Раздел 2. Повторные независимые испытания. Приближенные формулы для расчета вероятности.

2.1. Формула Бернулли.

    Предположим что производится  независимых испытаний, в каждом из которых событие  может либо наступит либо не наступить. Пусть вероятность наступления события  в каждом испытании равна , тогда вероятность того что это событие не наступит: .

Поставим перед собой следующую задачу: вычислить вероятность того, что при  испытаниях, событие  осуществится раз и, следовательно, не осуществится раз. При этом, не требуется чтобы событие  повто-рилось ровно  раз в определенной последовательности. Последовательность может меняться включая появление и не появление события , т. е., другими словами, появление события . Эта вероятность вычисляется по следующей формуле получившей название формулы Бернулли:

                                          (15)

Замечание: Если требуется вычислить вероятность наступления события “ ” от “  “ до “ “ раз при “ ” независимых испытаниях, то (15) при-нимает вид:

                                                      (16)

При решении каждой задачи данного параграфа, прежде всего, необходимо установить, что рассматриваемый эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли, т. е. необходимо проверить, что: 1) проводимые испытания независимы; 2) каждое испытание имеет два исхода; 3) вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна .

При больших значениях , вычисление вероятностей  с помощью формулы Бернулли оказывается довольно сложным. Поэтому оно проводится с помощью других приближенных формул.

Формула Пуассона.

    В том случае, если количество испытаний велико , а вероятность события мала , так что ,  и . то используется приближенная формула Пуассона:

                                                                                (17)

Формулы Муавра-Лапласа..

    Если количество испытаний велико , а вероятности  и  достаточно большие, так что выполняются условия;  и , то применяют следующие приближенные формулы Муавра-Лапласа:

– локальная  где; ; – функция Гаусса.

– интегральная

где  – функция Лапласа.

Функция  – четная (, а – нечетная () Обе функции табулированы (см. Приложение).

Пример 23. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии: 

1) не превысит нормы в течение: а) 4-х суток; б) от 3-х до 4-х суток;

2) превысит норму по крайней мере в течение двух суток.

Решение: 1. Введем событие - это нормальный расход энергии в течение суток, поэтому . Тогда событие  - превышение нормы расхода электроэнергии в течение суток, то есть:

.

Ответим на поставленные вопросы задачи:

а) число испытаний

Событие  наступит 4 раза, т. е. , ;

Используя формулу Бернулли (5), получим:

б) число испытаний .

Событие  наступит от 3-х до 4-х раз, то есть , тогда ; .

Используя формулы (6), (5), получим:

2. Число испытаний .

Событие  наступит от 0 до 2-х раз, то есть , тогда ; .

Используя формулы (6), (5), получим: