Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:

Для косинуса:

Для тангенса и котангенса:

Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: 2cos2(x+π6)−3sin(π3—x)+1=02cos2(x+π6)-3sin(π3—x)+1=0

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

2cos2(x+π6)−3cos(x+π6)+1=02cos2(x+π6)-3cos(x+π6)+1=0,

делаем замену: cos(x+π6)=ycos(x+π6)=y, тогда 2y2−3y+1=02y2-3y+1=0,

находим корни: y1=1,y2=12y1=1,y2=12, откуда следуют два случая:

1. cos(x+π6)=1cos(x+π6)=1, x+π6=2πnx+π6=2πn, x1=−π6+2πnx1=-π6+2πn.

2. cos(x+π6)=12cos(x+π6)=12, x+π6=±arccos12+2πnx+π6=±arccos12+2πn, x2=±π3−π6+2πnx2=±π3-π6+2πn.

Ответ: x1=−π6+2πnx1=-π6+2πn, x2=±π3−π6+2πnx2=±π3-π6+2πn.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: sinx+cosx=1sinx+cosx=1.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: sinx+cosx−1=0sinx+cosx-1=0. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

sinx—2sin2 x2=0sinx—2sin2 x2=0,

2sin x2cos x2−2sin2 x2=02sin x2cos x2-2sin2 x2=0,

2sin x2(cos x2−sin x2)=02sin x2(cos x2-sin x2)=0,

1. sin x2=0sin x2=0, x2=πnx2=πn, x1=2πnx1=2πn.
2. cos x2−sin x2=0cos x2-sin x2=0, tg x2=1tg x2=1, x2=arctg1+πnx2=arctg1+πn, x2=π4+πnx2=π4+πn, x2=π2+2πnx2=π2+2πn.

Ответ: x1=2πnx1=2πn, x2=π2+2πnx2=π2+2πn.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

asinx+bcosx=0asinx+bcosx=0 (однородное уравнение первой степени) или asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на cosx≠0cosx≠0 — для первого случая, и на cos2x≠0cos2x≠0 — для второго. Получим уравнения относительно tg xtg x: a tg x+b=0a tg x+b=0 и a tg2x+b tg x+c=0a tg2x+b tg x+c=0, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: 2sin2x+sinxcosx—cos2x=12sin2x+sinxcosx—cos2x=1.

Решение. Запишем правую часть, как 1=sin2x+cos2x1=sin2x+cos2x:

2sin2x+sinxcosx—cos2x=2sin2x+sinxcosx—cos2x= sin2x+cos2xsin2x+cos2x,

2sin2x+sinxcosx—cos2x−2sin2x+sinxcosx—cos2x- sin2x—cos2x=0sin2x—cos2x=0

sin2x+sinxcosx—2cos2x=0sin2x+sinxcosx—2cos2x=0.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на cos2x≠0cos2x≠0, получим:

sin2xcos2x+sinxcosxcos2x—2cos2xcos2x=0sin2xcos2x+sinxcosxcos2x—2cos2xcos2x=0

tg2x+tgx—2=0tg2x+tgx—2=0. Введем замену tgx=ttgx=t, в результате t2+t—2=0t2+t—2=0. Корни этого уравнения: t1=−2t1=-2 и t2=1t2=1. Тогда:

1. tgx=−2tgx=-2, x1=arctg(−2)+πnx1=arctg(-2)+πn, n∈Zn∈Z
2. tgx=1tgx=1, x=arctg1+πnx=arctg1+πn, x2=π4+πnx2=π4+πn, n∈Zn∈Z.

Ответ. x1=arctg(−2)+πnx1=arctg(-2)+πn, n∈Zn∈Z, x2=π4+πnx2=π4+πn, n∈Zn∈Z.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: 11sinx—2cosx=1011sinx—2cosx=10.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: 22sin(x2)cos(x2)−22sin(x2)cos(x2)- 2cos2x2+2sin2x2=2cos2x2+2sin2x2= 10sin2x2+10cos2x210sin2x2+10cos2x2

4tg2x2—11tgx2+6=04tg2x2—11tgx2+6=0

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. tgx2=2tgx2=2, x1=2arctg2+2πnx1=2arctg2+2πn, n∈Zn∈Z,
2. tgx2=34tgx2=34, x2=arctg34+2πnx2=arctg34+2πn, n∈Zn∈Z.

Ответ. x1=2arctg2+2πn,n∈Zx1=2arctg2+2πn,n∈Z, x2=arctg34+2πnx2=arctg34+2πn, n∈Zn∈Z.