Основные метрические задачи стереометрии

Основные метрические задачи стереометрии

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построение плоскости, перпендикулярной данной прямой

Знаем, что, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (признак перпендикулярности прямой и плоскости)

Поэтому нужно найти (построить) две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна данной прямой. Через эти прямые проводится искомая плоскость.

 

Построение плоскости, перпендикулярной данной плоскости

Знаем, что если одна плоскость перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу ( признак перпендикулярности плоскостей)

Поэтому построение сводим к ПОСТРОЕНИЮ 1, для чего:

1. Выбираем в данной плоскости прямую, к которой легко построить перпендикуляры.
2. Проводим к этой прямой две пересекающиеся прямые, каждая из которых к ней перпендикулярна.
3. Через эти две прямые проводим искомую плоскость.

 

Построение перпендикуляра к плоскости

По свойству перпендикулярных плоскостей: если прямая, лежащая в одной из перпендикулярныхплоскостей, перпендикулярна линии пересечения плоскостей, то она перпендикулярна и второй плоскости.

Поэтому построение сводим к ПОСТРОЕНИЮ 2:

1. Строим вспомогательную плоскость, перпендикулярную данной плоскости.
2. Находим линию пересечения плоскостей.
3. Во вспомогательной плоскости проводим перпендикуляр к линии пересечения плоскостей.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задача 1. Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками – длина отрезка, соединяющего эти точки.

Его длина (в общем случае) находится по теореме косинусов из треугольника, в котором этот отрезок является стороной. При этом должны быть известны две другие стороны и угол.

 

Задача 2. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Расстояние от точки А до прямой ВС – высота АН треугольника АВС. Для ее вычисления нужно:

1. Найти все стороны треугольника АВС
2. Если треугольник равнобедренный, по теореме Пифагора найти его высоту ВК, проведенную к основанию АС, а затем по свойству площади записать АС∙ВК=ВС∙АН, откуда найти искомую величину АН.
3. Если треугольник общего вида, то по теореме косинусов найти косинус угла В, затем, пользуясь основным тригонометрическим тождеством, найти синус угла В, после чего вычислить высоту как катет прямоугольного треугольника:  АН=ВА∙ sinB.

 

Задача 3. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Поэтому сначала выполняем ПОСТРОЕНИЕ 3. После чего выясняем, лежит ли данная точка в построенной плоскости.

1. Если данная точка лежит в построенной вспомогательной плоскости, то достаточно провести из данной точки перпендикуляр к линии пересечения плоскостей. Длина этого перпендикуляра – искомое расстояние.
2. Если данная точка не лежит в построенной плоскости, то нужно перенести данную точку в построенную вспомогательную плоскость без изменения искомого расстояния. Для этого через неё проводим прямую, параллельную данной плоскости, находим точку пересечения этой прямой со вспомогательной плоскостью, а затем уже опускаем перпендикуляр из этой точки к линии пересечения плоскостей.

Задача 4. Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся.

1. Для его построения необходимо через точку, лежащую на одной прямой, провести прямую, параллельную другой прямой.
2.  Построенный таким образом угол находим по теореме косинусов из треугольника, содержащего этот угол. (При этом нужно помнить, что угол между двумя прямыми не может быть тупым по определению, а потому при получении тупого угла в ответ записываем смежный с ним острый угол).

Основные метрические задачи стереометрии

------------------------------------------------------------------------------------------------------