта в материальной или идеальной форме, отражающий основные свойства моделируемого объекта и заменяющие его в ходе изучения (рисунок или макет будущего здания, электронная схема радиоприёмника).

Процесс разработки модели реального объекта или явления и изучение этих объектов и их моделей называется моделированием.

Модели классифицируются на основе различных характеристик. По средствам моделирования модели делятся на:

· Материальные (предметные)

· Идеальные (абстрактные)

Материальные модели отражают физические, геометрические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта или явления. К ним относятся модели уменьшенных размеров (макеты).

Идеальные модели в экономике носят теоретический характер, так как это результат человеческого мышления.

Математическими моделями экономических задач называются модели, в которых существуют характеристики реального объекта и значения экономических показателей, записанные в виде математической зависимости, формул, графиков.

Математические модели бывают определённые и неопределённые.

Определёнными называются модели, в которых исходные данные, рассматриваемой задачи полностью определены.

Неопределённые позволяют решать экономические задачи, параметры которого определяются вероятностными оценками.

Этапы экономико-математического моделирования:

1 этап – постановка экономической цели и формирование критериев. На данном этапе требуется сформировать сущность проблемы, выделить основные черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру, т.е. сделать его доступным.

 2 этап – подготовка исходной информации, состоящей из двух частей:

1) упорядочивание и подбор информации

2) на базе имеющихся данных, изучающих объект или явление.

3 этап – построение математической модели. Выбор математического аппарата, отражающий условный образ объекта.

4 этап – математический анализ моделей или конструирование моделей. Исследуются общие свойства модели и методы её решений. При аналитическом решении задач необходимо определить единственность её решений.

5 этап – численные вычисления. Разработку методов решения построенной модели и серию экспериментальных расчётов с учётом возможных вариантов конкретной задачи.

6 этап – анализ численных результатов и их применение. Модель проверяется по правильности, а также на применение в практической деятельности.

Все 6 этапов носят циклический характер.

 

Моделирование коммерческой деятельности

Под социально- экономической системой понимается вероятностная динамическая система, охватывающая процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ.

Данная система определяется 4-мя признаками:

1) целостность системы

2) наличием цели и критерия исследования данного множества элементов

3) наличием более крупной системы «средой»

4) возможностью выделения в данной системе взаимосвязанных частей.

Примеры экономико-математических моделей:

1. планирование товарооборота

2. перевозка грузов (транспортная задача)

3. задача о назначениях.

Линейное программирование

Линейное программирование – это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума (максимума или минимума) в задачах, которые описываются линейными уравнениями. Причем, линейным уравнением описывается как сама целевая функция, так и переменные (входные параметры).

Необходимым условием задач линейного программирования является обязательное наличие ограничений на ресурсы (сырье, материалы, финансы, спрос).

Еще одним условием решения задачи является выбор критерия – основа алгоритма, т.е. целевая функция должна быть оптимальной, и эта оптимальность должна быть выражена количественно.

Критерий оптимальности дожжен удовлетворять следующим требованиям:

1) Быть единственным для данной задачи;

2) Измеряться в единицах количества;

3) Линейно зависеть от входных параметров.

Стандартная задача линейного программирования – задача, в которой требуется определить максимальное либо минимальное значение целевой функции при ограничениях неравенств и условиях.

Каноническая задача линейного программирования – задача, которая заключается в определении максимального значения целевой функции при выполнении ограничений уравнений.

Сформулируем задачу линейного программирования в общем виде:

1) Найти экстремум целевой функции:

F(x) = )                            (1)

2) При ограничениях в виде равенств:

                                        (2)

 

3) При ограничениях в виде неравенств:

                                          (3)

 

4) При условиях неотрицательности входных параметров:

                                                         (4)

5) В краткой форме задача линейного программирования может быть записана:

                                                                         (5)

При условии:

 при j =1,2,…,m;                                                              (6)

 где  – входные переменные,

 – числа положительные, отрицательные, равные нулю.

В матричной форме эта задача может быть записана:

Cx → max, при Ax ≤ b или Ax ≥ b, x ≥ 0                                                   (7)

 

		…
		…
		…
		…
		…

 

A	b
c

 

Графический метод

Данный метод основан на геометрической интерпретации задач линейного программирования и применяется при решении задач с двумя неизвестными (), когда ограничениями являются неравенства.

Порядок решения задачи линейного программирования графическим способом:

1) На плоскости в координатных осях  строятся прямые, соответствующие исходным ограничениям – неравенствам.

2) Указываются полуплоскости, удовлетворяющие каждому ограничению.

3) Определяется многоугольник решений, указывая координаты вершин на нем, который называется областью допустимых решений (ОДР). Здесь же вычисляются значения целевой функции во всех вершинах многоугольника решений. Выбирая наибольшее и наименьшее значения из вычисленных величин, определяются экстремальные значения целевой функции.

4)  Экстремальные величины можно определить непосредственно построив линии уровня, полагая, что z=0 или принимая значение целевой функции z=const.

5) Определяется градиент целевой функции (grad Z = (; )), направление которого указывает возрастание целевой функции и является перпендикуляром линии уровня. Перемещая линию уровня

в направлении grad Z до вершины ОДР (точки касания) можно найти максимальное значение целевой функции.

Если перемещать линию уровня в направлении противоположном градиенту Z, то в точке касания с ОДР значение целевой функции соответствует минимальному значению

Постановка игровых задач.

Основными вопросами теории игр являются:

1. Какие свойства стратегий следует считать признаками оптимальности.

2. Существуют ли стратегии игроков, которые обладали бы свойствами оптимальности.

3. Как определить оптимальные стратегии, если они существуют.

Пример

Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой. Пусть игра состоит из двух ходов. Игрок 1 выбирает стратегию , игрок 2 – стратегию ; выигрыш соответственно  и .

Игра каждого из игроков удовлетворяет условиям:

=0. Если

Пусть функция .

Составим матрицу А:

 

Строки матрицы А соответствуют стратегии , столбцы- стратегии . Матрица А называется платёжной или матрицей игры.

Элемент платёжной матрицы А является выигрышем игрока 1, если он выбрал стратегию , а второй игрок выбрал стратегию . Эти стратегии называются чистыми стратегиями игроков.

Пусть игрок 1 выбирает некую стратегию (игроку 2 известен выбор), тогда в худшем случае он получит выигрыш, равный минимуму , то есть минимальному элементу в i-ой строке платежной матрицы А.

Величина  называется нижней ценой игры, которая обеспечивает максимальный выигрыш игрока 1, а стратегия  , которая обеспечивает получение такого выигрыша, называется максимальной.

Игрок 2 при выборе стратегии  проигрывает не более максимального значения из элементов k-го столбца, то есть величина проигрыша не больше максимума . Игрок 2 выбирает такую величину, которая минимизирует максимальный проигрыш.

Величина β называется верхней ценой игры, а стратегия  – минимаксной.

Пусть выигрыш игрока 1 будет V, тогда его значение ограничено верхней и нижней ценами игры:

 

Если же совпадают, то выигрыш игрока 1 составляет определённую величину, игра называется вполне определённой.

А выигрыш  называется значением игры и равен элементу . Вполне определённые игры называются также играми с седловой точкой или играми в чистых стратегиях.

Элемент в платёжной матрице А является одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце и называется седловой точкой.

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков, а их совокупность является решением игры. Решение игры показывает, что если один из игроков принимает свою оптимальную стратегию, то для другого игрока отклонение от оптимальной стратегии не является выгодным.

Игра в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не имеет седловой точки, то цена игры V определяется условием (1) §2, т.е. первый игрок обеспечит выигрыш не меньше α, а второй игрок обеспечит проигрыш не больше β. Так как α<β, то первый игрок стремится увеличить выигрыш, а второй – уменьшить проигрыш.

Если действия игроков не известны, то они будут применять чистые стратегии случайным образом с определенной вероятностью. Таким образом смешанная стратегия – это полный набор чистых стратегий игрока при многократном выполнении ходов в одних и тех же условиях с соответствующими вероятностями. Чистые стратегии игроков в их оптимальных и смешанных стратегиях называются активными.

Теорема 1. Применение оптимальной смешанной стратегии обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш (минимальный средний проигрыш), равный цене игры V, независимо от действий другого игрока, лишь бы он придерживался своих активных стратегий.

Теорема 2. (Дж. фон Неймана. Основная теорема теории игр) Каждая конечная матричная игра имеет, по крайней мере, оптимальное решение в смешанных стратегиях.

Следствие. Каждая конечная имеет цену, величина которой является математическим ожиданием выигрыша первого игрока и проигрыша второго игрока. Выигрыш V называется ценой игры и соответствует оптимальному решению.

Смешанные стратегии для соответствующих игроков 1 и 2 будут  и :

                                       (3)

 

                                         (4)

где  и  – чистые стратегии игроков

                   (5)

 

Вероятности применения соответствующих стратегий игроками 1 и 2

                     (6)

 

Зная платежную матрицу A можно определить средний выигрыш (математическое ожидание):

M(A,X,Y)=                                         (7)

Решить матричную игру – это означает определить цену игры V и оптимальные стратегии, т.е. . В ответах задач иногда опускаются значения чистых стратегий, а указывают только вероятности  соответствующие определенным чистым стратегиям.

Рассмотрим конечную игру, матрица которой имеет размер 2х2

                                             (8)

Определить оптимальные стратегии первого и второго игроков и соответствующие им вероятности для матрицы (8), т.е.

                                    (9)

Для игрока 1 получаем систему уравнений:

                                               (10)

 

Для игрока 2 система имеет вид:

                                                (11)

Если V≠0 и игроки имеют только оптимальные смешанные стратегии, то определитель матрицы A не равен нулю. Следовательно системы (10) и (11) имеют единственные решения.

Решая системы уравнений (10) и (11) находим вероятности X и Y в следующем виде:

                           (12)

 

При решении игровых задач платежные матрицы в большинстве случаев имеют размерность mхn, в которой m˃2 и n˃2, т.е. исходная матрица является сложной. Размерность матрицы можно сократить, исключая в них дублирующие и заведомо не выгодные доминирующие стратегии игроков.

Доминирующими называются стратегии, которым соответствует одинаковое значение элементов в платежной матрице, т.е. матрица содержит одинаковые строки либо одинаковые столбцы. Если в платежной матрице элементы строки  не меньше соответствующих элементов строки , то строка  называется доминирующей, а строка  – доминируемой. Аналогично можно определить доминирующий и доминируемый столбцы.

Первому игроку не выгодно применять стратегии, которым соответствуют доминируемые строки, а игроку 2 не выгодно применять стратегии, которым соответствуют доминирующие столбцы.

При решении матричных игр можно сокращать размерность матриц, исключая из нее доминируемые строки и доминирующие столбцы, если такие имеются. Для упрощения вычислений можно выполнить преобразование платежной матрицы, при котором не изменяются значения вероятностей смешанных стратегий.

Теорема 3. Если x ’, y ’, v ’ являются решением платежной матрицы A, то решением игры с платежной матрицей  является тройка чисел x ’; y ’; kv ’+ b; k ≥0, где b – любое действительное число.

Элементы теории графов

Теория графов – это раздел математики, включающий в себя систему терминов и обозначений, которые позволяют сравнительно просто описывать сложные процессы и явления.

Задача Эйлера заключается в том, чтобы пройти по семи мостам только один раз и вернуться в исходную часть города. Само название граф предполагает графическую интерпретацию изучаемого явления. Графом G=(X;U) называется совокупность двух множеств непустого множества X вершин и множеств U ребер, т.е.:

G=(X;U)= ,X≠0         U= , k=

Обычно граф изображают диаграммой, вершины – точками либо кружочками, а ребра – линиями. Если ребра графа ориентированы, т.е. показаны стрелкой от вершины к вершине, то они называются дугами, а такой граф называется ориентированным или орграфом (рис1). Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным или неографом (рис.2).

                   

Рис.1                                                             Рис.2

 Каждая дуга соединяет две вершины графа, одна из которых является начальной, а другая – конечной и направлена от первой ко второй, дуги можно обозначать следующим образом:

Другим обозначением орграфа является задание множества вершин Х и соответствия Г(. Соответствие Г показывает, как между собой связаны вершины и называются отображением множества ХвХ, а граф обозначается G=(ХГ).

Для орграфа соответствие Г(, т.е. вершины , являются конечными вершинами дуг, у которых начальной вершиной будет

Г =

Г() = (

Г(  = ø

Г() =

В случае неографа предполагается, что соответствие Г задает такой ориентированный граф, который получится из исходного графа заменой каждого ребра двумя противоположного направленными дугами, соединяющими те же вершины.

Например:

Г()=()

Так как Г() представляет множество вершин , для которых G существует дуга (), то через () обозначает множество вершин , для которых в графе существует дуга () и её называют обратным соответствием.

Например: для орграфа G(рисунок 3)

Если отображение Г() распространяется не на одну вершину, а множество вершин , а под множеством Г() понимают объединение Г()U Г()U… U Г() для орграфа (рисунок 3) оно будет выглядеть так:

Г({ })= { }, Г({ })={ }

Отображение Г(Г())→ (), а тройное отображение Г(Г(Г()))→ () и так далее.

Для нашего орграфа (рисунок 3)

()= Г(Г())= Г({ }={ }

() Г( ())=Г({ })={ }

С каждой вершиной графа связано два множества:

()- это множество тех, смежных  – вершин, в которых заходят в дуги из .

()- это множество таких вершин смежных , из которых выходят дуги, заканчивающиеся .

Вершины и называются смежными если существует дуга(ребро) U(), соединяющая их.

Например (), (), (), вершины () нашего (рисунок 1)орграфа, не являются смежными.

Если вершины  и  являются концами дуги, то говорят, что эти вершины инцидентны дуге U или дуга U инцидентна вершинам и .

Степенью или валентностью вершины графа называется количество инцидентных ей дуг и обозначается d()= Г().

В нашем примере орграфа (рисунок 1) d()= 4, d()=2.

Вершина, степень которой равна нулю называется изолированной.

Число дуг орграфа, который имеет вершину  своей начальной вершиной называется полустепенью исхода и обозначается ().

Аналогично количество дуг орграфа, который имеет вершину  конечной вершины называется полустепенью захода и обозначается .

Например, для нашего рисунка 1

()=3, ()=1, ()=1, ()=2

Теорема Эйлера

Сумма степеней вершин графа ровна удвоенному количеству дуг или рёбер

Где n- число вершин графа,

 m –число дуг.

Следствие №1

Число вершин нечётной степени всегда чётное.

Следствие №2

Сумма полу степеней вершин орграфа равна удвоенному числу дуг

Путем или ориентированным маршрутом орграфа называется последовательность дуг, в котором конечная вершина любой дуги отличной от последней является начальной вершиной следующей. Для нашего примера (рисунок 1) пути из вершины  в вершину .

=

Ориентированной цепью (орцепью) или простым путём называется такой путь, в котором каждая вершина графа используется не более одного раза.

Маршрут – это неориентированный «двойник» пути. Это понятие рассматривается в тех случаях, когда можно пренебречь направленностью в орграфе.

Маршрут – это последовательность рёбер  , , …,  , в котором каждое ребро , за исключением первого и последнего ребра связано с ребрами   и  своими двумя концевыми вершинами.

Последовательность дуг в орграфе (рисунок 1)

Являются маршрутными.

Черта под дугой указывает исключение ориентации, то есть дуги рассматриваются как рёбра.

Маршруты бывают:

· простые и цепи (ребро в таком маршруте используется только один раз)

· элементарный (простые цепи)- в котором вершины встречаются только один раз.

Маршрут -простой, -цепь, - ни цепь и ни простой

Петлёй называется дуга графа, у которой начальной и конечной точки вершины совпадают (рисунок 1,  ).

Путь ,….,  называется замкнутым, если в нём конечная вершина дуги совпадает с начальной вершиной дуги .

Замкнутые пути орграфа называются контурами.

Замкнутые маршруты (цепи) в неографах называются циклами.

Экономико-математические методы и моделирование

Основным методом решения экономических задач является метод моделирования, основанный на разработке и использовании моделей. Процесс моделирования включает 3 основных структурных элементов:

1. Объект исследования

2. Исследователь

3. Модель

Модель – это образ реального объекта в материальной или идеальной форме, отражающий основные свойства моделируемого объекта и заменяющие его в ходе изучения (рисунок или макет будущего здания, электронная схема радиоприёмника).

Процесс разработки модели реального объекта или явления и изучение этих объектов и их моделей называется моделированием.

Модели классифицируются на основе различных характеристик. По средствам моделирования модели делятся на:

· Материальные (предметные)

· Идеальные (абстрактные)

Материальные модели отражают физические, геометрические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта или явления. К ним относятся модели уменьшенных размеров (макеты).

Идеальные модели в экономике носят теоретический характер, так как это результат человеческого мышления.

Математическими моделями экономических задач называются модели, в которых существуют характеристики реального объекта и значения экономических показателей, записанные в виде математической зависимости, формул, графиков.

Математические модели бывают определённые и неопределённые.

Определёнными называются модели, в которых исходные данные, рассматриваемой задачи полностью определены.

Неопределённые позволяют решать экономические задачи, параметры которого определяются вероятностными оценками.

Этапы экономико-математического моделирования:

1 этап – постановка экономической цели и формирование критериев. На данном этапе требуется сформировать сущность проблемы, выделить основные черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру, т.е. сделать его доступным.

 2 этап – подготовка исходной информации, состоящей из двух частей:

1) упорядочивание и подбор информации

2) на базе имеющихся данных, изучающих объект или явление.

3 этап – построение математической модели. Выбор математического аппарата, отражающий условный образ объекта.

4 этап – математический анализ моделей или конструирование моделей. Исследуются общие свойства модели и методы её решений. При аналитическом решении задач необходимо определить единственность её решений.

5 этап – численные вычисления. Разработку методов решения построенной модели и серию экспериментальных расчётов с учётом возможных вариантов конкретной задачи.

6 этап – анализ численных результатов и их применение. Модель проверяется по правильности, а также на применение в практической деятельности.

Все 6 этапов носят циклический характер.

 

Моделирование коммерческой деятельности

Под социально- экономической системой понимается вероятностная динамическая система, охватывающая процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ.

Данная система определяется 4-мя признаками:

1) целостность системы

2) наличием цели и критерия исследования данного множества элементов

3) наличием более крупной системы «средой»

4) возможностью выделения в данной системе взаимосвязанных частей.

Примеры экономико-математических моделей:

1. планирование товарооборота

2. перевозка грузов (транспортная задача)

3. задача о назначениях.

Линейное программирование

Линейное программирование – это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума (максимума или минимума) в задачах, которые описываются линейными уравнениями. Причем, линейным уравнением описывается как сама целевая функция, так и переменные (входные параметры).

Необходимым условием задач линейного программирования является обязательное наличие ограничений на ресурсы (сырье, материалы, финансы, спрос).

Еще одним условием решения задачи является выбор критерия – основа алгоритма, т.е. целевая функция должна быть оптимальной, и эта оптимальность должна быть выражена количественно.

Критерий оптимальности дожжен удовлетворять следующим требованиям:

1) Быть единственным для данной задачи;

2) Измеряться в единицах количества;

3) Линейно зависеть от входных параметров.

Стандартная задача линейного программирования – задача, в которой требуется определить максимальное либо минимальное значение целевой функции при ограничениях неравенств и условиях.

Каноническая задача линейного программирования – задача, которая заключается в определении максимального значения целевой функции при выполнении ограничений уравнений.

Сформулируем задачу линейного программирования в общем виде:

1) Найти экстремум целевой функции:

F(x) = )                            (1)

2) При ограничениях в виде равенств:

                                        (2)

 

3) При ограничениях в виде неравенств:

                                          (3)

 

4) При условиях неотрицательности входных параметров:

                                                         (4)

5) В краткой форме задача линейного программирования может быть записана:

                                                                         (5)

При условии:

 при j =1,2,…,m;                                                              (6)

 где  – входные переменные,

 – числа положительные, отрицательные, равные нулю.

В матричной форме эта задача может быть записана:

Cx → max, при Ax ≤ b или Ax ≥ b, x ≥ 0                                                   (7)