Обработка равноточных измерений одной величины

№ пп	Результаты измерений l, м	см	v ^2,
1	126,40	– 9	81
2	126,43	– 12	144
3	126,38	– 7	49
4	126,30	+ 1	1
5	126,36	– 5	25
6	126,31	0	0
7	126,28	+ 3	9
8	126,24	+ 7	49
9	126,20	+ 11	121
10	126,23	+ 8	64
11	126,26	+ 5	25
12	126,33	– 2	4

 

                            L = 126,31                         [ v ] = 0            [ v ²] = 572

 

 

 см;  см;

 

.

Ответ: L = 126,31 м; см; см; .

8.2. Оценка точности функций измеренных величин

    Среднюю квадратическую погрешность  функции u независимых аргументов x, y, z, … вычисляют по формуле:

 

,

где – значения частных производных функции по переменным; – средние квадратические погрешности аргументов.

Порядок вычислений:

1. Установить аналитическое выражение функции, т. е. написать формулу, по которой вычисляется оцениваемая величина (функция) через аргументы, средние квадратические ошибки которых даны в условии задачи.

2. Записать формулу средней квадратической погрешности функции применительно к условиям данной задачи.

3. Взять частные производные функции по каждому аргументу (при этом остальные аргументы считаются постоянными).

4. Проанализировать надобность использования величины  для представления угловых величин в радианной мере (напомним, что ).

5. Подставить необходимые данные в формулу средней квадратической погрешности функции с соблюдением размерностей.

6. Записать ответ с указанием размерности.

 

Задача 1. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения, вычисленного по горизонтальному расстоянию d = 124,16 м и углу наклона n = 2°16′, если m_d = 0,01 м, а m _n = 10".

Решение. Превышение вычисляется по формуле тригонометрического нивелирования

h = d tgν.

Формула средней квадратической погрешности функции будет

.

Частные производные:

, .

Подставляя исходные данные, найдем

 = 0,006 м.

В последней формуле учтено число секунд в радиане, равное 206265".

Ответ:  м.

Задача 2. В треугольнике измерены два угла aи b с погрешностями и . Найти среднюю квадратическую погрешность третьего угла g, вычисленного как дополнение до 180° двух измеренных.

Решение. Функция имеет вид .

Формула средней квадратической погрешности функции

.

Частные производные .

Тогда

Ответ: .

    Задача 3. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения на станции технического геометрического нивелирования, если погрешность одного отсчета по рейке 1 мм.

Решение. Превышение h при геометрическом нивелировании находится как среднее значение превышений по черным и красным сторонам реек, а именно . В свою очередь превышения  и  вычисляются как разности отсчетов по задней (а) и передней (b) рейкам:

 

, .

Формула средней квадратической погрешности превышения  запишется

.

Частные производные

, .

Тогда мм.

Аналогично можно вычислить среднюю квадратическую погрешность , которая также будет равна мм.

Запишем формулу средней квадратической погрешности  превышения на станции

.

Частные производные ; .

Тогда, окончательно мм.

Ответ: мм.

    Задача 4. Вычислить среднюю квадратическую погрешность измерения расстояния нитяным дальномером, если средняя квадратическая погрешность в определении отрезка n по рейке, равного разности отсчетов по верхней и нижней нитям сетки,  мм.

Решение. Расстояние, измеренное нитяным дальномером, определяется по формуле d = Kn, где K = 100 – коэффициент нитяного дальномера.

Средняя квадратическая ошибка функции d одного переменного n запишется

.

Т.к. , то m_d = Km_n.

Подставляя K = 100 и m_n = 3 мм, получим:

 

м.

Ответ: м.

 

 

8.3. Обработка результатов неравноточных измерений одной величины

Неравноточными называются измерения, выполненные приборами разной точности, разным числом приемов, в различных условиях. Для обработки неравноточных измерений каждому измерению присваивают свой вес, вычисляемый по формуле , где с – произвольное число, назначаемое так, чтобы веса были близки к 1.

Математическая обработка ряда результатов l ₁, l ₂, …, l _n прямых неравноточных измерений одной величины выполняется в следующей последовательности.

1. Вычисление весового среднего (общей арифметической средины)

.

2. Вычисление поправок к результатам измерений

ν _i = L ₀ – l _i, (i = 1, 2,…, n).

Контролем правильности вычислений служит равенство

[ pv ]» 0.

3. Вычисление средней квадратической погрешности одного измерения по уклонениям от арифметической средины, используя формулу Бесселя для неравноточных измерений

4. Вычисление средней квадратической погрешности весового среднего

Обработку выполняют в таблицах установленной формы. Пример обработки многократных измерений угла, выполненных разным числом приемов и с различной точностью приведен в табл. 8.2.

В примере веса измерений вычислены по формуле , где С = 100.

 

 

Таблица 8.2