Шестнадцатеричная система счисления используется для компактного представления (на бумаге или на экране) двоичной информации, хранимой в памяти эвм.

 Алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Мы настолько привыкли к десятичному счету, что число в любой другой системе мало что нам говорит о соответст­вующем ему количестве. Например, что за величина 112₃? Чтобы понять «много это или мало», нужно перевести его в десятичную систему. Сделать это довольно просто.

Число 112₃ содержит в себе 2 единицы, 1 тройку и 1 девятку. Как и в десятичной системе, число можно пред­ставить в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы (в нашем примере — тройки).

112₃ =1х3² + 1х3¹ + 2х3°= 9 + 3 + 2 = 14₁₀

Следовательно, 112₃ = 14₁₀

Переведем двоичное число 101101₂ в десятичную систему счисления. Принцип тот же. Теперь в сумму надо подстав­лять степени двойки:

101101₂= 1 х 2⁵ + 0 х 2⁴+ 1 х 2³ + 1 х 2² + 0 х 2¹ + 1x2°= 32+ 8 + 4 + 1 = 45₁₀.

И еще один пример — с шестнадцатеричным числом:  

15FC₁₆ = 1 х 16³ + 5 х 16²+ 15 х 16¹ + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628

 

Аналогично переводятся дробные числа.

101,11₂ = 1 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2° + 1 х 2^-1 + 1 х 2^-2 =

= 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75₁₀.

А как произвести обратный перевод из десятичной сис­темы в недесятичную (n≠10)? Для этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, содержащие сте­пени n. Например, при n = 2 (двоичная система):

15₁₀ = 8 + 4 + 2 + 1 = 1х2³ + 1х2²+ 1x2¹ + 1 = 1111₂

Эта задача уже посложнее, чем перевод в десятичную систему. Попробуйте, например, таким образом перевести в двоичную систему число 157. Конечно можно, но трудно!

Однако существует процедура, позволяющая легко выпол­нить такой перевод. Она состоит в том, что данное десятичное число делится с остатком на основание системы. Полученный остаток — это младший разряд искомого числа, а полученное частное снова делится с остатком, который равен второй спра­ва цифре и т.д. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя (основания системы). Это частное — старшая цифра искомого числа.

Продемонстрируем этот метод на примере перевода числа 37₁₀ в двоичную систему. Здесь для обозначения цифр в записи числа используется символика: а₅а₄а₃а₂а₁а₀.      

Отсюда: 3710 - 1001012

 

Перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления производится путем последовательных умноже­ний на основание системы с выделением целой части произведений. Однако мы остановимся лишь на целых числах.

 Двоичная арифметика.

Вам хорошо знакомы правила выполнения арифметичес­ких операций с многозначными десятичными числами. В младших классах школы вы учились складывать, вычитать, умножать «столбиком» и делить «уголком». В конечном счете для выполнения вычислений нужно уметь складывать и умножать однозначные числа. Таблицу умножения деся­тичных чисел многие первоклассники заучивают долго и с большим трудом. Но вот если бы в школе изучали не десятич­ную, а двоичную арифметику, проблем бы не было ни у кого и все ученики были бы отличниками! Сейчас вы убедитесь в том, что двоичная арифметика, действительно, очень проста.

С двоичной системой счисления вы уже знакомы. В ней всего две цифры: 0 и 1. Вот все варианты их сло­жения:

0 + 0 = 0,  0 + 1 = 1,  1 + 1 = 10.

Вам уже должно быть понятно, что 10₂ = 2₁₀ (напомним, что нижний индекс обозначает основание системы счисления и всегда записывается в десятичной системе). Ряд двоичных натуральных чисел легко записать, получая каждое следую­щее число путем прибавления единицы к предыдущему.

Таблица 1. Десятичные числа от 1 до 16 и равные им двоичные числа

 

«10»	«2»	«10»	«2»	«10»	«2»	«10»	«2»
1	1	5	101	9	1001	13	1101
2	10	6	110	10	1010	14	1110
3	11	7	111	11	1011	15	1111
4	100	8	1000	12	1100	16	10000

Из таблицы 1 видно, как быстро нарастает количество цифр в двоичных числах. Но этот недостаток двоичной сис­темы компенсируется простотой арифметики. Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел:

1 0 1 1 0 1 1 1 0 1

⁺ 1 1 1 0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1

Двоичная таблица умножения:

0 x 0 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1.

Пример:

111

^х11

111

⁺ 111

10101

 

Вопросы самоконтроля