Системы координат и их представления. Метод координат

Системы координат и их представления. Метод координат

Системы координат и их представления

параллельный перенос

=
=
; ; ;

;

A - ортогональная, т.е.
; ;

(Ф-лы поворота)

Общий случай

Метод координат

наз-ся ур-нием линии, если каждая точка линии удовлетворяет этому ур-нию.

Алгебраической кривой наз-ся линия имеющая уравнение - многочлен от (x,y).

- порядок кривой (линии).

3.1.3. Теорема об инвариантности порядка

Если в некоторой ДСК кривая задается ур-нием порядка n, то в любой другой системе координат эта линия задается ур-нием такого же вида, такого же порядка.

Инвариантно - т.е. независимо от выбора системы координат.

(расстояние)

середина отрезка (координат)

формулы деления отрезка в данном отношении.

Полярная система координат

Уравнение прямой линии на плоскости

Теорема: Всякое линейное уравнение вида (общее уравнение прямой) определяет прямую на плоскости.

Векторное уравнение прямой.

; ; ;

; - векторное уравнение прямой

- уравнение прямой проходящей через данную точку с данным нормальным вектором

- уравнение прямой проходящей через данную точку с заданным вектором(каноническое уравнение)

; ,
т.к. или

,где - уравнение прямой проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом.

- уравнение прямой с данным угловым коэффициентом.

- уравнение прямой проходящей через 2 заданные точки.

- уравнение прямой в отрезках

- нормальное уравнение прямой

- расстояние от начала координат до прямой

;

Параметрическое уравнение прямой

Условие параллельности двух прямых

;

Условие перпендикулярности двух прямых

Угол между двумя прямыми .

=

Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения прямой в пространстве

Плоскость в пространстве

Определение: Любое линейное уравнение от 3-х переменных определяет плоскость в пространстве и обратно. - общее уравнение плоскости в пространстве - плоскость проходит через начало координат

уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данный нормальный вектор

- направляющие вектора плоскости

- смешанное произведение 3-х векторов

- уравнение плоскости, проходящей через данную точку с данными направляющими векторами.

Пусть

x, y, z - текущие координаты

- уравнение плоскости в отрезках.

Нормальное уравнение плоскости

- нормальное уравнение плоскости

p - расстояние от начала координат до плоскости.

Условие параллельности двух плоскостей

;

Условие перпендикулярности двух плоскостей

; ;

Угол между плоскостями

Прямая в пространстве

- векторное уравнение прямой в пространстве

t= каноническое уравнение прямой

- параметрическое уравнение прямой в пространстве

- уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки

- общее уравнение прямой в пространстве

Пример.

Как разделить угол пополам?

1) первая биссектриса "+"

2) вторая биссектриса

Как найти отражённый луч?

; ; ;

Пример:

y=2x+1 x-3y-2=0

x-3(2x+1)+2=0

-5x-1=0 ; ;

; ; ; ;

Системы координат и их представления. Метод координат