Учебный модуль Дифференциальное исчисление.

Учебный модуль Дифференциальное исчисление.

Тема Дифференциальное исчисление функции одной переменной

ЛЕКЦИЯ 1. Определение производной. Правила дифференцирования.

Пусть задана некоторая функция y = f (x). Выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х ₁. Обозначим за Dх разность между двумя значениями аргумента D х = х ₁ – х, (т.е х ₁ = х +D х).

Замечание. D х может быть как больше нуля, если х ₁ > х, так именьше нуля, если х ₁ < х.

Вычислим значения функции в этих точках y = f (x) и y ₁₌ f (x ₁).

Приращением функции D f (x) называется разность между двумя значениями функции D f (x) = f (x ₁) - f (x) = y _{1 –} y  или D f (x) = f (х + D x) – f (x).

Если при D х ® 0 существует конечный предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, то функция f (x) называется дифференцируемой в точке  х, а значение предела называется производной от функции   f (x) в точке х и обозначается

         (1.1)

 

Производная – это функция от того же аргумента, что и f (x). Операция вычисления производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f (x), отметить точки х и х ₁ = х + D х, то МС = D х, NC = D f (x). Величина отношения

 

                                                                                                       (1.2)

 

равна тангенсу угла наклона секущей MN к оси абсцисс (см. рис.1.1).

Если Dх ® 0, то точка N стремится по графику функции к точке M, секущая MN стремится занять положение касательной МК к графику функции f (x) в точке M, угол наклона секущей α стремится к углу наклона касательной φ. Сравнивая формулы (1.1) и (1.2) мы можем сказать, что значение производной f ¢(x) в точке х равно тангенсу угла наклона касательной к графику y = f (x) в точке М с координатами (х, f (x)).

Уравнение касательной в точке М

,

уравнение нормали

,

 

Рис. 1.1. Геометрический смысл производной

 

В механике производная от пути по времени есть скорость . Если функция  описывает какой-либо физический процесс, то производная y ’ есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Правила дифференцирования.

На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Производная постоянной С равна нулю

       (C)` = 0                                                                                                             (1.3)

Производная линейной комбинации функций f ₁ (x) и f ₂(x)

у (х) = с₁f₁ (x) +c₂f₂ (x),                                                                                                (1.4)

где с₁ и c₂ произвольные постоянные, равна линейной комбинации производных

у ¢(x) = (с₁f₁ (x) +c₂f₂ (x)) ¢ = с₁f₁ ¢ (x) +c₂f₂ ¢ (x).                                                             (1.5)

Следствие. Постоянный множитель С можно вынести за знак производной

(С у (x)) ¢= С у ¢(x).

Производная произведения функций у (x) = f (x) g (x) вычисляется по правилу: произведение производной от первой функции на неизменную вторую плюс произведение производной от второй функции на неизменную первую

у (x)’ = (f (x)g(x))¢ = f ¢(x)·ּ g (x) + f (x)·ּg ¢(x).                                                     (1.6)

Правило можно обобщить на случай производной произведения n функций

 (f ₁(x) f ₂(x) .. …. … f _n(x))¢ =

= f ₁(x)¢   f ₂(x) …. f _n(x)+ f ₁(x) f ₂(x)¢ …. f _n(x)+….+ f ₁(x) f ₂(x) ….. f _n(x)¢

Производная частного двух функций у (x) = f (x)/ g (x) вычисляется по правилу

                                          (1.7)

 

Таблица производных основных элементарных функций

 

Производная степенной функции	Производная степенной функции
Производная экспоненциальной функции	Производная экспоненты
Производная сложной экспоненциальной функции	Производная экспоненциальной функции
Производная логарифмической функции	Производная натурального логарифма
	Производная натурального логарифма функции
Производная синуса	Производная косинуса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная тангенса	Производная котангенса
Производная арктангенса	Производная арккотангенса
Производная арктангенса	Производная арккотангенса

 

Примеры.

1. (6 sin x - 2 ln x)¢ = (6 sin x)¢ - (2 ln x)¢ = 6 (sin x)¢ - 2 (ln x)¢ = 6 cos x -

2. (lnx∙cosx)' = ∙cosx - lnx∙sinx

3.

 

Правила дифференцирования

Производная произведения (функции) на постоянную:
Производная суммы (функций):
Производная произведения (функций):
Производная частного (функций):
Производная сложной функции:

 

Дифференцирование сложной функции. Пусть дифференцируемая функция g (x) является аргументами другой функции f (x). В этом случае говорят о сложной функции   у (x) = f (g (x)) или суперпозиции функций f и g.

Вычислим производную сложной функции. Найдем приращение функции D у (x). Для этого выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х ₁ = x + D x. Вычислим соответствующие значения функции g (x + D x) и g (x) и найдем ее приращение

D g (x) = g (x + D x) - g (x)  g (x + D x) = g (x) + D g (x).

Аналогично найдем значения функции f (g (x + D x)) и f (g (x)). Тогда

 

D f = f (g (x +D x)) – f (g (x)) = f (g (x) + D g (x)) – f (g (x)).                    (1.8)

 

Подставим выражение (1.8) в (1.1). Умножим и разделим на D g (x) и сгруппируем сомножители. Тогда производная сложной функции

 

     (1.9)

 

 

В компактной форме производную от сложной функции можно записать так

 

                                                   (1.10)

Иначе, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Пример. у = ln (sin (x ²)). Эта сложная функция состоит из следующих отдельных функций: f = ln g, g = sin h, h = x ². При этом

 

Тогда

Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

  

Решение.

1.

2.  есть сложная функция , где .

Производная сложной функции имеет вид  . Следовательно,

.

 - сложная функция , где , а ,

.

Теорема Ролля

Пусть функция у = f (x):

1. непрерывна на отрезке [a, b],

2.  дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a,b),

3. f (а) = f (b).

Тогда внутри отрезка (a, b) существует по крайней мере одна точка , в которой производная обращается в ноль – f `(c) = 0.

Замечание. Точка с является корнем производной. Если f(а) = f(b) =0, то теорема формулируется так: между корнями функции лежит корень производной.

Формула Лагранжа (формула конечных приращений). Пусть функция у = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a,b), то внутри отрезка существует по крайней мере одна точка с a < c < b в которой справедливо равенство: полное приращение функции равно производной, вычисленной в точке с, умноженной на длину промежутка

f (b) - f (а) = f `(c)(b - а).                                                                                        (7.18)

 

В точке с касательная параллельна секущей MN (см. рис. 7.4).

Рис. 2.1. Геометрический смысл формулы конечных приращений.

 

Правило Лопиталя. Пусть функции f (x) и g (x) на отрезке [a,b] удовлетворяют условию теоремы Коши и f (с) = g (с) = 0 (a < c < b), то, если существует предел отношения производных при х →с, то существует и предел отношения функций в этой точке, причем

                                           (2.1)

Замечание. Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей типа .

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Если производные  и  удовлетворяют тем же условиям, что и функции  и , теорему (2.1) можно применить ещё раз:

.                                 (2.2)

Пример. Вычислить предел .

Решение. Так как е^-х = 1/е^х, то предел можно преобразовать к виду  

.

ЛЕКЦИЯ 3. Приложение производных к исследованию функций.

Использование производных позволяет прояснить многие особенности в поведении функций. Наиболее важными особенностями функций являются интервалы монотонности и точки экстремумов функций.

Если функция относится к классу дифференцируемых монотонных функций, то ее производная сохраняет знак на интервале монотонности, причем возрастающая функция имеет положительную производную, а убывающая – отрицательную. Действительно, если Δх > 0, то так как

 

 

то знак производной совпадает со знаком приращения функции.

Для возрастающих функций

 

 Δf(x) > 0 f `(x) > 0,

 

для убывающих функций 

 

Δf(x) < 0 f `(x) < 0.

Необходимые условия возрастания и убывания функций: если дифференцируемая на интервале  функция  возрастает (убывает), то
.

Достаточные условия: если функция  дифференцируема на интервале  и
, то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке х ₀, если она определена как в точке х ₀, так и в окрестности этой точки, и значение функции в точке х ₀ больше (меньше), чем ее значения во всех соседних точках: т. е.

 

f (х ₀) > f (x) в точках максимума

 

f (х ₀) < f (x) в точках минимума

 

для всех х из окрестности точки х ₀.

 

Минимумы и максимумы функции объединены единым понятием – экстремумы. До точки максимума функция возрастает, следовательно, ее производная положительна

 

f `(x) > 0

 

после точки максимума – убывает, производная отрицательна

 

f `(x) < 0.

 

Для точки минимума первоначально функция убывает

 

f `(x) < 0,

 

а потом возрастает

 

f `(x)>0).

 

В самих точках экстремумов производная или равна нулю (обычный экстремум) или не существует (острый экстремум). На рис. 3.1 функция имеет экстремумы в точках х₁, х₂ и х₃, причем в точке х₁ – острый максимум, а в точках х₂ и х₃ обычный минимум и максимум.

Тем самым, в точках экстремумов функции производная равна нулю или не существует (необходимое условие экстремума) и меняет знак с «+» на «-» в точках максимумов и с «-» на «+» в точках минимумов (достаточные условия экстремума).

 

 

Рис. 3.1. Экстремумы функции

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Не все стационарные точки являются точками экстремумов. В стационарных точках надо проверять достаточное условие экстремума.

Замечание. Не надо путать наибольшее и наименьшее значение и экстремумы. Экстремум достигается всегда внутри промежутка, а наибольшее и наименьшее значения могут достигаться и в точках экстремумов, и на границах промежутка, и в точках разрыва. На рис. 3.1 точка х₃ является точкой максимума и в ней также достигается наибольшее значение, наименьшее значение достигается в точке а, т.е. на границе промежутка.

 

Функция называется выпуклой (выпуклость вверх) на интервале (a,b), если график функции лежит под любой касательной в каждой точке интервала, на всем интервале выпуклости вторая производная отрицательна f ``(x) < 0.

Функция называется вогнутой (выпуклость вниз) на интервале (a,b), если график функции лежит над любой касательной в каждой точке интервала, на всем интервале вогнутости вторая производная положительна f ``(x) > 0.

Следовательно, в точках экстремумов вторая производная имеет определенный знак (достаточное условие экстремума по второй производной):

в точках максимумов f ``(x ₀) < 0,

в точках минимумов f ``(x₀) > 0.

Достаточное условие существования точек перегиба. Если вторая производная  при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой  есть точка перегиба (рис. 3.2).

 

Рис. 3.2. Выпуклость и вогнутость кривой. Точка перегиба.

Пример:

  y = x ² e^{- x}   y `= 2 x e^{- x} - x ² e^{- x} = x e^{- x} (2 – x);

 y `= 0 если x = 0 или x = 2, это стационарные точки.

y ``= (2 x e^{- x} – x ²e^{- x} ))’ = 2e^-x - 2 x e^-x – 2 x e^-x + x ² e^-x = e^-x(2 - 4 x + x ²);

y``= 0 если x_1,2 =2 ,

это точки перегиба

 y``(0) = 2 > 0,

следовательно, в точке х = 0 минимум,

y``(2) = -2e^-2 < 0, следовательно в точке х = 2 максимум.

 

Асимптоты графика функции.

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы (в теме «кривые второго порядка»).

Определение: асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 3.3).

 Рис. 3.3.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными. Горизонтальная асимптота – это частный случай наклонной асимптоты.

Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции
.

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 3.3 видно, что расстояние точки  кривой от прямой . Если . Согласно определению асимптоты, прямая  является асимптотой кривой . Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения x, вблизи которых функция  неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой для функции f (x), если при х→∞ расстояние от переменной точки графика функции М до прямой стремится к нулю (рис. 3.4). При этом

,        .

Рис. 3.4. Наклонная асимптота

Если хотя бы один из пределов k и b не существует или равен бесконечности, то кривая  наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если . Поэтому

Замечание: Асимптоты графика функции  могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов k и b следует отдельно рассматривать случай, когда .

Пример. y = x e^-x.

, .

Прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой.

Учебный модуль Дифференциальное исчисление.