Список используемых источников

3 Ушаков П.А. Цепи и сигналы электросвязи: учебник для студ. учреждений сред.проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2010. – 352 с. ISBN 978-5-7695-5669-2

4 Каганов В.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Компьютеризированный курс. Учебное пособие. – М.: ФОРУМ, 2011. – 432 с. ISBN5-8199-0151-7

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 8 АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

 

Цель работы: изучить способы описания нелинейных элементов. Научиться отображать ВАХ нелинейных элементов в математической форме, рассчитывать параметры нелинейной цепи при гармоническом воздействии на нее.

Студент должен:

знать:

- основные нелинейные преобразования сигналов;

- виды аппроксимирующих функций;

- способы реализации нелинейных функций;

уметь:

- пользоваться справочной литературой;

- анализировать работу нелинейной цепи;

- определять параметры аппроксимирующих функций.

 

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Способы описания характеристик нелинейных элементов, Как правило, вольт-амперные характеристики нелинейных элементов получают экспериментально; гораздо реже удается найти их из теоретического анализа. Для изучения процес­сов в радиотехнических цепях, содержащих такие элементы, необходимо прежде всего отобразить вольт-амперные харак­теристики в математической форме, пригодной для расчетов.

Простым и весьма точным способом может явиться представление характеристики в виде таблицы. Этот способ особенно удобен для анализа процессов в цепях с по­мощью ЭВМ; аргумент и функция образуют в запоми­нающем устройстве двумерный массив чисел.

Если исследование должно проводиться не численными, а аналитическими методами, то требуется подобрать такую аппроксимирующую функцию, которая, будучи довольно простой, отражала бы все важнейшие особенности экспе­риментально снятой характеристики с достаточной степенью точности.

В радиотехнике чаще всего используют следующие спо­собы аппроксимации вольт-амперных характеристик нелиней­ных двухполюсников.

Кусочно-линейная аппроксимация. Данный способ основан на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. В качестве при­мера на рисунке 1 показана входная характеристика реаль­ного транзистора, аппроксимированная двумя отрезками прямых.

Аппроксимация определяется двумя параметрами – напря­жением начала характеристики Uн и крутизной S, имеющей размерность проводимости. Математическая форма аппрокси­мированной ВАХ такова:

(1)

Рисунок 1 – Входная характеристика транзистора КТ306 – зависимость тока базы от напряжения промежутка база – эмиттер

Напряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов имеет порядок 0.2-0.8В; крутизна характе­ристики тока базы i _б (u _кэ), как правило, около 10 мА/В. Если же говорить о крутизне характеристики i _к (u _бэ) тока коллектора в зависимости от напряжения база – эмиттер, то последняя цифра должна быть умножена на h _21э – коэффициент усиления тока базы. Поскольку h _21э = 100 ~ 200, указанная крутизна имеет порядок нескольких ампер на вольт (сименсов).

Степенная аппроксимация. Этот способ основан на разло­жении нелинейной вольт-амперной характеристики i (u) в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U₀:

i(u)=a0+ a1*(u-U0)+ a2*(u-U0)^2+…

(2)

Здесь коэффициенты a _0, a _1, a ₂,…- некоторые числа. Коли­чество членов разложения зависит от заданной точности расчетов.

Степенная аппроксимация есть способ преиму­щественно локального описания характеристик; пользоваться ей при значительных отклонениях мгновенных значений входного сигнала от рабочей точки нецелесообразно из-за существенного ухудшения точности.

Показательная аппроксимация. Из теории работы р-n-переходов следует, что вольт-амперная характеристика полупро­водникового диода в области u> 0 описывается выражением

i(u) = I0 [exp (u/uт) - 1]

(3)

где I₀– обратный ток насыщения,

       u_т– температурный по­тенциал, равный 25 мВ для кремниевых приборов при стандартной температуре 300 К.

Показательную зависимость часто используют при изучении нелинейных явлений в радиотехнических цепях, содержащих полупроводниковые устройства. Аппроксимация вполне точна при значениях тока, не превышающих несколь­ких миллиампер. При больших токах экспоненциальная ха­рактеристика плавно переходит в прямую линию из-за влия­ния объемного сопротивления полупроводникового мате­риала.

Кусочно-линейная аппроксимация при гармоническом воздействии. Форма тока в цепи, со­держащей нелинейный элемент с характеристикой (1), на который подано напряжение u (t) = U 0 + Umcosωt видна из построения на рисунке 2.

 

Рисунок 2 – Форма тока в цепи, содержащей нелинейный элемент с кусочно-линейной характеристикой

 

График тока имеет характерный вид косинусоидальнш импульсов с отсечкой. Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства U₀ + Umcos θ = Uн, откуда

(4)

Постоянную составляющую и амплитуды гармоник тока вычисляют по формулам:

,

(5)

В которые входят соответствующие функции Берга .

Показательная аппроксимация при гармоническом воздействии. В случае, когда ВАХ двух­полюсника аппроксимирована выражением

(6)

для вычисления спектра тока используют формулу

(7)

где I_k(m) – модифицированная функция Бесселя k-го индекса. Если к нелинейному двухполюснику с экспоненциальной характеристикой приложена сумма напряжений смещения и гармонического сигнала, т. е. u(t) = U0 + Umcosωt, то

(8)

Степенная аппроксимация при гармоническом воздействии. Пусть в окрестности рабочей точки U₀ вольтамперная характеристика нелинейного элемента представлена в виде

i (u)= a 0+ a 1 *(u - U 0)+ a 2 *(u - U 0)^2+…,

(9)

приложенное к нелинейному двухполюснику напряжение

u(t) = U0 + Um cosωt

(10)

Воспользовавшись формулами:

cos²x = 0.5 (1 + cos 2x)

cos³x = 0.25 (3 cos x + cos 3x)

cos⁴x = 0.125 (3 + 4cos 2x + cos 4x)

cos⁵x = 0.0625 (10cos x +5cos 3x +cos 5x)

……………………………………………..

Подставив (10) в (9) получим

i(t)= (a₀ + 0.5a₂ U²m+ 3/8a₄ U⁴m+…)+(a₁Um+3/4a₃U³m+5/8a₅U⁵m+…)+…….

Отсюда вытекают следующие соотношения для расчета постоянной составляющей тока и амплитуд гармоник:

I₀ = a₀ +1/2 a₂U²m + 3/8 a₄U⁴m + …,

I₁= a₁ Um+3/4 a₃U³m + 5/8 a₅U⁵m + …,

I₂= 1/2a₂U²m+1/8a₄U⁴m+.....

....................................................................

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

Задача 1 Найти коэффициенты а₀, а_1, а₂ и а₃, определяющие аппроксимацию вида i _б = a ₀₊ a ₁ *(u _бэ - U ₀)+ a ₂ *(u _бэ - U ₀)²+ a ₃ *(u _бэ - U ₀)³ в окрестности рабочей точки U₀. Данные своего варианта возьмите из табли­цы 2.1. Входные характеристики приведены в ПРИЛОЖЕНИИ А.

Этапы решения

1 Построить входную ВАХ транзистора

2 Определить на графиках рабочую точку

3 Выбрать в окрестности рабочей точки три точки, зафиксировать их координаты.

4 На основании графика ВАХ составить таблицу значений аппроксимируемой функции в выбранных узлах:

 

Таблица 2 – Значения аппроксимированной функции

uбэ,В
iб, мА

 

5 Получить систему уравнений

6 Решив систему уравнений, найти коэффициенты а₀, а_1, а₂ и а_3.

 

Задача 2 Вычислить постоянную составляющую I₀ и первую гармонику I₁ тока.

Нелинейный элемент имеет кусочно-линейную ВАХ с параметрами Uн = Х В, S = Y мА/В.

К данному элементу приложено напряжение (В) u = a + bcos ωt.

Данные своего варианта возьмите из табли­цы 3.

 

Таблица 3 – Исходные данные (N-номер по журналу)

Х,В	0.2N
Y, мА/В	N
a	0.1N
b	N

Этапы решения

1 Определить угол отсечки θ, подставив данные своего варианта в выражение

,

(11)

2 По графику рисунок 2.3, определить значения функций Берга.

3 Определить постоянную составляющую I₀ и первую гармонику I₁ тока по формулам

Рисунок 3 –Графики первых функций Берга

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

Пример 1. Экспериментально снятая входная характеристика i _б = f (u _кэ), транзистора КТ301 задана графиком (рисунок 2.4). Найти коэффициенты а₀, а₁ и а₂, определяющие аппроксимацию вида i _б = a ₀₊ a ₁ *(u _бэ - U ₀)+ a ₂ *(u _бэ - U ₀)² в окрестности рабочей точки U ₀ = 0,7В.

Выбираем в качестве узлов аппроксимации точки 0.5, 0.7 и 0.9 В. Как видно из построения, для нахождения неизвестных коэффициентов следует решить систему уравнений:

 

а0 – 0.2а1 + 0.04а2 =0.05

а0 = 0.15

а0 + 0.2а1 +0.04а2 = 0.5

откуда а0 = 0.15мА, а1 = 1.125мА/В, а2 = 3.125мА/В²

Рисунок 4 – Степенная аппроксимация входной характеристики тран­зистора КТ301

 

Пример 2. Нелинейный элемент имеет кусочно-линейную ВАХ с параметрами

Uн = 0.6В, S = 25 мА/В.

К данному элементу приложено напряжение (В) u = 0.2 + 0.8cos ωt. Вычислить постоянную составляющую I₀ и первую гармонику I₁ тока.

Решение: так как cos θ = (0.6 – 0.2) / 0.8 = 0.5, то θ = 60°.

Значения функции Берга:

γ₀(θ)=  (1/ π)(sinθ – θcosθ) = 0.109, I₀ = 25*0.8*0.109 = 2.18 мА

γ₀(θ)= (1/ π)(θ – sinθcosθ) = 0.196, I₁ = 25*0.8*0.196 = 3.92 мА

 

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1 Название и цель работы.

2 Исходные данные.

3 Входные ВАХ транзистора.

4 Порядок расчета.

5 Таблицы значений аппроксимированных функций.

6 Расчетные значения коэффициентов аппроксимации и амплитуды гармоник тока.

7 Выводы по результатам работы.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1 На какие две группы подразделяются нелинейные цепи?

2 Назовите примеры нелинейных цепей.

3 Сигнал какой формы соответствует нелинейной цепи?

4 Как по спектру сигнала определить нелинейную цепь?

5 Перечислите методы анализа нелинейных цепей.

6 В чем сущность графического метода анализа нелинейной цепи?

7 В чем сущность метода гармонической линеаризации при анализе нелинейной цепи?

8 Кусочно-линейная аппроксимация, сущность, параметры.

9 Степенная аппроксимация, сущность, параметры.

10 Показательная аппроксимация, сущность, параметры.