Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.

Механические (упругие) волны. Основные характеристики волн. Уравнение плоской волны. Поток энергии и интенсивность волны. Вектор Умова.

Любое возмущение состояния вещества или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени называются волнами.

Механической волной называют механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию. Различают два основных вида механических волн: упругие волны (распространение упругих деформаций) и волны на поверхности жидкости. Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с конечной скоростью.

 Пу сть волна распространяется вдоль оси ОХ без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек одинаковы и равны. Пусть в источнике волн изменения колеблющейся системы происходят по закону:

До точки с некоторой произвольной координатой х возмуще­ние от начала координат дойдет через время τ(знак с формулы), поэтому колебания этой точки запаздывают

Т.к время и скорость связаны зависимостью ,

,то получаем:

 

Это и есть уравнение плоской волны

 

 

Основные характеристики волн:

Ø Частота волны – частота колебаний точек среды, в которой распространяется волна.

Ø Фронт волны – геометрическое место точек, до которых к данному моменту дошло колебание (возмущение среды).

Ø Скорость волны (v) – скорость перемещения её фронта.

Ø Длина волны – расстояние, на которое перемещается её фронт за время, равное периоду колебаний частиц среды.

 

Колеблющийся источник волн обладает энергией. В процессе распространения волны каждая частица среды, до которой доходит волна, также колеблется и имеет энергию.

Выделим некоторый объем V упругой среды, в которой распространяется волна с амплитудой A и циклической частотой ω. В этом объеме имеется средняя энергия

где m - масса выделенного объема среды.

Средняя плотность энергии волны    есть энергия волны, сосредоточенная в единице объема среды:

       где ρ - плотность среды.

Интенсивностью волныI называется величина, равная энергии, которую в среднем переносит волна за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волны:

 

где ʋ - скорость распространения волны. В векторной форме

        называется  вектором Умова

 

Ультразвуковая эхолокация

Рассмотрим отражение УЗ-волны от границы раздела двух сред с различными свойствами

Для количественной характеристики процесса вводится понятие коэффициента отражения

 

 

где I _отр - интенсивность отраженной УЗ-волны, I ₀ - интенсивность падающей; I _прош (рис.5) - интенсивность волны, прошедшей во вторую среду.

R -это безразмерная величина, принимающая значения в интервале от нуля (отсутствие отражения) до единицы (полное отражение).

В случае нормального падения волны на границу раздела (рис.5), этот коэффициент можно найти по формуле

 

где ρ ₁ и ρ ₂ - плотности первой и второй среды соответственно; v ₁ и v ₂ - скорости УЗ в этих средах.

На явлении отражения УЗ от границы раздела сред основана эхолокация – метод локализации неоднородностей в средах

 

Источник УЗ посылает ультразвуковой сигнал в импульсном режиме. После нескольких импульсов наступает пауза, в течение которой источник «ожидает» прихода отраженной волны. На экране локатора фактически представлена временная зависимость электрического напряжения, соответствующего посланному и зарегистрированному после отражения УЗ-сигналу. Зная интервал времени между импульсом посылки и отраженным импульсом (рис.6, б), а также скорость волны, можно найти расстояние от источника до границы отражения:

Перенос частиц через мембраны. Уравнение Фика. Применение уравнения Фика к биологической мембране. Уравнение Нернста-Планка.

Важной характеристикой мембран является их способность пропускать или не пропускать молекулы, атомы и ионы. Эти вопросы относятся к явлениям переноса.

Рассмотрим наиболее важные для биологических мембран явления: перенос вещества (диффузию) и перенос заряда (электропроводность).В биофизике также используется термин «транспорт частиц» Основное уравнение диффузии имеет вид:

Это уравнение Фика: I - плотность потока частиц, D - коэффицент диффузии D =___ __________, σ- среднее расстояние между молекулами, m-масса молекулы, n-концентрация молекул,с=m*n-массовая концентрация, τ - среднее время оседлой жизни молекулы           

Если бы диффузия была единственным процессом, управляющим движением ионов через мембрану, то через некоторое время установилось бы равновесное отношение концентраций. Но помимо диффузии действуют также системы активного транспорта – натрий-калиевые насосы, и их действие противоположно направлению нормальной диффузии.

Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.

Колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, называются  затухающими. Убыль энергии связана с действием сил трения в колеблющейся системе и других сил сопротивления. Если для гармонических периодических колебаний амплитуда постоянна, то амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону

где А₀ - начальная амплитуда колебаний в момент времени t = 0, δ- коэффициент затухания, который зависит от сил трения и массы колеблющегося тела. При не слишком больших скоростях силу трения можно считать пропорциональной скорости колебаний v, т.е. F _тр = - rv, где r - коэффициент трения, и в этом случае

где m -масса тела

Значения физических величин, характеризующих затухающие колебания, никогда не повторяются, т.е. затухающие колебания являются непериодическими.

График затухающих колебаний имеет вид:

Вынужденные колебания. Автоколебания. Резонанс

Незатухающие колебания системы, вызываемые действием на нее внешней периодической силы F(t), называются вынужденными.

Сила F(t) называется возмущающей  или вынуждающей силой.

Если F(t) меняется по гармоническому закону:

то соответствующие вынужденные колебания могут быть также  гармоническими с частотой вынуждающей силы:

                                                                                         

где А - амплитуда вынужденных колебаний физической величины, φ₁ - разность фаз между вынужденными колебаниями величины х и силы F(t).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний дается формулой

где F₀ - амплитуда возмущающей силы, m - масса колеблющейся системы, ω₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний системы, ω - циклическая частота внешней силы, δ - коэффициент затухания.

Разберем различные случаи:

1) При ω = 0     А= A ₀ = F₀ /mω₀². При этом колебания не совершаются и отклонение системы из положения равновесия называется статическим отклонением.

2) δ = 0 (отсутствует затухание). Амплитуда вынужденных колебаний А растет с увеличением ω, а при ω = ω₀ А→ ∞. С дальнейшим ростом ω амплитуда А уменьшается.          

3) δ ≠ 0 - затухание существует. Амплитуда вынужденных колебаний А максимальна при

             ω = ω_рез = ω₀                                                           

 

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к значению ω_рез называется резонансом.

Величина ω_рез    называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости А от ω   (рис. 5) – резонансными кривыми. Форма резонансных кривых зависит от величины коэффициента затухания δ.

 

Автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, поступление которой регулируется самой колебательной системой.

Система, совершающая незатухающие колебания за счёт действия источника энергии, не обладающего колебательными свойствами, называется автоколебательной системой.

Любая автоколебательная система состоит из 4 частей:

1. Колебательная система;

2. Источник энергии;

3. Клапан;

4. Обратная связь.

 

Если за время воздействия источника энергии на колебательную систему источник энергии производит над системой положительную (отрицательную) работу и передает ей (отнимает от нее) некоторый запас энергии, то обратная связь называется положительной (отрицательной). Положительная обратная связь используется для возбуждения автоколебаний. В случае отрицательной обратной связи усиливается затухание и автоколебания подавляются